基于Rayleigh-Ritz法的考慮配重位置影響的固支圓弧拱平面外自振頻率計算

危媛丞，李 周，鄭熒光

(1.深圳市龍華區(qū)大浪街道建設(shè)工程事務(wù)中心， 廣東 深圳 518109；2.中建鋼構(gòu)有限公司， 廣東 深圳 518040; 3.湖南大學(xué)， 湖南 長沙 410012)

基于Rayleigh-Ritz法的考慮配重位置影響的固支圓弧拱平面外自振頻率計算

危媛丞1，李 周2,3，鄭熒光2

(1.深圳市龍華區(qū)大浪街道建設(shè)工程事務(wù)中心， 廣東 深圳 518109；2.中建鋼構(gòu)有限公司， 廣東 深圳 518040; 3.湖南大學(xué)， 湖南 長沙 410012)

拱結(jié)構(gòu)在服役期間，拱上的不同位置必然會承受重物，為了探究拱上任意位置配重對拱面外振動頻率的影響，利用Rayleigh-Ritz法建立考慮任意位置配重作用下兩端固支圓弧拱的面外自振頻率方程，通過特征值求解的方法得到了其自振頻率。利用ANSYS軟件，建立了相應(yīng)的有限元模型進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果顯示理論計算頻率和數(shù)值計算頻率吻合良好，驗證了本文理論方法的正確性。在此基礎(chǔ)上，通過參數(shù)分析討論了配重大小、配重作用位置和圓心角對拱的面外自振頻率的影響，計算結(jié)果表明，在拱上增加配重會使其面外自振頻率減小，而隨著配重作用位置偏離拱頂越遠(yuǎn)，拱的面外自振頻率則越大，同時參數(shù)分析還表明拱的自振頻率隨著圓心角的增大而減小。

固支拱；任意位置；配重；面外；自振頻率

拱結(jié)構(gòu)是建筑工程中常用的一種結(jié)構(gòu)類型，在拱結(jié)構(gòu)的施工和使用過程中，往往會在拱上安裝額外的設(shè)備或某些裝置，其本身的質(zhì)量會使拱結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量發(fā)生變化，這必將會對拱的自振特性產(chǎn)生影響。Takabatake H[1]較早研究了恒載對簡支梁和固支梁靜力特性的影響。周世軍等[2-4]研究恒載對直梁和曲梁的自振頻率的影響，研究表明恒載引起的初始彎曲應(yīng)力會使梁的自振頻率增大。然而，康婷等[5]對拱結(jié)構(gòu)的自振頻率的研究表明周世軍等人的研究結(jié)論不適用于一般拱結(jié)構(gòu)，且其研究主要關(guān)注的是均布恒載對拱結(jié)構(gòu)自振的影響。隨后，康婷等[6-7]研究了彈性支撐對拱的動力特性的影響，并考慮了集中質(zhì)量的作用，但其集中質(zhì)量的作用位置只是在拱腳處。何文正等[8]考慮了預(yù)應(yīng)力效應(yīng)對曲梁面內(nèi)振動特性的影響。李康杰等[9]和Liu A等[10]對拱頂施加配重的圓弧拱面外動力穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)的理論和試驗研究。Pi Y L等[11]對拱上任意位置作用集中力的面內(nèi)靜力屈曲進(jìn)行詳細(xì)研究，但其集中力的方向是沿徑向作用，與配重的重力方向不同。目前，關(guān)于恒載效應(yīng)對拱結(jié)構(gòu)自振頻率影響的研究主要集中在均布恒荷載的研究，而以配重等效的豎向恒定集中荷載對拱結(jié)構(gòu)面外自振頻率影響的研究還比較少，且改變配重位置對拱結(jié)構(gòu)面外自振頻率影響的研究更是鮮有報道。

本文針對拱上作用任意位置配重的動力特性問題，以固支圓弧拱為研究對象，建立了考慮任意位置配重影響的面外自振頻率特征方程，并通過有限元軟件ANSYS驗證計算結(jié)果的正確性，分析討論了配重大小、配重位置和拱的圓心角對固支圓弧拱面外自振頻率的影響，得出一些對實際工程計算有用的結(jié)論。

1 自振頻率的特征方程

對于空間拱結(jié)構(gòu)(見圖1)，其中R和L分別為拱的半徑和跨度，Θ為半跨拱圓心角，φ和φ0分別為空間角坐標(biāo)和配重位置偏角，u、v和w分別為拱在x、y和z方向的側(cè)向位移、徑向位移和切向位移，θ為側(cè)向扭轉(zhuǎn)偏角。

圖1空間固支拱側(cè)傾模型

其側(cè)向撓度曲率Kv和扭轉(zhuǎn)曲率Kw分別為[12-13]：

(1)

(2)

式中，()′=d()/dφ，而拱側(cè)傾變形的應(yīng)變能可表示為[9]：

(3)

