基于改進(jìn)m序列的壓縮采樣觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)

崔興梅， 吳 鍵, 徐云鵬

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 南京，210094)

基于改進(jìn)m序列的壓縮采樣觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)

崔興梅， 吳 鍵, 徐云鵬

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 南京，210094)

為了降低對(duì)嵌入式系統(tǒng)數(shù)據(jù)采集的硬件要求，提出了一種適用于模擬信號(hào)采集系統(tǒng)的壓縮采樣方法，為壓縮感知觀測(cè)矩陣提供了一種低功耗硬件實(shí)現(xiàn)方法。介紹了觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)的相關(guān)要求，并提出了帶壓縮采樣矩陣的高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣及基于改進(jìn)的m序列的壓縮采樣矩陣硬件實(shí)現(xiàn)方法?？紤]系統(tǒng)功耗及外圍電路復(fù)雜度問題，提出利用MSP430微處理器完成壓縮采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)，并利用滾珠絲杠動(dòng)態(tài)測(cè)試中的振動(dòng)信號(hào)完成對(duì)系統(tǒng)的驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該系統(tǒng)能以低于亞乃奎斯特采樣頻率的采樣率對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，能較為精確地重構(gòu)出原始信號(hào)。

觀測(cè)矩陣；改進(jìn)型m序列；滾珠絲杠振動(dòng)信號(hào)；MSP430G2微處理器；壓縮采樣

引 言

在許多嵌入式信號(hào)處理系統(tǒng)中，如何使用稀缺的物理資源來獲得滿意的性能是一個(gè)根本性的挑戰(zhàn)。例如，分布式現(xiàn)場(chǎng)傳感器需要有效地進(jìn)行自主的數(shù)據(jù)采集和無線傳輸，但是在這個(gè)過程中會(huì)受到許多物理?xiàng)l件的限制，如覆蓋范圍、檢測(cè)靈敏度及系統(tǒng)的魯棒性等，這就需要對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的硬件系統(tǒng)降低要求。解決該問題的一個(gè)有效方法是減少采集和處理一些不必要的或者多余的數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)的傳感技術(shù)采集的數(shù)據(jù)總量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過所需的數(shù)據(jù)量，在大多數(shù)情況下，往往只有小部分?jǐn)?shù)據(jù)是實(shí)際有用的，其余的都不會(huì)對(duì)處理結(jié)果造成影響，可以被丟棄。因此，文獻(xiàn)[1-2]提出了壓縮感知(compressed sensing, 簡(jiǎn)稱CS)理論。

壓縮感知的基礎(chǔ)理論研究主要包括稀疏變換基的選擇、觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)及信號(hào)重構(gòu)算法研究等[1]。其中，壓縮感知的觀測(cè)過程是對(duì)稀疏信號(hào)的線性非自適應(yīng)性測(cè)量，這是一個(gè)高維稀疏向量降維的過程，也是一個(gè)計(jì)算完備的信號(hào)稀疏系數(shù)向量的過程。如今，壓縮感知理論沒有在更廣闊領(lǐng)域得到應(yīng)用，主要原因就在于壓縮感知的觀測(cè)過程難以在硬件電路中得到實(shí)現(xiàn)，從而難以應(yīng)用于實(shí)際工程之中。

在將壓縮感知理論應(yīng)用于模擬信號(hào)采集的研究中，文獻(xiàn)[3-4]提出了一種應(yīng)用模擬信息轉(zhuǎn)換器( analog-to-information conversion, 簡(jiǎn)稱AIC)實(shí)現(xiàn)壓縮采樣的方法，該轉(zhuǎn)換器使用積分器或低通濾波器完成對(duì)信號(hào)的調(diào)制，即壓縮采樣，在后續(xù)處理中實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的重構(gòu)。文獻(xiàn)[5-6]針對(duì)模擬信息轉(zhuǎn)換器做出了研究，提出了改進(jìn)的模擬信息轉(zhuǎn)換器硬件實(shí)現(xiàn)方案。由于模擬信息轉(zhuǎn)換器在對(duì)信號(hào)調(diào)制(壓縮采樣)時(shí)，所需積分支路由所需信息采樣點(diǎn)數(shù)決定，因此需要大量的積分器或低通濾波器電路，在硬件上難以實(shí)現(xiàn)。

