基于小波變換與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像邊緣檢測方法

李穎瑩 魏連鑫

摘 要：為得到更加連續(xù)完整的邊緣圖像，提出一種基于B樣條小波變換與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像邊緣檢測方法，在此方法中給出有效重構(gòu)算法。針對自然圖像，利用B樣條小波變換作用于圖像的高頻子圖像得到高頻邊緣圖；利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)檢測圖像的低頻子圖像得到圖像的低頻邊緣圖；利用文中給出的有效重構(gòu)的方法將高頻邊緣圖和低頻邊緣圖重構(gòu)得到最終的邊緣圖像。實驗結(jié)果表明，新方法提取出的邊緣效果較之前更佳。

關(guān)鍵詞：小波變換；B樣條小波；數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)；邊緣檢測；有效重構(gòu)

中圖分類號：TP391.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2096-1472（2018）-11-21-04

1 引言（Introduction）

圖像信號的突變點、不規(guī)則結(jié)構(gòu)和不平穩(wěn)現(xiàn)象處會產(chǎn)生圖像的邊緣。圖像邊緣是一種重要的視覺信息，為人們描述或識別目標(biāo)及解釋圖像提供了一個重要的特征參數(shù)。許多學(xué)者對邊緣檢測做出研究。Canny在1986年提出的邊緣檢測的計算，Mallat提出的信號處理的小波變換原理[1-3]等研究為邊緣檢測的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)。

劉曉豫提出的小波變換的方法進(jìn)行圖像邊緣檢測[4]，雖然在對圖像邊緣的定位和抑噪性能方面表現(xiàn)較好，但只是從圖像分解的高頻分量中獲取邊緣，忽略了低頻信息，檢測出的邊緣并不完整。陳虎采用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法進(jìn)行圖像邊緣檢測[5]，提出將多種結(jié)構(gòu)元素作用于圖像，解決了單一結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行邊緣檢測時的缺點，但對于結(jié)構(gòu)元素不同方向的邊緣會被平滑掉。因此，為實現(xiàn)更好的邊緣檢測效果，應(yīng)該兼顧圖像的高頻分量和低頻分量。王海虹在文獻(xiàn)中提出一種小波變換[6]和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)結(jié)合的邊緣檢測算法[7，8]，但對于自然含噪的圖像，檢測結(jié)果依然含有因噪聲產(chǎn)生的偽邊緣?；谶@一點，本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上提出一種有效重構(gòu)的方法。本文首先對圖像進(jìn)行小波分解，結(jié)合B樣條小波和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法分別獲得高頻邊緣和低頻邊緣。將低頻邊緣重構(gòu)得到低頻結(jié)果圖，將低頻與高頻邊緣重構(gòu)得到邊緣結(jié)果圖，利用低頻結(jié)果圖對邊緣結(jié)果圖進(jìn)行過濾操作得到邊緣圖像。結(jié)果表明，此方法更加有效地提取了圖像的邊緣。

2 基于小波變換與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)結(jié)合的圖像邊緣檢測算法（Image edge detection algorithm based onwavelet transform and mathematical morphology）

2.1 小波對圖像的分解與重構(gòu)

利用小波變換的原理對圖像進(jìn)行分解與重構(gòu)。設(shè)信號在空間中有逼近?？捎蓛蓚€基本正交基表示，其中

其中，LL區(qū)域為原圖像的低頻部分即為，保留原圖像的大部分信息。HL區(qū)域即為保留原圖像的水平方向的高頻信息，LH區(qū)域即為保留原圖像的垂直方向的高頻信息，HH區(qū)域即為保留原圖像的對角線方向的高頻信息[2，3]。

重構(gòu)與分解是相互伴隨的。得到的重構(gòu)公式為：

對圖像進(jìn)行上采樣后，通過上述公式計算即可得到重構(gòu)后的系數(shù)。

2.2 小波變換對高頻分量邊緣檢測

小波變換邊緣檢測算法是將圖像與濾波器作卷積處理獲得平滑圖像以便于后續(xù)的邊緣檢測[9]。小波分析良好的時頻局部化能力，天然的多尺度特征，可將圖像分解成交織在一起的多尺度成分，并對大小不同的尺度成分采用相應(yīng)粗細(xì)的時域或空域取樣步長。即任意一個信號都可以由小波系數(shù)來刻畫。由于收斂于Canny算子的B樣條小波既能近似滿足Canny提出的最優(yōu)原則[2]，又可以快速有效的實現(xiàn)邊緣檢測，所以本文算法中選取B樣條小波對圖像進(jìn)行邊緣檢測。

對圖像進(jìn)行多層小波分解后，每一層的高頻分量都提供了不同頻率的邊緣信息。多尺度小波邊緣檢測就是利用一個二階可導(dǎo)平滑函數(shù)在不同尺度下所檢測的信號，根據(jù)一次微分找出它的突變點。一次微分的極大值點對應(yīng)平滑后信號的拐點[10]。尺度小時圖像邊緣信息更豐富；尺度大時，噪聲得到抑制，但邊緣精度差。因此將多尺度圖像融合起來發(fā)揮各尺度的優(yōu)勢，得到精確的邊緣信息[11-13]。

