兩種數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要性

張文麗，張燕霞

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

兩種數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要性

張文麗，張燕霞

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

《數(shù)學(xué)分析》由于綜合性強(qiáng)、理論性強(qiáng)、應(yīng)用性較差從而導(dǎo)致了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低。以數(shù)學(xué)分析中的積分理論為例，借助極限思想和類(lèi)比思想，可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)積分理論的難度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

極限思想；類(lèi)比思想；積分理論

《數(shù)學(xué)分析》這門(mén)課的主要特點(diǎn)就是綜合性強(qiáng)、理論性強(qiáng)、但應(yīng)用性較差。數(shù)學(xué)分析這門(mén)課是許多后續(xù)的課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，例如《常微分方程》《復(fù)變函數(shù)》《實(shí)變函數(shù)》《數(shù)學(xué)物理方程》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》等，數(shù)學(xué)分析主要應(yīng)用于物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)[1]中。

這門(mén)課程不僅對(duì)我們提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力有很大的幫助，還能提升思考與處理問(wèn)題的邏輯性和縝密性以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新能力，獲得有關(guān)數(shù)學(xué)的基本思想，對(duì)于從事教育事業(yè)有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用[2]。除此之外，還可以提高我們對(duì)于數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)、自主、自立學(xué)習(xí)能力以及探究新知識(shí)的精神。數(shù)學(xué)分析主要來(lái)源于實(shí)踐，對(duì)于許多的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決主要是依靠數(shù)學(xué)分析的理論。

1 數(shù)學(xué)思想

1.1 極限思想

極限思想[2]是數(shù)學(xué)分析中的一種必不可少的思想，也是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一種解決問(wèn)題的重要思維方式。與一些科學(xué)的思想、思維方式相同，它也是社會(huì)、科技不斷發(fā)展的產(chǎn)物。極限思想實(shí)質(zhì)上是以極限的觀點(diǎn)為基礎(chǔ)，以極限理論為根據(jù)來(lái)闡述分析并解決問(wèn)題的一種主要數(shù)學(xué)思想。第一次運(yùn)用極限思想處理問(wèn)題是16世紀(jì)荷蘭的數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形的重心中，無(wú)意中指出了應(yīng)將極限思想發(fā)展為一個(gè)實(shí)用的概念的方向[3]。數(shù)學(xué)分析這門(mén)課之所以能處理許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法處理的問(wèn)題，主要原因之一就是借助并采用了極限思想。

數(shù)學(xué)分析中的極限思想就是從“不變”認(rèn)識(shí)“變”的一種思維，例如在求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度時(shí)，我們把瞬時(shí)速度定義為平均速度的極限，用割線的極限位置來(lái)表示切線。還可以從“直線形”認(rèn)識(shí)到“直線形”，最具有代表性的就是劉徽的割圓術(shù)。除此之外，認(rèn)識(shí)“量變”與“質(zhì)變”的轉(zhuǎn)化，量變可以引起質(zhì)變，這在數(shù)學(xué)的研究發(fā)展中具有非常重要的作用，從內(nèi)接于圓的正多邊形而言，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)加倍之后，還是一個(gè)正多邊形，此時(shí)只是正多邊形的邊數(shù)產(chǎn)生了改變，但經(jīng)過(guò)邊數(shù)的無(wú)窮次數(shù)的加倍之后，就變成了一個(gè)圓，此時(shí)多邊形的面積就轉(zhuǎn)化為了圓面積。借助極限思想，我們還可以從近似的角度認(rèn)識(shí)精確，通過(guò)觀察一連串的近似值的趨向，而確定準(zhǔn)確值[4]。上述所講的求瞬時(shí)速度、圓的面積都是利用極限由近似變?yōu)榫_的值。

