利用Lanczos算法研究一維光晶格Fermi氣體

胡 波,陳 亮,韓榕生

(華北電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 昌平 102206)

利用Lanczos算法研究一維光晶格Fermi氣體

胡 波,陳 亮,韓榕生

(華北電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 昌平 102206)

研究了零溫下一維光晶格Fermi氣體隨外加磁場和自旋軌道耦合(SOC)相互作用的變化特征?；贔ermi-Hubbard模型，采用Lanczos部分迭代法研究計(jì)算具有自旋軌道耦合(SOC)的一維費(fèi)米鏈體系的基態(tài)波函數(shù)與基態(tài)能量，進(jìn)一步得到超導(dǎo)配對序參量和磁化率的結(jié)果。計(jì)算結(jié)果表明，Lanczos迭代法在求解一維光晶格體系是收斂和有效的，外加磁場和SOC作用對BCS單重態(tài)的超導(dǎo)配對均具有抑制作用。另外在合適的磁場和SOC共同作用下存在Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)相與BCS-FFLO混合相。通過與其他研究者的結(jié)果比較，體系特殊的相分布情況和非連續(xù)性相轉(zhuǎn)變特征與較小的格點(diǎn)數(shù)可能相關(guān)。該結(jié)論對實(shí)驗(yàn)上探測BCS-FFLO混合相也具有指導(dǎo)意義。

Fermi-Hubbard模型；Lanczos迭代；自旋軌道耦合；FFLO相；BCS-FFLO混合相

研究束縛在一維光晶格中具有電子自旋軌道耦合相互作用的費(fèi)米強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系是量子多體理論非常重要的一部分。而費(fèi)米體系內(nèi)部的電子配對和不同自旋電子的分布密度可以產(chǎn)生非常豐富的物理現(xiàn)象，包括一些非常規(guī)的奇異相,如費(fèi)米超流態(tài)[1]、對稱性破缺的超導(dǎo)相[2]。在低維體系有更顯著的量子相位漲落[3]，這使得一維費(fèi)米體系更有可能出現(xiàn)在常規(guī)唯象理論預(yù)測之外的特殊性質(zhì)，因此研究一維冷原子體系的量子磁性特征、FFLO相[4-5]均具有重要意義。實(shí)驗(yàn)中，可以使用光晶格來實(shí)現(xiàn)超冷原子的囚禁，利用Feshbach共振來調(diào)節(jié)原子間的相互作用。近年來，又實(shí)現(xiàn)了外加磁場下一維光晶格中超冷原子的SOC相互作用的人工模擬合成[6]，其中各項(xiàng)物理參數(shù)已實(shí)現(xiàn)調(diào)節(jié)和操控，并成為模擬強(qiáng)關(guān)聯(lián)相互作用體系的標(biāo)準(zhǔn)工具。研究一維費(fèi)米氣體的特殊特性，可以同時(shí)為實(shí)驗(yàn)中的新奇現(xiàn)象和理論預(yù)測提供佐證與支撐。對于不考慮SOC的一維費(fèi)米體系，已有很多人使用平均場方法預(yù)言了一定條件下FFLO相的存在[3]，也就是在零溫強(qiáng)的磁場下，系統(tǒng)為常規(guī)金屬態(tài)或絕緣態(tài)，隨著磁場強(qiáng)度下降，系統(tǒng)會通過一個(gè)2級相變點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)榉浅Ｒ?guī)超導(dǎo)FFLO態(tài)，磁場繼續(xù)下降，最后變?yōu)锽CS常規(guī)超導(dǎo)態(tài)。A.E. Feiguin[7]使用DMRG[8]方法表明了80格點(diǎn)無SOC體系存在FFLO相；Junjun Liang[9]研究了帶有SOC相互作用的60，100格點(diǎn)體系，得到了與平均場方法不一樣的結(jié)果，預(yù)測了BCS-FFLO混合相的存在。在格點(diǎn)較少的體系中，電子的配對關(guān)聯(lián)受限于格點(diǎn)規(guī)模影響，其序參量與磁化率變化特性會與格點(diǎn)較多的體系有較為明顯的差別。本文將研究10格點(diǎn)的少體情形，考察其特殊的超導(dǎo)序參量性質(zhì)與對應(yīng)的相分布情況。