對固定的尺度s，在二維平面上的一點，在由給出的方向上，若是局部極大值點，則點為邊緣點。

以下為對高頻分量的檢測步驟：

（1）設(shè)置B樣條濾波器系數(shù)及分解級數(shù)。

（2）對圖像進(jìn)行分解并求出不同尺度下的的梯度方向和梯度矢量。

（3）沿著梯度方向檢測小波模極大值點得到圖像的邊緣點。

（4）對檢測出的邊緣點進(jìn)行判定是否為真邊緣，使用兩個閾值，其中，當(dāng)梯度值大于的為強邊緣像素，值在 之間的為弱邊緣像素，通過判斷8領(lǐng)域是否高于閾值判斷真假邊緣。

（5）對邊緣圖進(jìn)行重構(gòu)得到高頻邊緣子圖像。

對高頻分量檢測的算法流程圖如下圖1所示。

2.3 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對低頻分量邊緣檢測

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一種非線性濾波方法，基本運算包括膨脹、腐蝕、開運算和閉運算。一般而言，膨脹運算是把圖像連接成分的邊界擴大一層。將與物體接觸的所有背景點合并到物體中，使目標(biāo)增大，可添補目標(biāo)中的空洞。腐蝕運算把連接成分的邊界點去掉從而縮小一層，使目標(biāo)縮小，可以消除小于結(jié)構(gòu)元素的噪聲點。開運算是先腐蝕后膨脹的過程，可以消除圖像上細(xì)小的噪聲，并平滑物體邊界。閉運算是先膨脹后腐蝕的過程，可以填充物體內(nèi)細(xì)小的空洞[14-16]。設(shè)為輸入圖像，是結(jié)構(gòu)元素，為輸出圖像，則將以上運算表示出來為：

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)邊緣檢測效果與結(jié)構(gòu)元素形狀、大小都有著十分重要的聯(lián)系。一定尺寸的背景圖像就是結(jié)構(gòu)元素，通過與圖像進(jìn)行各種形態(tài)學(xué)運算，實現(xiàn)對圖像的形態(tài)學(xué)變換。在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)邊緣檢測中，結(jié)構(gòu)元素是一個重要的概念，它在各種形態(tài)變換中起著重要作用。小尺寸的結(jié)構(gòu)元素去噪能力弱，但能檢測到邊緣細(xì)節(jié)；大尺寸的結(jié)構(gòu)元素去噪能力強，但檢測的邊緣粗糙[8]。本文利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法對低頻子圖像進(jìn)行邊緣檢測，低頻近似子圖像噪聲較少，所以本文選用小尺寸的結(jié)構(gòu)元素。

2.4 高低頻邊緣的有效重構(gòu)

區(qū)別于文獻(xiàn)[15，16]直接將低頻邊緣和高頻邊緣重構(gòu)即得到圖像的邊緣檢測圖，為得到效果更加的邊緣結(jié)果圖，消除噪音干擾造成的偽邊緣，本文在最終對低頻邊緣和高頻邊緣進(jìn)行有效重構(gòu)。首先利用第一部分介紹的重構(gòu)算法對低頻邊緣和高頻邊緣進(jìn)行重構(gòu)得到邊緣圖。在對低頻邊緣進(jìn)行重構(gòu)得到低頻結(jié)果圖，對得到的低頻結(jié)果圖作形態(tài)學(xué)模糊操作。本文利用結(jié)構(gòu)元素對低頻結(jié)果圖作閉合操作，結(jié)構(gòu)元素為半徑為9的圓盤。為抑制邊緣圖像中的噪音區(qū)域，形態(tài)學(xué)模糊操作得到的結(jié)果作用在邊緣圖上，即令邊緣圖與其進(jìn)行點乘運算得到原圖像的邊緣圖。本文整體算法流程圖如圖2所示。

3 結(jié)論（Conclusion）

本文以荷花圖為例進(jìn)行基于小波變換及數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)邊緣檢測算法實驗。實驗中利用Haar小波對圖像進(jìn)行分解與重構(gòu)。在對高頻分量小波邊緣檢測中，小波分解級數(shù)設(shè)定為2。實驗結(jié)果如圖3所示，圖（a）為帶有一定噪音的原圖像；圖（b）為利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)邊緣檢測低頻分量邊緣圖，檢測出的花干及花朵細(xì)節(jié)較佳，噪音少；圖（c）為利用b樣條小波變換檢測出的高頻分量邊緣圖，依次為高頻水平邊緣子圖，高頻垂直邊緣子圖和高頻對角線邊緣子圖，如圖噪聲依舊存在，但花朵細(xì)節(jié)豐富；圖（d）為傳統(tǒng)小波變換邊緣圖，如圖在花干及花朵部分細(xì)節(jié)缺失較多；圖（e）為將低頻邊緣與高頻邊緣直接重構(gòu)得到的結(jié)果，重構(gòu)圖像依然檢測出很多噪聲；圖（f）為本文算法重構(gòu)圖，相比較實驗結(jié)果表明有效重構(gòu)后圖像有效的提高了邊緣細(xì)節(jié)的提取效果，在消除噪音的方面效果更佳，得到了更加精確地邊緣圖。

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作者簡介：

李穎瑩（1994-），女，碩士生.研究領(lǐng)域：小波分析與應(yīng)用.

魏連鑫（1977-），男，博士，講師.研究領(lǐng)域：數(shù)值逼近與小波分析.