單級(jí)行星齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型與試驗(yàn)驗(yàn)證

劉 輝， 張 晨， 項(xiàng)昌樂(lè)， 王 成

(北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛工程學(xué)院 北京，100081)

單級(jí)行星齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型與試驗(yàn)驗(yàn)證

劉 輝， 張 晨， 項(xiàng)昌樂(lè)， 王 成

(北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛工程學(xué)院 北京，100081)

針對(duì)單排行星直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，提出了齒輪非線性嚙合動(dòng)態(tài)模型，模型中考慮了由中心距安裝誤差和傳動(dòng)軸彎曲變形等引起的中心距變化對(duì)嚙合角、間隙和非線性嚙合剛度的影響。考慮中心距變化和陀螺力矩并結(jié)合齒輪非線性嚙合動(dòng)態(tài)模型，建立了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)橫-扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型。針對(duì)一個(gè)單排行星齒輪傳統(tǒng)系統(tǒng)試驗(yàn)裝置進(jìn)行仿真計(jì)算和試驗(yàn)測(cè)試，試驗(yàn)對(duì)比分析了齒圈橫向振動(dòng)位移和內(nèi)嚙合均載系數(shù)。研究結(jié)果表明，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的變化趨勢(shì)基本吻合，且誤差在可接受范圍內(nèi)，驗(yàn)證了筆者提出的漸開線直齒輪傳動(dòng)橫-扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型和非線性動(dòng)態(tài)嚙合模型的正確性。

行星齒輪；嚙合角；間隙；嚙合力；動(dòng)力學(xué)模型

引 言

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)單位質(zhì)量、體積所傳遞的載荷增加，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部構(gòu)件的變形也隨之增加，嚴(yán)重影響齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的耐久性和可靠性。建立精確的行星齒輪動(dòng)力學(xué)模型，預(yù)測(cè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，可為提高齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)壽命和可靠性提供重要的理論依據(jù)[1-2]。

提高行星齒輪動(dòng)力學(xué)模型精度需從非線性動(dòng)力學(xué)角度建立模型，同時(shí)考慮軸和軸承的變形[3-4]。多數(shù)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合模型中，間隙取為定值，嚙合剛度采用準(zhǔn)靜態(tài)的方法獲得呈現(xiàn)周期時(shí)變特性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于該齒輪嚙合模型做了廣泛而深入的研究。文獻(xiàn)[5-6]考慮定常間隙和周期時(shí)變剛度，建立了單級(jí)齒輪傳動(dòng)3自由度彎扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，其中，嚙合剛度采用準(zhǔn)靜態(tài)的方法獲得。文獻(xiàn)[7-8]考慮定常間隙和周期矩形波形式的時(shí)變剛度，分別針對(duì)兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)和齒輪-轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)建立了多自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型。一些學(xué)者研究了齒輪運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)時(shí)變剛度、間隙和嚙合角等嚙合參數(shù)的影響。Chen等[9]考慮齒面、齒背嚙合之間相位差，采用非對(duì)稱矩形波形式的嚙合剛度和定常間隙，基于6自由度彎扭耦合模型研究了齒輪空載敲擊特性。Kim等[10]考慮齒輪橫向位移對(duì)嚙合角和重合度的影響，忽略間隙并采用矩形波形式嚙合剛度，基于6自由度彎扭耦合模型研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)特性的影響。Chen等[11]考慮齒輪中心距變化對(duì)間隙的影響，基于6自由度彎扭耦合模型研究了動(dòng)態(tài)間隙對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，其中嚙合剛度采用準(zhǔn)靜態(tài)方法得到。綜上所述，文獻(xiàn)[9-11]僅研究了齒輪運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)部分嚙合參數(shù)的影響，未考慮齒輪中心距變化對(duì)嚙合剛度的影響及各嚙合參數(shù)之間的耦合關(guān)系對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