數(shù)學(xué)分析中存在的許多的定義及性質(zhì)例如函數(shù)的連續(xù)性、定積分、曲線積分、曲面積分等都是以極限概念為基礎(chǔ)的。極限概念中所涉及的邏輯結(jié)構(gòu)復(fù)雜，包涵的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容豐富，用符號(hào)來(lái)代替語(yǔ)言的形式較為抽象，采用極限思想來(lái)解決具體的問(wèn)題的方法：首先要確定被研究的一個(gè)未知量，然后利用構(gòu)造法，構(gòu)造一個(gè)與它相關(guān)聯(lián)的變量；接下來(lái)，將變量經(jīng)過(guò)無(wú)限的過(guò)程之后趨向的結(jié)果就近似等同于所求的未知量[5]；最后，通過(guò)極限的運(yùn)算來(lái)獲得這個(gè)結(jié)果。

1.2 類(lèi)比思想

類(lèi)比思想[6]是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)過(guò)程中的另一種重要思想，類(lèi)比就是通過(guò)比較兩個(gè)研究對(duì)象的定義、特征、關(guān)系等，觀察是否存在相同或相似之處，從而推斷出它們?cè)谄渌矫媸欠褚泊嬖谙嗤蛳嗨频男再|(zhì)。運(yùn)用類(lèi)比思想去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析這門(mén)課程不僅能減低學(xué)習(xí)的難度，還能提高學(xué)習(xí)的效率，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，提高其獨(dú)立思考與創(chuàng)新的能力[7]。

數(shù)學(xué)分析中的許多抽象概念都可以通過(guò)類(lèi)比的思想進(jìn)行學(xué)習(xí)掌握，例如：在極限理論中一元函數(shù)的定義、連續(xù)性、可積性、可微性，經(jīng)過(guò)類(lèi)比得到二元函數(shù)的定義、連續(xù)性、可積性、可微性。在微分理論中有：從一階導(dǎo)數(shù)通過(guò)類(lèi)比可得到二階導(dǎo)數(shù)，在積分理論中有定積分到重積分、曲面積分。通過(guò)類(lèi)比思想我們可以引出許多的相關(guān)性質(zhì)與推論。比如數(shù)列極限的唯一性通過(guò)類(lèi)比可得到函數(shù)極限的唯一性等。運(yùn)用類(lèi)比思想解決問(wèn)題不但減低對(duì)于新知識(shí)的接受難度還可以拓寬進(jìn)一步學(xué)習(xí)的深度。

2 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析過(guò)程中所存在的問(wèn)題

2.1 數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容較為抽象、理論性強(qiáng)，從而導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣逐漸降低。并且整本書(shū)中所包含的許多的定義與性質(zhì)都是用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)替代語(yǔ)言文字描述，學(xué)生難以真正掌握、理解所學(xué)的內(nèi)容。

2.2 數(shù)學(xué)分析中所涵蓋的知識(shí)內(nèi)容邏輯性強(qiáng)、計(jì)算量比較大，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣降低。在數(shù)學(xué)分析的計(jì)算中，相對(duì)而言，對(duì)于有理函數(shù)積分運(yùn)算與無(wú)理函數(shù)的積分的運(yùn)算就較為困難。

2.3 數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容在實(shí)際生活中應(yīng)用性差，數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容僅在學(xué)習(xí)定積分、重積分、曲線積分、曲面積分時(shí)有一定的應(yīng)用。它們主要體現(xiàn)在幾何和物理中，而與實(shí)際生活聯(lián)系較弱。這就導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感到學(xué)習(xí)這門(mén)課毫無(wú)用處，從而導(dǎo)致其興與學(xué)習(xí)效率的減低。

3 利用極限思想、類(lèi)比思想來(lái)提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提升學(xué)習(xí)效率

利用數(shù)學(xué)分析中的數(shù)學(xué)思想—極限思想、類(lèi)比思想，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以提高學(xué)習(xí)效率。以積分理論為例加以說(shuō)明。

