巧建數(shù)學(xué)函數(shù)模型解決實際問題

石爽

【摘 要】數(shù)學(xué)是學(xué)生從接受知識起便需要好好學(xué)習(xí)的一門重要課程，從簡單的九九乘法表一直到函數(shù)，幾何等等。隨著學(xué)歷的提高學(xué)生接受的知識也不斷加深加難，而函數(shù)是數(shù)學(xué)知識中至關(guān)重要的一個知識點，是學(xué)生必須認(rèn)真學(xué)習(xí)并掌握的。為了解決函數(shù)問題，數(shù)學(xué)家研究出典型的函數(shù)數(shù)學(xué)模型供學(xué)生解決這些問題，本文筆者主要從函數(shù)的模型分析解決函數(shù)問題。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)模型；解決問題

函數(shù)就是在某一個關(guān)系式中存在兩個變量x、y，如果對于x在某一規(guī)定范圍內(nèi)的每一個值，y都有唯一確定的值與它相對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，這時x叫做自變量，y叫做因變量。通過學(xué)習(xí)函數(shù)的概念學(xué)生可以先了解函數(shù)的構(gòu)造，也了解函數(shù)建立的因素，從此可以根據(jù)概念構(gòu)造出實際的函數(shù)解決問題。從小學(xué)開始學(xué)生就接觸不同的函數(shù)類型，如：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等等。這些函數(shù)都有自己的函數(shù)模型，通過這些模型的建立，學(xué)生會清楚的建立數(shù)學(xué)關(guān)系，從而輕易地解決難題。

1 巧建函數(shù)模型

在學(xué)習(xí)函數(shù)時首先學(xué)生要學(xué)會建造合適的函數(shù)解決問題，筆者將舉例子來講述怎樣構(gòu)造函數(shù)。

例一、某租賃公司有50臺收割機(jī)，其中甲型有30臺，乙型有20臺，現(xiàn)在公司將派往A，B兩地收割，其中派往A地20臺，B地30臺。兩地與該租賃公司商定的價格如下：

設(shè)公司派往A地x臺乙型收割機(jī)，求公司50臺收割機(jī)一天獲得的租金。

解：假設(shè)公司一天獲得的租金為y，這時要清楚x與y之間的關(guān)系，從題意可知y隨著x的變化而變化，因此x為自變量，y為因變量。這時就可以用一次函數(shù)模型來構(gòu)造函數(shù)了，即：y=ax+b（a≠0）。因為公司派往A地x臺收割機(jī)，由題知公司共派往A地20臺，因此公司派往A地的甲型收割機(jī)為（20-x），因為公司有20臺乙型收割機(jī)，所以可知公司派往B地的乙型收割機(jī)為（20-x）；又因為公司派往B地共30臺收割機(jī)，所以B地的甲型收割機(jī)有（10+x）臺，這時根據(jù)圖中的具體價格可以建立函數(shù)關(guān)系式：

y=1800*（20-x）+1600x+1600*（10+x）+1200*（20-x）

化簡得：y=200x+76000

這時就建立出x與y的關(guān)系，可以看出它們是一次函數(shù)，解這道題一定要考慮兩個未知數(shù)的聯(lián)系，然后根據(jù)所學(xué)知識構(gòu)建具體形式，以便輕松解題。

例二、求二次函數(shù)解析式。

（1）圖像經(jīng)過A（-1，3），B（1，3），C（2，6）

解題前首先知道二次函數(shù)的模型：y=ax2+bx+c，然后可以將三點帶入函數(shù)，建立方程組：3=a-b+c，3=a+b+c，6=4a+2b+c.解得a=1，b=0，c=2，因此函數(shù)解析式為y=x2+2

（2）圖像經(jīng)過A（-2，0），B（4，0），函數(shù)有最小值-8

根據(jù)題意可知函數(shù)關(guān)于x=1對稱，且存在最小值，這時建造關(guān)系式就需要另一個二次函數(shù)模型：y=（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a。對稱軸為x=-b/2a=1，函數(shù)存在最小值為（4ac-b2）/4a=-8，又因為函數(shù)過A，B兩點，因此可以建立方程組，從而解出函數(shù)解析式。