筆者首先介紹了觀測(cè)矩陣需要滿足的有限等距約束(restricted isometry property, 簡(jiǎn)稱RIP)準(zhǔn)則，設(shè)計(jì)了用于硬件微處理器實(shí)現(xiàn)的觀測(cè)矩陣方案，并對(duì)其觀測(cè)性能參數(shù)做出了分析與計(jì)算；其次，設(shè)計(jì)了利用改進(jìn)的m序列產(chǎn)生隨機(jī)采樣序列的方法，并利用數(shù)字電路和微處理器實(shí)現(xiàn)對(duì)一般的連續(xù)模擬信號(hào)的壓縮采樣；最后，利用滾珠絲杠動(dòng)態(tài)測(cè)試中的振動(dòng)信號(hào)完成對(duì)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)及性能仿真驗(yàn)證

設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣時(shí)，一般需要滿足RIP準(zhǔn)則和不相干性準(zhǔn)則等[7]。同時(shí)，由于本研究主要針對(duì)待測(cè)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，還需要滿足時(shí)間性要求。

1.1 矩陣的不相干性

矩陣的不相干性是指在相干測(cè)量中兩個(gè)不同矩陣中任意行列間的最大相關(guān)性[8]。現(xiàn)假設(shè)存在一個(gè)n×n的矩陣ψ，其中，ψ1,ψ2,…,ψn表示其每一個(gè)列向量。存在一個(gè)m×n的矩陣Φ，其中，Φ1,Φ2,……,Φm作為其行向量，則相干系數(shù)μ被定為

(1)

其中：1≤j≤n；1≤k≤m。

在壓縮采樣中，稀疏矩陣和觀測(cè)矩陣的相干性可以反映觀測(cè)矩陣的性能。它們的相干系數(shù)越大，系統(tǒng)需要觀測(cè)的點(diǎn)數(shù)就越多。

1.2 矩陣的RIP準(zhǔn)則

對(duì)于觀測(cè)矩陣ψ，文獻(xiàn)[1-2]在壓縮感知理論的基礎(chǔ)上給出并證明了其必須滿足的PIP準(zhǔn)則。RIP準(zhǔn)則從數(shù)學(xué)角度給出了某一矩陣作為觀測(cè)矩陣需要滿足的不等式條件。

對(duì)于任意c∈R|T|和常數(shù)ξK∈(0,1)，如果

(2)

成立，其中T?{1,2,…,n},|T|≤2K。ψT為K×|T|的子矩陣，由ψ中選出的相關(guān)的列構(gòu)成，則矩陣ψ滿足RIP[9]準(zhǔn)則。

1.3 壓縮采樣的時(shí)間性要求

筆者主要針對(duì)待測(cè)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，信號(hào)是未知的，即在這一時(shí)刻不可能估計(jì)到下一時(shí)刻信號(hào)的狀態(tài)。因此，對(duì)于模擬信號(hào)采集系統(tǒng)，觀測(cè)矩陣的行向量對(duì)應(yīng)信號(hào)的時(shí)間軸，所以要求上一行的最后一個(gè)非零元素要在下一行的第1個(gè)非零元素之前。例如，假設(shè)有2個(gè)4×4的矩陣作為觀測(cè)矩陣

(3)

用ψ2矩陣，這個(gè)采樣過程是無法完成的，因?yàn)樵趖1時(shí)刻進(jìn)行采樣時(shí)，第1行第4列的元素1對(duì)應(yīng)的是信號(hào)t4時(shí)刻的狀態(tài)，而在t1時(shí)刻，該狀態(tài)是未知的，即

(4)

因此，ψ2類型的觀測(cè)矩陣無法應(yīng)用在模擬信號(hào)的壓縮采樣中。

1.4 壓縮采樣觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)及驗(yàn)證

由于大多數(shù)信號(hào)具有稀疏性或在某一變換基下具有稀疏性，考慮設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣ψSample的形式為

(5)

該矩陣被稱為隨機(jī)壓縮采樣矩陣，其構(gòu)成方式為n×n的單位陣中對(duì)角線上的元素隨機(jī)選出m個(gè)位置設(shè)為1，其余位置元素均為零，即對(duì)角線上元素為一隨機(jī)序列。