筆者以單排行星齒輪為研究對(duì)象。首先，分別針對(duì)太陽(yáng)輪-行星輪外嚙合副和齒圈-行星輪內(nèi)嚙合副，考慮齒輪運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)嚙合角、間隙和嚙合剛度的影響及各因素之間的耦合關(guān)系對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，分析了中心距變化對(duì)嚙合角和間隙的影響，以及齒輪傳動(dòng)過(guò)程轉(zhuǎn)速波動(dòng)和中心距變化對(duì)嚙合點(diǎn)的影響，從而影響齒輪嚙合力；其次，考慮中心距變化、陀螺力矩并結(jié)合齒輪嚙合動(dòng)態(tài)模型，采用拉格朗日法建立了橫-扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型。

1 行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)嚙合模型

行星齒輪三維動(dòng)力學(xué)模型如圖 1所示。各齒輪和行星架均包含兩個(gè)橫向平移自由度xk，yk和一個(gè)扭轉(zhuǎn)自由度θzk。其中：k=s，r，c，pi，分別代表太陽(yáng)輪、行星架、齒圈和第i個(gè)行星輪，i=1,2…,N；N為行星輪個(gè)數(shù)。

圖1 漸開線直齒行星齒輪傳動(dòng)三維動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 3D dynamic model of planetary transmission

1.1 太陽(yáng)輪-行星輪動(dòng)態(tài)嚙合角

太陽(yáng)輪與第i個(gè)行星輪的動(dòng)力學(xué)模型在Oxy平面上的投影如圖2所示。其中：虛線為初始時(shí)刻位置；實(shí)線為任意時(shí)刻位置；Cs和Cpi分別為太陽(yáng)輪和行星輪的質(zhì)心位置；es和epi分別為太陽(yáng)輪和行星輪的偏心距；Oc為行星架的質(zhì)心位置;αspi為嚙合角;γspi為相對(duì)位置角。

圖2 太陽(yáng)輪和第i個(gè)行星輪二維投影模型Fig.2 2D dynamic model of sun and planetary gear pair

由幾何關(guān)系得到太陽(yáng)輪和第i個(gè)行星輪任意時(shí)刻的中心距，即動(dòng)態(tài)中心距為

(1)

其中：RCpi和Rs分別為行星輪和太陽(yáng)輪質(zhì)心位置矢量。

Δx和Δy分別為

Δx=xc+rccos(φpi)+xpi+

epicos(φpi)-xs-escos(φs)

(2)

Δy=yc+rcsin(φpi)+ypi+

episin(φpi)-ys-essin(φs)

(3)

其中：rc為行星輪軸心Opi與行星架質(zhì)心Oc之間的距離；φpi為第i個(gè)行星輪軸中心的位置角，φpi=θzc+φpi0，φpi0為第i個(gè)行星輪軸心的初始位置角；es和epi分別為太陽(yáng)輪和行星輪的偏心距；φs和φpi分別為太陽(yáng)輪和行星輪的自轉(zhuǎn)角度，φs=θzs+φs0，φpi=θzpi+φpi0，φs0和φpi0分別為太陽(yáng)輪和行星輪質(zhì)心的初始位置角。

太陽(yáng)輪與行星輪之間的動(dòng)態(tài)嚙合角為

(4)

由幾何關(guān)系可得太陽(yáng)輪與第i個(gè)行星輪之間任意時(shí)刻的相對(duì)位置角為

(5)

其中：sign為符號(hào)函數(shù)。

Aspi和yspi分別如下

(6)

(7)

(8)

嚙合力方向通過(guò)嚙合線與坐標(biāo)軸Oy的夾角ψspi判斷。齒面嚙合時(shí)，ψspi=αspi-γspi；齒背嚙合時(shí)，ψspi=αspi+γspi。

1.2 齒圈-行星輪動(dòng)態(tài)嚙合角

齒圈和第i個(gè)行星輪的動(dòng)力學(xué)模型在Oxy平面上的投影模型如圖 3所示。其中：Cr為齒圈的質(zhì)心位置；er為齒圈偏心距；αrpi為任意時(shí)刻嚙合角；γrpi為任意時(shí)刻相對(duì)位置角。

圖3 齒圈和第i個(gè)行星輪二維動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 2D dynamic model of ring and planetary gear pair

由幾何關(guān)系得到齒圈和第i個(gè)行星輪任意時(shí)刻中心距，即動(dòng)態(tài)中心距為

(9)