本文以Fermi-Hubbard模型為研究對象，使用Lanczos迭代法[10-12]來求解一維體系的哈密頓量，計(jì)算了零溫下一維光晶格中具有相互吸引勢的費(fèi)米體系的磁化率(與不同自旋電子分布差異相關(guān))，研究了s-波單態(tài)超導(dǎo)配對序參量隨外加磁場和SOC強(qiáng)度的變化規(guī)律。首先引進(jìn)理論模型和上述物理量的定義式，然后分析數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，驗(yàn)證Lanczos算法在模型計(jì)算中的準(zhǔn)確性和收斂性，然后分析磁場、SOC對超導(dǎo)配對的影響，證實(shí)FFLO相與BCS-FFLO混合相在體系的存在性，以及這2個(gè)相在磁化率躍變處的特殊臨界性質(zhì)和各個(gè)量子相的大致分布區(qū)域。

1 Fermi-Hubbard理論模型

囚禁于一維光晶格且具有自旋軌道耦合及外加磁場的費(fèi)米氣體可由Fermi-Hubbard模型描述[13]：

H=Ht+Hz+HU+HSOC

(1)

式(1)中：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式(6)中,N為電子總數(shù)(在半填滿情況下，N也等于格點(diǎn)數(shù)目)。電子自旋方向會隨著磁場變化發(fā)生翻轉(zhuǎn)，磁化率由自旋方向相反的電子占比差異所決定。

單態(tài)配對關(guān)聯(lián)序參量：

(7)

動量空間下的配對序參量反映系統(tǒng)s-波超導(dǎo)電子的配對情況。在零溫下，體系電子會形成庫珀對，即BCS超導(dǎo)配對，為帶內(nèi)波矢大小相同、方向相反、總動量為零的電子配對，序參量為單峰結(jié)構(gòu)。非零總動量的帶間電子配對的FFLO態(tài)可由雙峰結(jié)構(gòu)的序參量表征。

單粒子能帶表達(dá)式:

(8)

式(8)中，hZ為沿z方向的外加磁場；k表示單電子的波矢；α為自旋軌道耦合強(qiáng)度，反映體系能帶結(jié)構(gòu)在U=0時(shí)隨磁場和SOC的變化情況。

2 計(jì)算結(jié)果與分析

在下面的數(shù)值計(jì)算中，將躍遷強(qiáng)度t設(shè)為能量單位，取格點(diǎn)數(shù)目N=10，填充率為1/2(半滿條件，電子數(shù)與格點(diǎn)數(shù)相等)，同一格點(diǎn)自旋向上和自旋向下的電子具有相互吸引勢，U=-4情形下的一維Fermi鏈。

2.1 Lanczos迭代法收斂性分析

在具體分析各個(gè)物理量隨自旋軌道耦合強(qiáng)度和外加磁場變化的規(guī)律之前，先分析Lanczos迭代算法應(yīng)用于存在SOC和外加磁場的一維Fermi-Hubbard模型的可靠性。計(jì)算系統(tǒng)隨迭代步數(shù)增加得到基態(tài)能量Eg與基態(tài)波函數(shù)ψg。系統(tǒng)的哈密頓矩陣為H，基態(tài)波函數(shù)的誤差由Dg=‖Hψg-Egψg‖估算,基態(tài)能量誤差由不同迭代步數(shù)計(jì)算的基態(tài)能量結(jié)果相互比對得到。

計(jì)算程序由Fortran語言實(shí)現(xiàn)，具體實(shí)現(xiàn)方法是在Fock表象下得到N=10格點(diǎn)體系的一組正交完備基矢，然后根據(jù)公式(1)～(5)，生成基矢空間下的哈密頓矩陣H，最后采用Lanczos迭代算法計(jì)算基態(tài)能量與基態(tài)波函數(shù)。Lanczos算法迭代求解得到的基態(tài)能量與基態(tài)波函數(shù)的誤差見表1。表1記錄了2組不同參數(shù)值每一步迭代的計(jì)算情況，參數(shù)分別設(shè)置為：①h/t=0,α/t=0；②h/t=1.2,α/t=0.3。Eg1,Dg1和Eg2,Dg2分別對應(yīng)這2組參數(shù)的基態(tài)能量值與波函數(shù)誤差值。