這兩道題運用不同的的模型解決問題，所以學(xué)生在解題前要考慮題意已確定用什么模型解題。以上是最簡單的函數(shù)模型應(yīng)用，接下來將舉例難度更深一點的問題，去探究如何巧建函數(shù)模型。

2 運用一次函數(shù)模型：y=ax+b（a≠0）

例一、反比例函數(shù)y=2/x與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）交與點A（2，m），點B（n，-2），一次函數(shù)圖像與y軸交點為c。

（1）求一次函數(shù)的解析式。

解：由題可知反比例函數(shù)y=2/x與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）交與點A（2，m），點B（n，-2），因此首先把點A，點B帶入反比例函數(shù)，求得點A為（2，1），點B為（-1，-2）。這時把點A（2，1），點B（-1，-2）帶入一次函數(shù)建立方程組：1=2k+b和-1=-2k+b，兩者相加整理得2b=0，所以b=0，這時將b=0帶入1=2k+b求得k=1/2，因此一次函數(shù)y=kx+b解析式為y=1/2x。由該題知求一次函數(shù)時只需知道函數(shù)上兩點的坐標(biāo)即可根據(jù)函數(shù)模型建立方程組解出函數(shù)解析式。

（2）求點C的坐標(biāo)。

解：由題知一次函數(shù)與y軸交與點C，因此可知點C坐標(biāo)為（0，f），將x=0帶入函數(shù)解析式y(tǒng)=1/2x，解得y=0，因此點C坐標(biāo)為（0，0）。

這道題由題意知一次函數(shù)與y軸相交，因此可知點C在x軸上為0，因此直接帶入函數(shù)解析式就可求出點C坐標(biāo)。

3 運用二次函數(shù)模型：y=ax2+bx+c例一、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+√3與x軸交與（-3，0），（1，0），與y軸交與點C，點D與點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱。

（1）求拋物線解析式，說出點D坐標(biāo)。

解：由題知拋物線y=ax2+bx+√3與x軸交與（-3，0），（1，0），因此將兩點帶入拋物線建立方程組：0=9a-3b+√3和0=a+b+√3，化簡得0=12a+4√3，求出a=-（√3）/3，b=-（2√3）/3，因此拋物線解析式為y=-（√3）/3x2-（2√3）/3x+√3。解這道題和一次函數(shù)一樣，同樣需要建立方程組求解，如果這道題中有三個未知量，則需要三個坐標(biāo)點來求解，這是求二次函數(shù)需要的因素。給出的模型首先要判斷是什么函數(shù)，然后根據(jù)它的模型帶入數(shù)值求解即可。

（2）解：由題知拋物線與y軸交與點C，根據(jù)所學(xué)知識可求出點C坐標(biāo)為（0，√3），題目要求點D坐標(biāo)，首先需要知道拋物線對稱軸，根據(jù)定義知拋物線關(guān)于x=-b/2a對稱，因此根據(jù)上式求出的拋物線解析式可知對稱軸為x=-1，因為點D與點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，因此由點C坐標(biāo)可知點D坐標(biāo)為（-2，√3）。在這道題中主要運用了二次函數(shù)的對稱軸公式，所以學(xué)生要牢記函數(shù)的相關(guān)定理和公式，已解決更難的問題。

4 結(jié)語

學(xué)會函數(shù)模型是解題的必要前提，學(xué)生只有熟悉這些知識才能靈活運用并輕松解題。生活中處處有數(shù)學(xué)，學(xué)生通過這些知識的掌握不僅增加知識，更重要的提升自己解決問題的能力，也學(xué)會了自覺思考并面對問題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]帥中濤.高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2012（03）：126.

[2]趙濤.三角函數(shù)在高職高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2011（02）：108-110.