由于該矩陣結(jié)構(gòu)過于簡(jiǎn)單，不符合作為觀測(cè)矩陣的RIP準(zhǔn)則和不相干性，因此在該矩陣的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)出一種用于硬件壓縮采樣的觀測(cè)矩陣y=ψGaussianψSample。其中，ψGaussian為高斯隨機(jī)矩陣，稱之為帶壓縮采樣的高斯觀測(cè)矩陣。于是，壓縮感知觀測(cè)過程變?yōu)閥=ψGaussianψSamplex。其中，由硬件實(shí)現(xiàn)壓縮采樣矩陣ψSample，對(duì)模擬信號(hào)采集少量觀測(cè)點(diǎn)，將其余序列點(diǎn)補(bǔ)“0”，完成“一次觀測(cè)”。將采集到的“稀疏序列”發(fā)送至上位機(jī)，在Matalb中采用高斯隨機(jī)矩陣ψGaussian對(duì)其完成“二次觀測(cè)”，二次觀測(cè)完成后的向量作為壓縮感知觀測(cè)向量進(jìn)行重構(gòu)。

針對(duì)所設(shè)計(jì)的觀測(cè)矩陣，選取最常用的離散傅里葉變換基(discrete Fourier transformation,簡(jiǎn)稱 DFT)對(duì)其不相干性進(jìn)行計(jì)算，這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)信號(hào)在該變換基下具有稀疏性。設(shè)測(cè)試信號(hào)為有512點(diǎn)的序列，觀測(cè)次數(shù)為80，即m=80，n=512，通過1 000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得到該觀測(cè)矩陣與離散傅里葉變換基相干性參數(shù)的分布統(tǒng)計(jì)直方圖，如圖1所示。

圖1 相干性參數(shù)分布Fig.1 Coherence parameter distribution

壓縮感知中傳感矩陣應(yīng)滿足有限等距約束性(RIP)的條件，K階RIP條件要求參數(shù)ξK∈(0,1)。有限等距常數(shù)(RIC)是與有限等距約束緊密結(jié)合在一起的一個(gè)參數(shù)，具體是指滿足有限等距約束性的最小ξK，該常數(shù)可以根據(jù)傳感矩陣的特征值λ計(jì)算。

同樣令m=80，n=512,選取離散傅里葉變換基為稀疏矩陣，根據(jù)上述原理計(jì)算，其等距約束常數(shù)為0.712 0，基本滿足ξK∈(0,1)的要求。

2 基于改進(jìn)m序列的壓縮采樣矩陣的實(shí)現(xiàn)

2.1 m序列的產(chǎn)生及性質(zhì)

m序列又稱偽隨機(jī)序列，它的特點(diǎn)是不能預(yù)先確定但是可以重復(fù)產(chǎn)生, m序列具有平衡特性、游程特性和移位相加特性[10]。在其平衡特性中，在一個(gè)m序列的每個(gè)周期中，“1”碼元出現(xiàn)的次數(shù)總比“0”碼元多一個(gè)，兩種碼元數(shù)量基本相當(dāng)。但是，在筆者所設(shè)計(jì)的模擬信號(hào)采集系統(tǒng)中采樣點(diǎn)數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度，因此，m序列并不適合做壓縮采樣的隨機(jī)序列。鑒于此，一種改進(jìn)的m序列被設(shè)計(jì)用作壓縮采樣的隨機(jī)序列。

為了使壓縮采樣中的測(cè)量點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度，改進(jìn)的m序列中，“0”出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)遠(yuǎn)大于“1”的數(shù)量。因此，應(yīng)在m序列發(fā)生器電路中增加一個(gè)雙穩(wěn)態(tài)電路和一個(gè)與門，m序列發(fā)生器的輸出與雙穩(wěn)態(tài)電路輸出做“與”運(yùn)算后將結(jié)果輸出到微處理器引腳，其中，m序列發(fā)生器生成的序列觸發(fā)雙穩(wěn)態(tài)電路狀態(tài)的翻轉(zhuǎn)。邏輯轉(zhuǎn)換過程由表1給出。

由表1可以看出，經(jīng)過處理的m序列中“1”的個(gè)數(shù)減少為1/4，基本滿足壓縮采樣點(diǎn)數(shù)的要求，可以用作隨機(jī)采樣序列。

表1 改進(jìn)的m序列發(fā)生器邏輯轉(zhuǎn)換表

2.2 改進(jìn)的m隨機(jī)序列的電路實(shí)現(xiàn)