其中：Rr為齒圈質(zhì)心位置矢量。

Δx和Δy分別為

Δx=xc+rccos(φpi)+xpi+epicos(φpi)-

xr-ercos(φr)

(10)

Δy=yc+rcsin(φpi)+ypi+episin(φpi)-

yr-ersin(φr)

(11)

其中：φr為齒圈的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，φr=θzr+φr0。

齒圈和第i個(gè)行星輪動(dòng)態(tài)嚙合角為

(12)

由幾何關(guān)系可得任意時(shí)刻齒圈和第i個(gè)行星輪任意時(shí)刻的相對(duì)位置角為

(13)

其中：sign為符號(hào)函數(shù)。

Arpi和yrpi分別為

(14)

(15)

(16)

嚙合力方向通過(guò)嚙合線與坐標(biāo)軸Oy的夾角ψrpi判斷。齒面嚙合時(shí)，ψrpi=αrpi+γrpi；齒背嚙合時(shí)，ψrpi=αrpi-γrpi。

1.3 太陽(yáng)輪-行星輪動(dòng)態(tài)間隙

太陽(yáng)輪-行星輪副間隙如圖 4所示，其中：Lspi為動(dòng)態(tài)中心距；αspi為動(dòng)態(tài)嚙合角。

動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙為

(17)

圖4 外嚙合齒輪副齒側(cè)間隙Fig.4 Illustration of external meshing backlash

由圖4中幾何關(guān)系和漸開線性質(zhì)，結(jié)合式(17)推導(dǎo)得到動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙為

(18)

1.4 齒圈-行星輪動(dòng)態(tài)間隙

齒圈-行星輪組成的內(nèi)嚙合齒輪副的齒側(cè)間隙如圖 5所示，其中：Lrpi為動(dòng)態(tài)中心距；αrpi為動(dòng)態(tài)嚙合角。由漸開線齒輪嚙合原理可得動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙

(19)

由圖5中幾何關(guān)系和漸開線性質(zhì)，結(jié)合式(19)推導(dǎo)得到動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙為

圖5 內(nèi)嚙合齒輪副齒側(cè)間隙Fig.5 Illustration of internal meshing backlash

(20)

1.5 太陽(yáng)-行星動(dòng)態(tài)非線性嚙合力

太陽(yáng)輪嚙合點(diǎn)壓力角與轉(zhuǎn)速關(guān)系如圖 6所示。坐標(biāo)系Osxy在太陽(yáng)輪的理論中心位置，坐標(biāo)軸Oy始終指向行星輪的理論中心位置。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Osεη的中心在太陽(yáng)輪的理論中心位置并隨太陽(yáng)輪旋轉(zhuǎn)。由幾何關(guān)系得太陽(yáng)輪嚙合點(diǎn)的壓力角

(21)

其中：αspi0為嚙合周期起始時(shí)刻嚙合點(diǎn)壓力角；t∈[t1,t2)，t1為嚙合周期起始時(shí)刻，t2為嚙合周期終止時(shí)刻；ωs為行星架的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下太陽(yáng)輪的相對(duì)轉(zhuǎn)速，定義逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。

圖6 嚙合點(diǎn)速度分析Fig.6 Velocity analysis of meshing point

(22)

其中：αa，αb和αc為單、雙齒嚙合邊界條件，由漸開線齒輪嚙合原理得到；ks為單齒嚙合區(qū)的嚙合剛度；ks1，ks2分別為雙齒嚙合區(qū)不同齒對(duì)的嚙合剛度。

本研究采用解析法計(jì)算單對(duì)齒嚙合剛度。將動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙和動(dòng)態(tài)嚙合剛度代替以往嚙合模型中定常間隙和準(zhǔn)靜態(tài)周期時(shí)變嚙合剛度，可得太陽(yáng)輪和行星輪之間動(dòng)態(tài)嚙合力為

(23)

f和f1的表達(dá)式分別為

(24)

(25)

動(dòng)態(tài)傳遞誤差分別為

Δspi1= (xs-xc-xpi)sin(αspi-γspi)+

(ys-yc-ypi)cos(αspi-γspi)+θzsRs-

θzcRs-θpiRzpi+Espi

(26)