表1 Lanczos算法迭代求解得到的基態(tài)能量與基態(tài)波函數(shù)的誤差t

迭代步數(shù)Eg1Dg1Eg2Dg21-16．58054308910875．82785614392992-16．57439178215076．482557902448062-20．70884363307423．78998389864344-21．24891962079394．471802528522563-22．40535734230262．89065151380169-23．20719992533013．34296931571308……………48-25．38061882042781．7154932725E-005-25．82467862941183．2167656105E-00349-25．38061882045541．1346997768E-005-25．82467956077192．6552119377E-00350-25．38061882046758．1161392116E-006-25．82468017523292．1533884645E-003……………94-25．38061882049324．7423163537E-012-25．82468124755012．2894067467E-00895-25．38061882049323．4413729121E-012-25．82468124755011．9196010562E-008……………120-25．38061882049324．7815005572E-013-25．82468124755025．7145001684E-011

從表1可知隨著迭代步數(shù)的增加，所計(jì)算得到的基態(tài)能量很快趨于穩(wěn)定，基態(tài)波函數(shù)的誤差相對于基態(tài)能量稍大一些。由于不同參數(shù)設(shè)置下的收斂速度存在差異，同樣的迭代步數(shù)會有不同的誤差，但總體來說誤差隨迭代步數(shù)增加而迅速減小。在第2組參數(shù)值下，算法的收斂速度相對較慢。迭代到第50步時(shí)，基態(tài)能量的值在小數(shù)點(diǎn)后5位皆已穩(wěn)定不再變化，此時(shí)對應(yīng)的波函數(shù)誤差大概在10-3。繼續(xù)迭代到95步，計(jì)算基態(tài)能量誤差小于10-11(與迭代120步的基態(tài)能量結(jié)果對比可知)，波函數(shù)誤差在10-8數(shù)量級。這說明使用Lanczos迭代算法是收斂有效的。據(jù)此，在下面的計(jì)算中，將計(jì)算過程中的迭代步數(shù)設(shè)置為95次，對于1/2填充率的10原子體系基態(tài)能量誤差不大于10-9，波函數(shù)誤差Dg不大于10-6。此后只需在迭代的最后一步計(jì)算出相應(yīng)的基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)即可。

2.2 磁場與SOC單獨(dú)作用時(shí)的影響

先考察無SOC作用下，外加磁場對體系的影響。計(jì)算磁化率χ和序參量PS(k)隨磁場的變化情況,結(jié)果如圖1所示。在圖1(a)中磁化率分別在磁場強(qiáng)度h/t=1.04,1.88等處附近出現(xiàn)突變，在其余各處無變化，相應(yīng)的磁化率χ每次增加0.2。恰好平均每一次變化有1個(gè)電子的自旋隨磁場發(fā)生翻轉(zhuǎn)，系統(tǒng)的總磁矩隨磁場呈量子數(shù)變化。圖1(b)是無SOC超導(dǎo)配對序參量PS(k)圖像?？梢钥闯鲂騾⒘縋S(k)在完全磁化(h/t=3.84)之前均為單峰結(jié)構(gòu)，代表系統(tǒng)存在BCS超導(dǎo)配對，且每一次磁化率的躍變對應(yīng)圖1(b)配對序參量分布曲線在k=0處波峰位置的降低，也就是BCS配對會隨著體系逐漸被磁化而減少。當(dāng)磁化率強(qiáng)度達(dá)到χ=-1.0時(shí)，體系完全被磁化，PS(k)=0，每個(gè)格點(diǎn)只存在1個(gè)自旋向下的電子。此時(shí)BCS配對消失，體系由BCS超導(dǎo)相轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｒ?guī)相(Normal Gas簡稱NG態(tài))。這與傳統(tǒng)的超導(dǎo)相變理論過程類似。可以根據(jù)k=0附近PS(k)是否為零來判斷體系BCS態(tài)與NG態(tài)的轉(zhuǎn)變邊界，容易得到BCS轉(zhuǎn)變到NG態(tài)的臨界磁場強(qiáng)度大約為h/t=3.84。

以上分析表明，研究的體系無SOC作用時(shí)未出現(xiàn)非零動量配對FFLO超導(dǎo)態(tài)，配對序參量很大程度上取決于磁化率，自旋向上與自旋向下電子占比的差異影響配對序參量的分布。由于自旋失衡數(shù)的量子數(shù)變化，磁場抑制BCS超導(dǎo)配對的作用，是非連續(xù)階段性增強(qiáng)的。下面單獨(dú)計(jì)算存在SOC時(shí)，無外加磁場的情況。