通常m序列發(fā)生器由N級(jí)反饋移位寄存器構(gòu)成[10]。本研究中設(shè)計(jì)了8級(jí)m序列發(fā)生器，配合雙穩(wěn)態(tài)電路與“與”門，輸出隨機(jī)采樣序列。移位寄存器芯片選擇雙向4位移位寄存器74LS194。雙穩(wěn)態(tài)電路由4013雙D觸發(fā)器芯片構(gòu)成。電路如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的m序列發(fā)生器Fig.2 The improved m sequence generator

3 壓縮采樣系統(tǒng)的硬軟件設(shè)計(jì)

3.1 設(shè)計(jì)需求分析及微處理器選型

一般地，模擬信號(hào)采樣系統(tǒng)需要完成信號(hào)的AD轉(zhuǎn)換、傳輸及處理[11-13]。筆者所設(shè)計(jì)的壓縮采樣系統(tǒng)主要是為了解決嵌入式系統(tǒng)中物理資源缺乏、功耗受限的問題，為了減小系統(tǒng)功耗，降低對(duì)硬件系統(tǒng)物理資源的要求，應(yīng)當(dāng)盡量減少系統(tǒng)外圍電路的規(guī)模。因此，微處理器上應(yīng)集成以下模塊，包括片上AD/DA轉(zhuǎn)換(用于信號(hào)采集)、定時(shí)器模塊(用于計(jì)數(shù))以及UART模塊(用于采樣完成后傳輸數(shù)據(jù)到Matlab)。同時(shí)，微處理器本身也應(yīng)具備低功耗特性。

筆者最終選取MSP430G2型微處理器，因?yàn)樵撎幚砥骶哂袃?nèi)置的10位AD轉(zhuǎn)換器、2個(gè)內(nèi)部定時(shí)器模塊和UART模塊，基本符合系統(tǒng)設(shè)計(jì)的要求，可以實(shí)現(xiàn)低功耗、低成本的“單片”解決方案。與ARM和FPGA相比，該型微處理器具有多達(dá)5種低功耗模式，可以在超低功耗下運(yùn)行。因此，筆者基于MSP430G2553型微處理器進(jìn)行壓縮采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)，編譯工具使用CCS，編程語言采用C語言。

3.2 壓縮采樣系統(tǒng)軟件設(shè)計(jì)

壓縮采樣系統(tǒng)軟件開發(fā)流程如下。

1) 微處理器初始化，包括關(guān)看門狗，配置時(shí)鐘信號(hào)為SMCLK(輔助主時(shí)鐘)。

2) 設(shè)置定時(shí)器定時(shí)時(shí)間，該時(shí)間為改進(jìn)的m序列碼元產(chǎn)生的時(shí)間間隔。此時(shí)定時(shí)器開始計(jì)時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入低功耗模式LPM1，等待喚醒。

3) 定時(shí)時(shí)間到，微處理器喚醒，重裝定時(shí)器初值，同時(shí)檢測(cè)改進(jìn)的m序列輸入引腳狀態(tài)。將檢測(cè)結(jié)果通過UART發(fā)送至上位機(jī)，若狀態(tài)為“1”，啟動(dòng)ADC10模塊進(jìn)行一次采樣，將數(shù)據(jù)通過UART模塊發(fā)送到上位機(jī)；若狀態(tài)為“0”，則發(fā)送數(shù)據(jù)0到上位機(jī)。

具體流程圖如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)軟件流程圖Fig.3 The flow chart of system software

4 壓縮采樣系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

筆者采用滾珠絲杠動(dòng)態(tài)測(cè)試中的振動(dòng)信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的可行性進(jìn)行驗(yàn)證[14]，實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。其中，實(shí)驗(yàn)信號(hào)為200～600Hz的振動(dòng)信號(hào)，由激振器產(chǎn)生。使用加速度傳感器完成數(shù)據(jù)采集，從而對(duì)滾珠絲杠的模態(tài)等相關(guān)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算[15-16]。

圖4 滾珠絲杠動(dòng)態(tài)測(cè)試系統(tǒng)Fig.4 The ball screw dynamic testing system

圖5 模擬信號(hào)采集系統(tǒng)工作流程Fig.5 The working process of imulation signal acquisition system

本實(shí)驗(yàn)將利用所設(shè)計(jì)系統(tǒng)完成對(duì)滾珠絲杠振動(dòng)信號(hào)的壓縮采樣，選取子空間追蹤算法(SP)完成對(duì)信號(hào)的重構(gòu)。圖5為模擬信號(hào)采集系統(tǒng)的壓縮采樣過程及后續(xù)上位機(jī)重構(gòu)流程。

