高等數(shù)學(xué)中極限教學(xué)的幾點(diǎn)思考

袁德有

摘 要：極限思想和方法是解決微積分問(wèn)題的基本工具，是微積分教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。文章從認(rèn)識(shí)極限方法產(chǎn)生的必然性、理解極限方法的實(shí)質(zhì)、了解極限方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用三個(gè)方面進(jìn)行探究，為學(xué)生學(xué)好極限提供了一條有益的途徑。

一、認(rèn)識(shí)極限方法產(chǎn)生的必然性

教師開(kāi)始講解極限知識(shí)時(shí)，可在學(xué)生原有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上提出一些簡(jiǎn)單問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考。例如，關(guān)于矩形的面積A=a·b的問(wèn)題，教師可用以下方式來(lái)教學(xué)：當(dāng)我們規(guī)定邊長(zhǎng)是1的正方形的面積是1=1×1時(shí)，自然就能推出一邊長(zhǎng)是2，另一邊長(zhǎng)是3的矩形面積是2×3。由于邊長(zhǎng)是有理數(shù)，可以按照一定的比例得出來(lái)，所以就有有理數(shù)邊長(zhǎng)的矩形面積，應(yīng)該是a×b。如果邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)a，b時(shí)，怎么辦呢？經(jīng)過(guò)思考，學(xué)生會(huì)意識(shí)到要用邊長(zhǎng)是有理數(shù)an、bn這種矩形面積An去逼近A，亦即要用an去逼近a，用bn去逼近b。然后再讓學(xué)生回憶圓的面積、圓錐體積產(chǎn)生的情況，使學(xué)生清楚，碰到這樣一些基本問(wèn)題時(shí)，要解決它們，也應(yīng)當(dāng)運(yùn)用極限方法。教師講到求解變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，以及求曲邊梯形面積等問(wèn)題時(shí)，應(yīng)再繼續(xù)闡述極限方法產(chǎn)生的必然性。

二、理解極限方法的實(shí)質(zhì)

極限的方法，實(shí)質(zhì)上就是一種逼近的方法。例如，圓的面積通過(guò)用內(nèi)接正多邊形的面積An，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，可用極限知識(shí)確定圓的面積；對(duì)于變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在[t0，t0+△t]上的平均速度—，當(dāng)△t→0時(shí)，可用極限知識(shí)來(lái)確定它在時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)速度等。從中可清楚地看出，為了確定某一個(gè)數(shù)量，由于我們不能一下子求得所期望的這個(gè)數(shù)，我們便采用一步步逼近目標(biāo)的辦法，即我們確定的不是這個(gè)數(shù)本身，而是它的某些近似值，是一連串愈來(lái)愈準(zhǔn)確的近似值。對(duì)這一連串的近似值進(jìn)行考察，直到把數(shù)量準(zhǔn)確地確定下來(lái)。

假若這一連串?dāng)?shù)x1，x2，x3，…，xn穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)a上，最重要的現(xiàn)象是這一連串?dāng)?shù)中的每一個(gè)數(shù)xn與a之差的絕對(duì)值（|x1-a|，|x2-a|，|x3-a|，…，|xn-a|，…）可以變得任意小，即{xn-a}是無(wú)窮小量，所以掌握并處理好無(wú)窮小量，便成為學(xué)好極限的關(guān)鍵。

an趨向于a的過(guò)程是一個(gè)無(wú)限接近的過(guò)程，亦即|an-a|趨于零的過(guò)程是一個(gè)無(wú)限變小的過(guò)程；但就這個(gè)過(guò)程的每一步，亦即對(duì)于每一個(gè)給定的n來(lái)講，接近或變小的過(guò)程都是有限的（特殊情況例外），通過(guò)ε的任意性，便從有限過(guò)渡到無(wú)限。通過(guò)這些問(wèn)題的剖析，可使學(xué)生認(rèn)識(shí)到極限是一個(gè)描述變量在無(wú)限過(guò)程中變化趨勢(shì)的重要概念，同時(shí)也了解了極限方法是人們從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)窮、從近似中認(rèn)識(shí)精確、從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法。

三、了解極限方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用

運(yùn)用極限方法，常能抓住主要矛盾，抓住問(wèn)題本質(zhì)，使要解決的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。例如，考察函數(shù)f（x）=ex，我們已知：ex=1+x+—+…+—+0（xn），（x→0），這樣在x=0點(diǎn)附近，我們不僅可以通過(guò)多項(xiàng)式Pn（x）=1+x+—+…+—對(duì)函數(shù)ex的許多屬性進(jìn)行理論上的分析，而且可根據(jù)給定x=0點(diǎn)附近的每一個(gè)x值計(jì)算出準(zhǔn)確到任意程度的近似值，這樣，無(wú)論是對(duì)變量進(jìn)行理論上的分析，還是計(jì)算它的數(shù)值，運(yùn)用極限方法，?？善鸬胶?jiǎn)化處理問(wèn)題的作用。

再如：證明有極限的數(shù)列是有界的。即存在常數(shù)M>0，使變量xn的絕對(duì)值都小于M，這樣一種屬性由關(guān)系式|xn|N時(shí)，皆有|xn-a|<1成立。因此，當(dāng)n>N時(shí)，|xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|，取M=max{|x1|，|x2|，|x3|，…，|xn|，1+|a|}，則對(duì)所有的正整數(shù)n ，不等式|xn|

極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，它從方法論上突出地表現(xiàn)了微積分學(xué)不同于初等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，學(xué)生初學(xué)時(shí)難度較大，如何使其盡快地掌握極限方法這一重要數(shù)學(xué)工具，值得我們進(jìn)一步思考。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林 玎，等.高等學(xué)校教材：數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.