Δspi2= (xs-xc-xpi)sin(αspi+γspi)-(ys-

yc-ypi)cos(αspi+γspi)-θzsRs+θzcRs+

θpiRzpi+Espi

(27)

其中：γspi為齒輪位置角；αspi為動(dòng)態(tài)嚙合角；Espi為由齒形誤差等引起的齒形偏差。

1.6 齒圈-行星輪動(dòng)態(tài)非線性嚙合力

行星輪嚙合點(diǎn)壓力角與轉(zhuǎn)速的關(guān)系如圖 7所示。坐標(biāo)系Opxy原點(diǎn)在行星輪的理論中心位置，坐標(biāo)軸Oy反向始終指向齒圈的理論中心位置，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Opεη的中心為行星輪的理論中心位置并隨行星輪旋轉(zhuǎn)。由幾何關(guān)系得任意時(shí)刻行星輪嚙合點(diǎn)的壓力角為

(28)

其中：arpi0為嚙合周期起始時(shí)刻嚙合點(diǎn)壓力角；t∈[t1,t2)，t1為嚙合周期起始時(shí)刻，t2為嚙合周期終止時(shí)刻；ωpi為行星架的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下行星輪的自轉(zhuǎn)速度，定義逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。

圖7 嚙合點(diǎn)速度分析Fig.7 Velocity analysis of meshing point

結(jié)合漸開線齒輪的嚙合原理、動(dòng)態(tài)中心距和動(dòng)態(tài)嚙合角可推導(dǎo)得出齒圈嚙合點(diǎn)壓力角

(29)

通過(guò)式(28)、式(29)可確定齒面或齒背嚙合狀態(tài)任意參與嚙合輪齒的嚙合點(diǎn)壓力角。

對(duì)于齒圈和行星輪組成的內(nèi)嚙合副，采用解析法計(jì)算嚙合剛度，單齒嚙合剛度計(jì)算公式為

ks(αpi)=

(30)

其中：δBr和δBpi分別為齒圈和第i個(gè)行星輪輪齒本身的變形；δMr和δMpi分別為齒圈和第i個(gè)行星輪輪體的附加變形；δC為輪齒之間的接觸變形。

將動(dòng)態(tài)齒側(cè)間隙和動(dòng)態(tài)嚙合剛度代替以往嚙合模型中定常間隙和準(zhǔn)靜態(tài)周期時(shí)變嚙合剛度，可得齒圈和行星輪之間動(dòng)態(tài)嚙合力為

(31)

f和f1的表達(dá)式分別為

(32)

(33)

Δrpi1= (xr-xc-xpi)sin(αrpi+γrpi)-

(yr-yc-ypi)cos(αrpi+γrpi)+θzpiRpi-

θzrRr-θzcRr+Erpi

(34)

Δrpi2= (xr-xc-xpi)sin(αrpi-γrpi)+

(yr-yc-ypi)cos(αrpi-γrpi)-θzpiRpi+

θzrRr+θzcRr+Erpi

(35)

其中：γrpi為齒輪位置角；αrpi為動(dòng)態(tài)嚙合角；Erpi為齒形誤差。

2 行星齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型

通過(guò)拉格朗日方程建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。動(dòng)能函數(shù)包括太陽(yáng)輪、齒圈、行星輪和行星架的動(dòng)能函數(shù)，勢(shì)能函數(shù)包含行星架與各行星輪之間的勢(shì)能函數(shù)，而耗能函數(shù)等于0，未考慮傳動(dòng)軸和軸承等彈性元件。非保守力包括行星齒輪傳動(dòng)的內(nèi)、外嚙合齒輪副在齒面嚙合、齒背嚙合交替變化時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)嚙合力。結(jié)合圖2和圖 3，分別針對(duì)齒面、齒背嚙合狀態(tài)進(jìn)行受力分析，將作用于太陽(yáng)輪、齒圈和第i個(gè)行星輪各廣義坐標(biāo)上的非保守廣義力組成列向量Qs，Qr和Qpi。將動(dòng)能函數(shù)、勢(shì)能函數(shù)和非保守力帶入拉格朗日方程得出行星系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。