其對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6、圖7所示。

圖6 壓縮采樣系統(tǒng)重構(gòu)振動(dòng)信號(hào)Fig.6 The reconstruction vibration signal of compressed sampling system

圖7 傳統(tǒng)采樣與壓縮采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)比Fig.7 The points comparison of traditional sampling and compression sampling

壓縮采樣過程中信號(hào)稀疏度未知，如果信號(hào)稀疏度估計(jì)存在較大誤差，SP算法重構(gòu)精度會(huì)受到很大的影響。在稀疏度為10的情況下殘余誤差不一定是最小的。因此，對(duì)于觀測(cè)的120個(gè)采樣點(diǎn)，在稀疏度從0到50的情況下，在各種稀疏度下均重構(gòu)1 000次，得到2組實(shí)驗(yàn)信號(hào)的重構(gòu)殘余誤差和重構(gòu)時(shí)間與稀疏度的關(guān)系，如圖8所示。

圖8 不同稀疏度下信號(hào)的重構(gòu)時(shí)間與殘余誤差Fig.8 The reconstruction time and residual error of signal on different sparsity

通過計(jì)算，在最適應(yīng)稀疏度下與傳統(tǒng)采樣方法相比，基于改進(jìn)m序列的壓縮采樣系統(tǒng)重構(gòu)殘余誤差為0.0560，可以較為精確地完成原始信號(hào)的重構(gòu)。

5 結(jié)束語

提出了一種基于壓縮感知理論的模擬信號(hào)采集方法，為壓縮感知觀測(cè)矩陣提供了一種低功耗硬件實(shí)現(xiàn)方法，實(shí)現(xiàn)了硬件壓縮采樣過程。該方法突破了壓縮感知理論仿真研究的局限性，降低了對(duì)硬件數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的要求，具有一定的實(shí)用價(jià)值。為驗(yàn)證系統(tǒng)的實(shí)用性，利用滾珠絲杠動(dòng)態(tài)測(cè)試中的振動(dòng)信號(hào)完成了對(duì)系統(tǒng)的驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該系統(tǒng)能夠以低于乃奎斯特頻率的采樣率實(shí)現(xiàn)對(duì)相關(guān)信號(hào)的壓縮采樣，并根據(jù)采樣數(shù)據(jù)較精確的恢復(fù)出原始信號(hào)。

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Weng Jianguang, Yuan Juntang, Wang Zhenhua, et al. Analysis on statics characteristic of ball screw[J]. Manufacturing Technology and Machine Tools, 2012(11):127-130. (in Chinese)

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.06.014

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51105209，61401211，51175267)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(30915118804)；江蘇省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目(15KJA460004)；高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃資助項(xiàng)目(B16025);航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20161959001)

2016-02-29；

2016-06-07

TP3

崔興梅，女，1992年2月生，碩士生。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)。曾發(fā)表《A novel RFID-based sensing method for low-cost bolt loosening monitoring》(《Sensors》2016,Vol.16,No.2)等論文。

E-mail: 114101000159@njust.edu.cn

吳鍵，男，1979年11月生，副教授。主要研究方向?yàn)闊o線傳感器網(wǎng)絡(luò)。

Ε-mail:wuj@njust.edu.cn

歡迎訂閱《振動(dòng)、測(cè)試與診斷》

《振動(dòng)、測(cè)試與診斷》由工業(yè)和信息化部主管，南京航空航天大學(xué)和全國(guó)高校機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)研究會(huì)聯(lián)合主辦，是反映振動(dòng)、動(dòng)態(tài)測(cè)試及故障診斷學(xué)科領(lǐng)域的科研成果及其應(yīng)用情況的技術(shù)性刊物。主要刊登國(guó)內(nèi)外以振動(dòng)測(cè)試與故障診斷為中心的動(dòng)態(tài)測(cè)試?yán)碚?、方法和手段的研究及?yīng)用方面的技術(shù)文獻(xiàn)，包括實(shí)驗(yàn)測(cè)試技術(shù)、測(cè)試儀器的研制、方法和系統(tǒng)組成、信號(hào)分析、數(shù)據(jù)處理、參數(shù)識(shí)別與故障診斷以及有關(guān)裝置的設(shè)計(jì)、使用、控制、標(biāo)定和校準(zhǔn)等，不拘泥于行業(yè)和測(cè)試項(xiàng)目。

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