在無磁場無SOC的條件下，磁化率χ=0，z方向不同自旋向上和自旋向下的分布占比相等，對于單電子不同的自旋態(tài)是簡并的。此時(shí)引入SOC，不同自旋分布占比基本保持不變，電子的自旋不再是好量子數(shù)，不同的自旋態(tài)會發(fā)生混合。此時(shí)雖然沒有自旋分布的失衡，但是可導(dǎo)致單電子在不同自旋下的能量不再簡并。

SOC對序參量曲線以及能帶的影響如圖2所示。由圖2(a)對PS(k)的計(jì)算結(jié)果顯示，不同自旋態(tài)的電子發(fā)生混合，并影響配對序參量的分布，且BCS電子配對序參量是隨SOC耦合增強(qiáng)而連續(xù)性減弱的。

當(dāng)U=0時(shí)，單粒子的能帶隨磁場和SOC變化情況可由式(8)描述，圖2(b)是僅存在SOC時(shí)取α/t=0.6的色散關(guān)系圖(U=0)，原有的單帶結(jié)構(gòu)分裂成2個(gè)能帶，此時(shí)會產(chǎn)生依賴于波矢沿x方向(一維鏈方向)的有效場，這使得在波矢k>0時(shí)，高能帶和低能帶分別產(chǎn)生|→〉(自旋沿x正方向)和|←〉(自旋沿x反方向)的部分極化，當(dāng)k<0時(shí)，情況相反?？梢钥吹秸麄€(gè)能帶結(jié)構(gòu)以及自旋極化是左右對稱的，此時(shí)引入自旋相反的電子間相互吸引勢讓U<0,由于研究的是體系的基態(tài)情況，如果相互吸引勢較強(qiáng)，傾向形成帶內(nèi)的BCS超導(dǎo)配對以達(dá)到較低的能量。對于只存在SOC相互作用勢U=-4的情況，體系只會出現(xiàn)BCS常規(guī)超導(dǎo)配對，這與圖2(a)中計(jì)算的PS(k)只存在單峰結(jié)構(gòu)的BCS配對序參量分布曲線的結(jié)果是一致的。

2.3 磁場與SOC共同作用的影響

由式(8)得到磁場和SOC同時(shí)存在U=0的色散關(guān)系,箭頭的豎直方向和水平方向分別代表自旋沿z和x方向極化,電子間直線代表引入相互作用勢發(fā)生的帶內(nèi)BCS配對,虛線代表帶間的FFLO配對。

下面將給出U=-4，同時(shí)存在SOC和外加磁場時(shí)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，分析SOC對體系磁化率的影響，并驗(yàn)證以上相的存在性。

磁場SOC共同作用下磁化率與序參量曲線以及相分布情況如圖4所示。如圖4(a)在較強(qiáng)的SOC強(qiáng)度下，體系的磁化率與圖1(a)無SOC的情形相比出現(xiàn)連續(xù)變化的趨勢，且大約在α/t>0.5時(shí)，連續(xù)性趨勢變得明顯。但是，在幾個(gè)確定的磁場附近，磁化率依然存在躍變。圖4(b)在α/t=0.597，h/t=0.96時(shí)，會出現(xiàn)偏移動量Q=0.377的雙峰結(jié)構(gòu)的PS(k)序參量分布曲線，對應(yīng)的是非零動量配對的FFLO態(tài)。圖4(c)在α/t=0.6，h/t=1.8時(shí)體系序參量分別出現(xiàn)獨(dú)特的三峰結(jié)構(gòu)，此時(shí)體系同時(shí)存在Q=0的BCS配對與Q=±0.817的FFLO超導(dǎo)配對。不同BCS-FFLO相點(diǎn)的2種配對的組成比例是有差異的，以該點(diǎn)為例，k=0序參量分布峰值小于k=0.817處峰值，帶間的FFLO配對要強(qiáng)于帶內(nèi)的BCS配對,此時(shí)FFLO配對占優(yōu)。圖4(b)與(c)說明在SOC與磁場同時(shí)存在的情況下，非常規(guī)超導(dǎo)的FFLO相與BCS-FFLO混合相在合適的參數(shù)條件下是存在的。