式中：EIy表示拱面外彎曲剛度；GJ為拱截面扭轉(zhuǎn)剛度。

將式(1)和式(2)代入式(3)中，且ds=Rdφ，有

(4)

在拱上作用任意位置配重的拱的動能可表示為：

(5)

引入面外屈曲模態(tài)，且滿足固支拱的邊界條件[10，14-15]，有

(6)

(7)

根據(jù)Rayleigh-Ritz法原理，當(dāng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)按照某一頻率作自由振動時，沒有能量的輸入和損耗，則機械能保持為一恒量，即

C=T+U

(8)

式中C為一常數(shù)，將式(6)和式(7)代入式(4)和式(5)中并進(jìn)行積分，然后代入式(8)中，得到關(guān)于C的代數(shù)表達(dá)式，寫成向量-矩陣的形式，有

(9)

式中：q={u1u2θ1θ2}T；Me和Ke分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和側(cè)向扭轉(zhuǎn)剛度矩陣，表示如下：

(10)

(11)

式中，

m11=m22=M(1+cosκπ)2+3mRΘ；

m12=m21=M(1+cosκπ)(-1+cos2κπ)-2mRΘ；

m13=m14=m23=m24=m31=m32=m41=

m42=0；

k12=k14=k21=k23=k32=k41=0。

根據(jù)Hamilton原理，對式(9)所示能量泛函取變分，可得到拱的面外自振頻率特征方程如下：

(Ke-ω2Me)q=0

(12)

由此，解式(12)的特征方程即可得到拱面外自振頻率ω。

2 參數(shù)分析

由式(11)、式(12)可知，當(dāng)在拱上施加的配重位置不同時，會使拱的整體質(zhì)量分布發(fā)生變化，從而改變結(jié)構(gòu)頻率。因此，取兩端固支圓弧鋼拱為研究對象，其彈性模量E=2.06×1011Pa、泊松比為0.3、跨度L=3.6 m、圓截面直徑D=0.012 m、鋼材密度為7 850 kg/m3，分析不同配重和作用位置對不同圓心角鋼拱面外自振頻率的影響。

不同的配重作用位置(κ=0.0, 0.3, 0.4, 0.5)對鋼拱(2Θ=90°)最低階面外自振頻率的影響如圖2所示。

圖2不同配重拱的頻率

由圖2可知，當(dāng)在拱上施加配重時，拱的自振頻率顯著降低，且隨著配重質(zhì)量M不斷增大而減小，而隨著配重的作用位置離拱頂(κ=0.0)越遠(yuǎn)，拱的自振頻率減小的速度則越慢。

對于不同圓心角的鋼拱(2Θ=60°、90°、120°)，當(dāng)配重質(zhì)量M=10 kg時，不同的配重作用位置對結(jié)構(gòu)的自振頻率的影響如圖3所示。

圖3不同配重位置拱的頻率

由圖3可知，當(dāng)配重作用位置離拱頂越遠(yuǎn)時，拱的面外自振頻率越大，且隨著配重位置κ增大到0.9時，結(jié)構(gòu)頻率不再發(fā)生明顯變化，這是由于κ=0.9時，配重已經(jīng)接近拱腳位置，此時配重對拱的整體質(zhì)量影響不大，且由式(10)可以看出，當(dāng)配重位置κ無限接近1時，質(zhì)量剛度矩陣中的1+cosκπ項是無限趨向于0的，說明配重接近拱腳時，配重質(zhì)量M對拱整體質(zhì)量分布的影響可以忽略不計，即此時拱的面外自振頻率等于無配重M=0 kg作用時拱的頻率，如圖4所示。

當(dāng)圓心角度從0°到180°變化時，配重質(zhì)量M=15 kg在不同位置對拱的面外頻率變化如圖5所示。

由圖5可知，隨著圓心角的增大，結(jié)構(gòu)從直梁(2Θ=0°)到深拱(2Θ=180°)變化，其面外自振頻率逐漸減小，且配重距離拱頂位置越遠(yuǎn)(κ=0.6)，結(jié)構(gòu)頻率越大，而配重作用在拱頂(κ=0.0)時，結(jié)構(gòu)頻率最小。

圖4 配重位置對有不同配重拱頻率的影響

圖5不同圓心角拱的頻率

3 有限元對比分析

為了驗證式(12)求得的拱的最低階面外自振頻率的正確性，將式(12)求得的不同配重、不同配重位置和不同圓心角下拱的面外自振頻率與ANSYS[16-17]計算結(jié)果進(jìn)行對比。在ANSYS分析中使用的結(jié)構(gòu)模型和材料參數(shù)與第2節(jié)中的一致，圓弧拱結(jié)構(gòu)與配重的有限元模型均使用2節(jié)點的空間梁單元BEAM188進(jìn)行模擬，約束拱腳所有方向的位移，并劃分100個單元進(jìn)行模態(tài)分析。