太陽(yáng)輪動(dòng)力學(xué)方程為

(36)

齒圈動(dòng)力學(xué)方程為

(37)

行星架動(dòng)力學(xué)方程為

(38a)

(38b)

(38c)

第i個(gè)行星輪動(dòng)力學(xué)方程為

-Fspisin(αspi-Γspiγspi)+Frpisin(αrpi+Γrpiγrpi)

(39a)

-ΓspiFspicos(αspi-Γspiγspi)-

ΓrpiFrpicos(αrpi+Γrpiγrpi)

(39b)

φpi0))=rbpi(ΓspiFspi+ΓrpiFrpi)

(39c)

上式中Fxcpi和Fycpi如下

(40)

其中：Fspi和Frpi分別為太陽(yáng)輪和齒圈與第i個(gè)行星輪之間的動(dòng)態(tài)嚙合力；齒面嚙合狀態(tài)時(shí)，Γspi=Γrpi=1；齒背嚙合狀態(tài)時(shí)，Γspi=Γrpi=-1；αspi和αrpi為動(dòng)態(tài)嚙合角；γspi和γrpi為相對(duì)位置角。

非線性動(dòng)力學(xué)模型與非線性動(dòng)態(tài)嚙合模型反饋計(jì)算流程如圖 8所示。

圖8 計(jì)算流程Fig.8 Simulation flowchart

3 行星齒輪系統(tǒng)試驗(yàn)驗(yàn)證

針對(duì)單排行星齒輪傳動(dòng)試驗(yàn)裝置分別進(jìn)行數(shù)值仿真和試驗(yàn)測(cè)試，試驗(yàn)及模型中齒輪均未進(jìn)行變位，且各齒輪參數(shù)如表1所示。

表1 單級(jí)行星齒輪傳動(dòng)參數(shù)表

行星齒輪傳動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)布置如圖 9所示。

圖9 單排行星齒輪傳動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)布置示意圖Fig.9 Test diagram of planetary transmission

3.1 測(cè)試原理

3.1.1 齒圈齒根應(yīng)變測(cè)試原理

在齒圈端面上選擇8個(gè)輪齒作為測(cè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)相鄰輪齒作為1組，各組工作片的相對(duì)位置相同且相距90°，溫度補(bǔ)償片的位置在靠近工作片的齒圈外側(cè)，應(yīng)變片的連接橋路采用單臂半橋方式連接。齒圈應(yīng)變片粘貼圖和連接橋路如圖 10所示。

圖10 齒圈應(yīng)變片粘貼圖和連接橋路Fig.10 Installation diagram of strain gauge and diagram of bridge circuit

(41)

由采集時(shí)間內(nèi)各短時(shí)信號(hào)內(nèi)嚙合均載系數(shù)，可得采集時(shí)間內(nèi)的內(nèi)嚙合均載系數(shù)最大值為

(42)

其中：N為采集時(shí)間內(nèi)所包含的短時(shí)信號(hào)的個(gè)數(shù)。

3.1.2 齒圈橫向振動(dòng)位移

在箱體的側(cè)輔板上安裝1個(gè)電渦流位移傳感器，測(cè)試齒圈的橫向振動(dòng)位移，如圖 11所示。位移傳感器信號(hào)線通過(guò)箱蓋上預(yù)留的導(dǎo)線孔伸出與控制器相聯(lián)，從控制器出來(lái)的信號(hào)線再與數(shù)采前端連接。

圖11 電渦流位移傳感器安裝圖Fig.11 Installation diagram of eddy current displacement sensor

3.2 測(cè)試結(jié)果分析

靜態(tài)條件下，電渦流位移傳感器前端距齒圈表面0.8mm左右。輸入轉(zhuǎn)速為1kr/min，輸入轉(zhuǎn)矩分別為28和57N·m時(shí)，電渦流位移傳感器試驗(yàn)結(jié)果如圖12和圖13所示。由圖可知，傳感器端面最遠(yuǎn)距離齒圈表面0.9mm左右，最近距離齒圈表面0.7mm左右，即齒圈的振動(dòng)位移在0.2mm左右。結(jié)合頻譜圖，齒圈的橫向振動(dòng)位移的頻率成分主要在0～200Hz范圍內(nèi)，包含輸入和輸出端轉(zhuǎn)頻及轉(zhuǎn)頻的倍頻，同時(shí)存在一些無(wú)法分析原因的頻率成分。

