高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的實例探究

摘 要：高中數(shù)學(xué)的一個主要板塊就是函數(shù)與方程，并且函數(shù)與方程穿插在高中數(shù)學(xué)知識的各個方面，所以函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中至關(guān)重要。函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用有不等式求解、零點求解和方程根個數(shù)求解等多個方面。文章首先簡要介紹了函數(shù)與方程思想的含義，然后通過函數(shù)與方程在解題中幾個方面的應(yīng)用來展現(xiàn)函數(shù)與方程思想在實例中的解題思路。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)與方程；思想；解題

一、 函數(shù)與方程思想的含義

函數(shù)與方程是兩個概念，它們之間又存在著聯(lián)系，所以在解題過程中我們要將函數(shù)思想和方程思想結(jié)合起來，這樣才能讓解題變得更加容易、簡便。解題過程中我們要將極值、不等式、求解方程和求解參數(shù)取值范圍等問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)的函數(shù)問題或構(gòu)建方程和方程組，從而簡化解題思路，把問題簡單化達(dá)到更好的解題效果。

（一） 函數(shù)思想

簡要來說，函數(shù)思想是從變化和運動的角度解題，主要是分析和探求數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，利用函數(shù)思想解題過程中對于方程和不等式等數(shù)學(xué)問題，我們要通過構(gòu)建函數(shù)和函數(shù)關(guān)系，并利用函數(shù)圖像和性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題?？梢哉f解決函數(shù)問題是以函數(shù)思想為基礎(chǔ)的。

（二） 方程思想

方程思想主要應(yīng)用于已知和未知間的等量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，利用方程思想解題過程中對于變量直觀關(guān)系等數(shù)學(xué)問題，我們首先要構(gòu)建方程和方程組，然后結(jié)合方程的性質(zhì)來解題。我們要想熟練地利用方程思想解決數(shù)學(xué)問題，首先要深刻地理解方程的概念。

二、 高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的實例

（一） 函數(shù)與方程思想在不等式求解中的應(yīng)用

不等式應(yīng)用非常廣泛，在選擇題和應(yīng)用題中都經(jīng)?？疾?，且經(jīng)常綜合其他數(shù)學(xué)知識來考查學(xué)生，函數(shù)與方程思想在不等式求解類似問題中常常是解題的關(guān)鍵。利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決含有參數(shù)的不等式求解等問題，例如我們在面對直接求解不等式的問題時，我們可以利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)將問題簡化，將不等式的右邊化為零，而將不等式的左邊化為函數(shù)，這樣問題就會變得簡單許多。利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性會很容易地解決不等式求最值的問題。

例題：求證：任意實數(shù)x，y，z∈（0，1），在x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1中成立。

解析：假設(shè)x為主元，y，z為參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z

可得：

如果1-y-z=0時，則f（x）=y-z+z

如果1-y-z≠0時，f（x）為一次函數(shù)，且在區(qū)間（0，1）單調(diào)，

∴f（0）=y（1-z）+z=y（1-z）+（z-1）+1=（1-z）（y-1）-1<1

得：f（1）=1-yz<1

∴f（x）于（0，1）區(qū)間始終有f（x）<1

即，x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1

例題中運用函數(shù)與方程思想構(gòu)建函數(shù)f（x），將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過函數(shù)進(jìn)行假設(shè)來解決題目所給出的問題。

（二） 函數(shù)與方程思想在零點求解中的應(yīng)用

零點求解也是在考試中經(jīng)常出現(xiàn)的考題，我們通常會利用函數(shù)與方程思想解決零點求解問題。對于零點求解的題目有的時候題目通常會給出函數(shù)，這就不需要我們再重新構(gòu)建函數(shù)，然后題目定義該函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有n個零點，讓學(xué)生求取區(qū)間范圍，或讓學(xué)生求取函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有幾個零點。在解題過程中我們可以利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)，首先通過題目所給出的條件做出函數(shù)圖象，然后如果是選擇或填空題有助于學(xué)生可以直觀地找出題目的答案，如果是簡答或應(yīng)用題也可以為學(xué)生提供一個清晰的解題思路。

（三） 函數(shù)與方程思想在方程根個數(shù)求解中的應(yīng)用

方程根個數(shù)求解過程中結(jié)合函數(shù)與方程思想，通常首先根據(jù)函數(shù)圖象中函數(shù)與x軸交點的個數(shù)確定方程根的個數(shù)，然后再根據(jù)題目要求具體作答。

例題：x2=2x方程解的個數(shù)

解析：首先我們要畫出函數(shù)f（x）=x2-2x的函數(shù)圖象（如圖1），然后根據(jù)函數(shù)的圖象不難看出，函數(shù)和x軸共有3個交點，因此x2-2x方程解的個數(shù)為3個。

（四） 函數(shù)與方程思想在方程數(shù)列求解中的應(yīng)用

數(shù)列即按一定的次序排列的一列數(shù)，結(jié)合函數(shù)與方程思想，我可以將一個數(shù)列看作一個函數(shù)，而這個函數(shù)的定義域為正整數(shù)，數(shù)列的項即數(shù)列中的每一個數(shù)就是項數(shù)的函數(shù)，函數(shù)值對應(yīng)數(shù)列自變量按一定次序的取值，函數(shù)的解析式對應(yīng)數(shù)列的通項公式。所以，在實際的數(shù)列解題過程中，我們結(jié)合函數(shù)與方程思想將數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)，這樣解題就會變得容易許多。

三、 高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想總結(jié)

上面的內(nèi)容簡單介紹了函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用的幾個方面，并對這幾種類型的解題思路進(jìn)行了簡單的介紹，但我們在運用函數(shù)與方程思想解題的過程中仍要注意一下幾個問題：第一，解題時要先考慮題目是否能夠運用函數(shù)與方程思想來解答；第二，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)比較困難時，可以考慮構(gòu)建兩個函數(shù)；第三，求方程的根時，要注意題目對根的要求，根的范圍和正負(fù)等。

函數(shù)與方程思想在解題中只是一種理論指導(dǎo)，要想讓學(xué)生熟練應(yīng)用函數(shù)與方程思想，需要教師在教學(xué)中不但要讓學(xué)生理解函數(shù)與方程思想的本質(zhì)，還要讓學(xué)生慢慢學(xué)會應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：

張會明，甘肅省酒泉市，金塔縣中學(xué)。