3.2 在定積分定義的基礎(chǔ)之上，我們可以利用類(lèi)比的思想來(lái)學(xué)習(xí)重積分、曲線積分、曲面積分的定義。定積分、重積分、曲線積分、曲面積分它們的不同之處主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：①積分變量的個(gè)數(shù)；②積分區(qū)域。將定義域由R1空間上的閉區(qū)間推廣到R2空間上的有界閉區(qū)域、R3空間上的有界閉區(qū)域上，則就分別得到了二重積分和三重積分。如果將定義域由R1空間上的閉區(qū)間推廣到R2空間上的可求長(zhǎng)的曲線上，那么就得到了第一型曲線積分和第二型曲線積分。再將定積分的定義域由R1空間上的閉區(qū)間推廣R3空間上的可求面積的曲面上，就得到了第一型曲面積分和第二型曲面積分。通過(guò)類(lèi)比的方法來(lái)學(xué)習(xí)這些積分，不僅使用的時(shí)間短，而且可以比較簡(jiǎn)單的掌握其定義，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)效率。

極限思想在學(xué)習(xí)積分的定義中具有非常重要的地位。利用極限思想，在理解定積分的定義的基礎(chǔ)之上去學(xué)習(xí)曲線積分、曲面積分、重積分等積分，不僅能夠減低學(xué)習(xí)的強(qiáng)度，還可以吸引學(xué)生學(xué)習(xí)的注意力并增強(qiáng)自信心，提高學(xué)生對(duì)于積分內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)效率。

總之，通過(guò)巧妙利用數(shù)學(xué)分析中的思想—極限思想與類(lèi)比思想可以在很大程度上降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。極限思想不僅可以很好的連接數(shù)學(xué)分析中的其它概念，而且可以解決許多初等數(shù)學(xué)不能解決的問(wèn)題。應(yīng)用類(lèi)比思想不僅可以使許多問(wèn)題簡(jiǎn)單化，還可以通過(guò)類(lèi)比進(jìn)行猜想、促進(jìn)并推動(dòng)數(shù)學(xué)分析這一學(xué)科的不斷發(fā)展。

［1］李晨.高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用及闡述［J］.科技展望，2017，（12）:202-203.

［2］朱永婷.對(duì)極限概念的理解［J］.高師理科學(xué)刊，2017，37（2）:68-69.

［3］蔣峰，蔣永紅.極限思想中認(rèn)知層次探析［J］.自然科學(xué)版，2013，26（1）:19-20.

［4］陳靜.極限思想的辯證思考與理解［J］.價(jià)值工程，2009，28（10）:43-44.

［5］張武軍.加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的作用及途徑研究［J］.河南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2010，6（2）:149-152.

［6］劉紅玉.類(lèi)比法在數(shù)學(xué)分析課堂中教學(xué)的應(yīng)用［J］.呂梁教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，29（3）:83-85.

［7］陳亦佳，白艷麗.類(lèi)比思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.玉溪師范學(xué)院理學(xué)院，2015，31（8）:29-34.

［8］王志攀.極限思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.課程教育研究，2015，（35）:132-133.

The Importance of Two Mathematic Thoughts in the Study of Mathematical Analysis

Zhang Wen-li，Zhang Yan-xia
（Department of Methematics,Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

Strong comprehensive,deep theory and narrow application of mathematical analysis lead to the students’low learning interest.Using limit thought and analogy thought,taking integral theory for example can lower the students’study difficulty,spur their enthusiasm and increase learning efficiency.

Limit thought;Analogy thought;Integral theory

O173

A

1673-2014（2017）05-0074-03

長(zhǎng)治學(xué)院校級(jí)教改項(xiàng)目（JC201709）；長(zhǎng)治學(xué)院優(yōu)秀課程（數(shù)學(xué)分析）；山西省高校科技研究開(kāi)發(fā)項(xiàng)目（2013158）

2017—02—21

張文麗（1971－ ），女，山西晉城人，副教授，主要從事非線性泛函分析研究。

（責(zé)任編輯 趙巨濤）