圖12 齒圈振動(dòng)位移(28N·m，1kr/min)Fig.12 Vibration displacement of ring(28N.m，1kr/min)

圖13 齒圈振動(dòng)位移(57N·m，1kr/min)Fig.13 Vibration displacement of ring(57N.m，1kr/min)

輸入轉(zhuǎn)速為3.5kr/min，輸入轉(zhuǎn)矩分別為28和57N·m時(shí)，位移傳感器試驗(yàn)結(jié)果如圖 14和圖 15所示。由圖可知，齒圈振動(dòng)位移幅值在0.25mm左右，較轉(zhuǎn)速1kr/min下的振動(dòng)位移增加了0.05mm左右。結(jié)合頻譜圖，由于轉(zhuǎn)速增加，齒圈的橫向振動(dòng)位移的頻帶變寬，頻率成分主要集中在0～600Hz范圍內(nèi)，主要包含太陽(yáng)輪和行星架的轉(zhuǎn)頻及轉(zhuǎn)頻的倍頻，同樣存在一些無(wú)法分析出原因的頻率成分。

圖14 齒圈振動(dòng)位移(28N·m，3.5kr/min)Fig.14 Vibration displacement of ring(28N·m，3.5kr/min)

圖15 齒圈振動(dòng)位移(57N·m，3.5kr/min)Fig.15 Vibration displacement of ring(57N·m，3.5kr/min)

根據(jù)齒圈橫向振動(dòng)位移的試驗(yàn)結(jié)果，計(jì)算其峰峰值，將其與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果及兩者之間的誤差如表2所示。由表可知，隨著轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩的變化，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果均無(wú)明顯變化趨勢(shì)，且二者之間的最大相對(duì)誤差為18.78%。

表 2 齒圈橫向振動(dòng)位移峰峰值

對(duì)于振動(dòng)位移，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間產(chǎn)生誤差的主要原因包括：a.電渦流位移傳感器并非嚴(yán)格對(duì)準(zhǔn)齒圈中心；b.仿真中齒圈簡(jiǎn)化為剛體，實(shí)際上在受力狀態(tài)下齒圈會(huì)產(chǎn)生彈性變形；c.在測(cè)量過(guò)程中箱體輔板上的電渦流傳感器會(huì)隨著箱體的振動(dòng)而振動(dòng)。

由齒圈各測(cè)點(diǎn)的應(yīng)變測(cè)試結(jié)果，結(jié)合式(41)和式(42)得到內(nèi)嚙合均載系數(shù)，將其與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。不同工況下內(nèi)嚙合均載系數(shù)的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果及誤差如表3所示。由表可以看出，隨著轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩的變化，內(nèi)嚙合均載系數(shù)均無(wú)明顯變化趨勢(shì)。仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的最大相對(duì)誤差為18.51%。

表3 內(nèi)嚙合均載系數(shù)對(duì)比分析

對(duì)于均載系數(shù)，造成仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間產(chǎn)生誤差的主要原因包括：a.由于采集系統(tǒng)通道數(shù)量，無(wú)法在每個(gè)齒根進(jìn)行貼片，測(cè)試結(jié)果僅為幾個(gè)離散位置的結(jié)果；b.不同應(yīng)變片之間的粘貼方向無(wú)法完全相同；c.應(yīng)變片的粘貼工藝、連接導(dǎo)線的阻抗和應(yīng)變儀自身測(cè)量誤差都對(duì)測(cè)試信號(hào)形成干擾。

4 結(jié) 論

1) 針對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，分析了幾何偏心、中心距偏差和橫向位移引起的中心距變化對(duì)嚙合角和間隙的影響，分析了齒輪的轉(zhuǎn)速波動(dòng)、齒輪中心距變化對(duì)嚙合點(diǎn)位置的影響。分別針對(duì)太陽(yáng)輪-行星輪與齒圈-行星輪提出了齒輪嚙合動(dòng)態(tài)模型，推導(dǎo)出齒輪中心距變化對(duì)嚙合剛度、嚙合力的影響。考慮中心距變化、陀螺力矩并結(jié)合齒輪嚙合動(dòng)態(tài)模型，采用拉格朗日法推導(dǎo)出行星齒輪橫-扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型。