圖4(d)是根據(jù)PS(k)序參量分布給出的BCS相、FFLO，以及BCS-FFLO混合相的存在區(qū)間。從圖4(d)中可以看出，各個(gè)相的分布區(qū)域形狀比較奇特，2個(gè)非常規(guī)超導(dǎo)相并不是一整塊平滑連通的區(qū)域。一般情況下BCS轉(zhuǎn)變?yōu)镕FLO或者FFLO轉(zhuǎn)變?yōu)锽CS-FFLO屬于2級相變，對應(yīng)序參量PS(k)與以之判斷的相存在區(qū)域也應(yīng)該是平滑連續(xù)過渡，但這要求對應(yīng)序參量磁化率也是連續(xù)變化的。計(jì)算結(jié)果中，磁化率在一些點(diǎn)附近的躍變依然明顯，導(dǎo)致在一些區(qū)域相變邊界附近出現(xiàn)序參量曲線的躍變。在圖4(b)中h/t=0.96,α/t=0.60附近從BCS過渡到FFLO相，以及在圖4(c)中h/t=1.8,α/t=0.60附近從FFLO過渡到混合相這2個(gè)相變過程均不連續(xù)存在序參量分布曲線以及磁化率大小的突變。而在格點(diǎn)較大的體系，例如在Junjun Liang[9]研究的格點(diǎn)為60的體系，在較小的SOC下，體系的磁化率便呈連續(xù)性的變化，各個(gè)相的分布是規(guī)則平滑的單片區(qū)域，各個(gè)超導(dǎo)相之間的轉(zhuǎn)變是連續(xù)過渡的。通過以上對比可以看出，本研究中的10原子Fermi鏈，受限于體系大小。即使是在較強(qiáng)SOC下，一些區(qū)域內(nèi)的系統(tǒng)狀態(tài)存在非連續(xù)性變化。在合適的參數(shù)下非常規(guī)的FFLO超導(dǎo)相與BCS-FFLO混合相均可存在。但這種體系的非連續(xù)性變化使其部分區(qū)域的相變特征和各個(gè)相的分布情況與格點(diǎn)較多的體系(只需較小的耦合強(qiáng)度便能得到連續(xù)變化的磁化率)顯著不同。

3 結(jié)論

本文利用Lanczos迭代法研究了一維光晶格中具有相互吸引勢的半填滿狀態(tài)下的費(fèi)米體系，驗(yàn)證了一維費(fèi)米體系使用Lanczos方法的收斂性和有效性。計(jì)算了10個(gè)格點(diǎn)下的一維體系的性質(zhì)，結(jié)果顯示外加磁場和SOC相互作用均對系統(tǒng)BCS配對序參量起抑制作用，其中序參量隨外加磁場變大階段性減弱，隨自旋軌道耦合增強(qiáng)連續(xù)性減弱。還驗(yàn)證了FFLO態(tài)以及BCS- FFLO混合態(tài)在10格點(diǎn)一維鏈的存在性，并給出了相應(yīng)相圖。在10格點(diǎn)的費(fèi)米鏈體系，即便在較強(qiáng)SOC作用下，磁化率依然存在不連續(xù)性，與格點(diǎn)數(shù)目較大的體系相分布與相變特征存在明顯差異，即Fermi鏈體系在磁場和SOC共同作用下的特性可能與格點(diǎn)的體系大小密切相關(guān)。

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Study on Fermi Gas in One-dimensional Optical Lattice by Lanczos Method

HuBo,ChenLiang,HanRongsheng

(School of Mathematics and Physics,North China Electric Power University,Changping Beijing 102206)

This paper studied one-dimensional Fermi chain with spin-orbit coupling(SOC).The variation trend of the systemic properties with magnetic field and SOC interaction at zero temperrature was investigated.Based on Fermi-Hubbard model,partial Lanczos iterative method was used to calculate ground wave function and ground state energy of the system,then paring order and magnetic susptibility were obtained.The results showed that the partial Lanczos iteration method was convergent and effective.The analysis indicated that the BCS superconducting singlet paring was suppressed by both magnetic field or SOC.When magnetic field and SOC coexist,Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)and FFLO-BCS phase can be obtained with certain parameters.By comparing with other researcher's results,the special phase distribution and non-continuous transformation characteristics perhaps associated with the small size of system.These conclusions were also instructive for the detection of FFLO-BCS phase in experiments。

Fermi-Hubbard Model；Lanczos partial iteration；Spin-orbit coupling；FFLO phase；BCS-FFLO mixed phase

2017-08-02

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號11504106)。

胡波，碩士生。

10.3969/j.issn.2095-4565.2017.06.010

O413.3

A

2095-4565(2017)06-0041-06

(責(zé)任編輯張銀鳳)