由式(12)求得在圓心角2Θ為30°和90°的圓弧拱上施加5 kg配重，且作用在不同位置的面外自振頻率與ANSYS分析結(jié)果對比，如圖7所示。

圖6不同配重位置拱的頻率解析解與有限元解

由圖6可知，ANSYS計算結(jié)果與式(12)的解析解結(jié)果吻合良好，誤差均在3%以內(nèi)，說明推導(dǎo)的頻率特征方程能夠較準(zhǔn)確地計算拱面外最低階自振頻率。

施加0 kg～20 kg的配重在圓心角2Θ為100°的圓弧拱上，與ANSYS對比配重位置κ分別為0.0和0.5時拱的面外自振頻率，如圖7所示。

圖7不同配重拱的頻率解析解與有限元解

由圖7可知，解析解結(jié)果與有限元計算結(jié)果吻合較好，而誤差存在的原因是式(6)和式(7)的振型函數(shù)存在一定誤差。當(dāng)采用更高階級數(shù)來推導(dǎo)頻率特征方程時，誤差會更小，但所得到的頻率表達(dá)式會更加復(fù)雜且會耗費更長的計算時間。

當(dāng)配重為3 kg作用在不同圓心角的圓弧拱上時，配重位置κ為0.0和0.3下的自振頻率與ANSYS對比如圖8所示。

圖8不同圓心角拱的頻率解析解與有限元解

由圖8可知，不同圓心角面外自振頻率與ANSYS計算結(jié)果一致，說明推導(dǎo)的拱面外自振頻率特征方程適用于深拱的面外頻率計算。

4 結(jié) 論

本文采用Rayleigh-Ritz法建立了考慮任意位置配重的固支圓弧拱的外自振頻率特征方程，求解的拱結(jié)構(gòu)的自振頻率與ANSYS計算結(jié)果進(jìn)行對比驗證，結(jié)果吻合良好，且誤差均在3%以內(nèi)。同時，分析討論了配重、配重位置和圓心角對拱結(jié)構(gòu)面外振動頻率的影響，分析結(jié)果表明，配重是通過改變拱結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量分布來影響結(jié)構(gòu)頻率，施加配重會使拱的面外振動頻率降低，而改變配重作用位置，即配重離拱頂?shù)木嚯x越遠(yuǎn)，拱的面外自振頻率越大。當(dāng)配重接近拱腳位置時，配重對拱的面外頻率影響較小，其值與無配重作用下的結(jié)構(gòu)頻率相近，分析結(jié)果還表明，推導(dǎo)的面外頻率特征方程同樣適用于深拱。

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CalculationoftheOut-of-PlaneNaturalFrequenciesofFixedCircularArcheswithAdditionalWeightAdheredBasedonRayleigh-RitzMethod

WEI Yuancheng1, LI Zhou2,3, ZHENG Yingguang2

(1.ConstructionProjectTransactionCenterofDalangSubdistrictOfficeinLonghuaDistrict,Shenzhen,Guangdong518109,China;2.ChinaConstrctionSteelStructureCo.,Ltd.,Shenzhen,Guangdong518040,China; 3.HunanUniversity,Changsha,Hu'nan410012,China)

There is additional weight on the arch during its service time. In order to investigate the effect of additional weight on the out-of-plane natural frequencies of fixed circular arches, the analytical solution for the natural frequency of arch with additional weight located at different position is derived using the principle of stationary mechanical energy in conjunction with the Rayleigh-Ritz method. By solving the eigenvalue problem given by the frequency equation, analytical natural frequencies of arch are obtained. The analytical solutions are compared with the FE results of ANSYS model and the results agree well with each other which indicates the accuracy of the analytical method is great. The validated finite element model is used to conduct further parametric studies for effects of different parameters such as value of additional weight, position of additional weight and central angle of arch on the out-of-plane natural frequencies of fixed circular arches. It is found that the natural frequency of the arch is decreasing as the value of additional weight increasing, and the natural frequency of arch is also increasing as the additional weight location moving from the arch crown to the arch ends. It is also found that as the central angle of arch increasing the natural frequency of arch is decreasing.

fixedarch;arbitraryposition;additionalweight;out-of-plane;naturalfrequency

10.3969/j.issn.1672-1144.2017.06.032

2017-05-15

2017-06-23

國家自然科學(xué)基金項目(51678169)

危媛丞(1986—)，女，江西南昌人，碩士，工程師，主要從事大跨度結(jié)構(gòu)工程研究工作。 E-mail: 2044221622@qq.com

李 周(1984—)，男，湖北荊州人，博士，高級工程師，主要從事大跨度橋梁研究工作。 E-mail: louisleezou@foxmail.com

TU341.1

A

1672—1144(2017)06—0163—05