2) 針對(duì)單排行星齒輪傳動(dòng)試驗(yàn)裝置，開展了振動(dòng)特性試驗(yàn)研究。對(duì)比分析了多個(gè)穩(wěn)態(tài)工況下齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒圈橫向振動(dòng)位移和內(nèi)嚙合均載系數(shù)的數(shù)值仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果，并分析了可能導(dǎo)致仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間產(chǎn)生誤差的原因。結(jié)果表明，隨著轉(zhuǎn)速的增大，齒圈橫向振動(dòng)位移頻帶變寬，頻率成分分布范圍更廣，且仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果值均無(wú)明顯波動(dòng)，二者的變化趨勢(shì)基本吻合，其誤差在可接受范圍內(nèi)，從而驗(yàn)證了所提出的漸開線直齒輪傳動(dòng)橫-扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型和非線性動(dòng)態(tài)嚙合模型的正確性。

[1] 李潤(rùn)方, 王建軍. 齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1996:132-133.

[2] Ozguven H N, Houser D R. Mathematical models used in gear dynamics-a review[J]. Journal of Sound and Vibration, 1988, 121:383-411.

[3] Wang Jianjun, Li Runfang, Peng Xianghe. Survey of nonlinear vibration of gear transmission systems[J]. Applied Mechanics Reviews, 2003, 56(3):222-227.

[4] Umezawa K, Houjoh H, Matsumura S, et al. Experimental investigation on modal behavior of a helical gear units with various ratio[C]∥Proceedings of the ASME Power Transmission and Gearing Conference. San Diego:[s.n.], 1996:509-517.

[5] Kahraman A, Singh R. Interactions between time varying mesh stiffness and backlash non-linearity in a geared system[J]. Journal of Sound and Vibration, 1991, 146: 135-156.

[6] 董海軍, 沈允文, 高志英, 等. 轉(zhuǎn)速激勵(lì)下齒輪系統(tǒng)拍擊振動(dòng)的分岔特性[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2006, 42 (2):169-172.

Dong Haijun, Shen Yunwen, Gao Zhiying, et al. Bifuration character of rattling in the gear system under the excitation of the rotational speed fluctuation [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2006, 42 (2): 169-172.(in Chinese)

[7] Walha L, Fakhfakh T, Haddar M. Nonlinear dynamics of a two-stage gear system with mesh stiffness fluctuation, bearing exibility and backlash[J]. Mechanism and Machine Theory, 2009, 44:1058-1069.

[8] 崔亞輝, 劉占生, 葉建槐. 齒輪-轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及齒側(cè)間隙對(duì)振幅跳躍特性的影響[J]，機(jī)械工程學(xué)報(bào),2009,45(7):7-15.

Cui Yahui, Liu Zhansheng, Ye Jianhuai. Dynamic response of geared rotor system and the effect of clearance on jump characteristics of amplitude[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009,45(7):7-15.(in Chinese)

[9] Chen Z G, Shao Y M, Lim T C. Nonlinear dynamic simulation of gear response under the idling condition[J]. International Journal of Automotive Technology, 2012, 13:541-552.

[10] Kim W, HeeYoo H, Chung J. Dynamic analysis for a pair of spur gears with transla-tional motion due to bearing deformation[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329: 4409-4421.

[11] Chen Siyu, Tang Jinyuan, Luo Caiwang, et al. Nonlinear dynamic characteristics of geared rotor bearing systems with dynamic backlash and friction[J]. Mechanism and Machine Theory, 2011, 46:466-478.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.025

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375047)

2015-12-11；

2016-05-03

TH113.1

劉輝，女，1975年10月生，教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)檐囕v動(dòng)力學(xué)。曾發(fā)表《A generalized dynamic model of geared system:establishment and application》(《International Journal of Computational Intelligence System》2011,Vol.4,No.6)等論文。

E-mail：lh@bit.edu.cn