經(jīng)濟(jì)分析中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用研究

靳一千

摘 要：運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題已經(jīng)成為一種常態(tài)，尤其是數(shù)學(xué)知識(shí)中高等數(shù)學(xué)的使用更為經(jīng)濟(jì)經(jīng)驗(yàn)分析提供了途徑，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行彈性分析就是很恰當(dāng)?shù)氖褂美印?/p>

關(guān)鍵詞：經(jīng)濟(jì)分析；導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用研究

前言

經(jīng)濟(jì)學(xué)家早在很早之前就開(kāi)始將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到分析經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中。Z 古希臘時(shí)期，歷史學(xué)家色諾芬所提出的財(cái)富增長(zhǎng)思想中其實(shí)就已經(jīng)使用了數(shù)學(xué)知識(shí)。隨著時(shí)間的流逝，數(shù)學(xué)知識(shí)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的范圍也越來(lái)越廣，尤其是近代以來(lái)，不再緊緊停留在理論層面的探討，通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行量化分析，使經(jīng)濟(jì)學(xué)稱(chēng)為一門(mén)越來(lái)越嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)。在眾多經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中，像是納什均衡或者是期權(quán)定價(jià)公式都是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)進(jìn)行表示的。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)更加發(fā)展的今天，把數(shù)學(xué)知識(shí)作為量化分析工具來(lái)使用是情況越來(lái)越多，很多經(jīng)濟(jì)學(xué)將這看作是經(jīng)濟(jì)學(xué)進(jìn)步的一個(gè)標(biāo)志，因?yàn)檫@使經(jīng)濟(jì)學(xué)變得更加嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確。其中運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行求解在經(jīng)濟(jì)學(xué)中占有不小的比重，導(dǎo)數(shù)工具可以為面臨經(jīng)濟(jì)難題的企業(yè)管理者提供一定的決策建議。本文主要分析導(dǎo)數(shù)工具在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用，主要關(guān)注彈性、邊際函數(shù)以及極值求解三個(gè)方面。

1.經(jīng)濟(jì)分析中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.1導(dǎo)數(shù)知識(shí)在市場(chǎng)彈性?xún)r(jià)格需求分析中的應(yīng)用

在分析經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)中的彈性?xún)r(jià)格方面可以使用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)量化。我們假設(shè)在市場(chǎng)中，對(duì)一種商品的需求量為q，定義商品的價(jià)格為p。為了得到商品的需求彈性?xún)r(jià)格，我們可以對(duì)彈性函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到需求彈性?xún)r(jià)格公式為Ep=p/q（p）？q'（p）。通過(guò)以上公式，我們可以發(fā)現(xiàn)商品的價(jià)格每增加1%，商品相對(duì)應(yīng)的市場(chǎng)需求量會(huì)相應(yīng)地減少|(zhì)Ep|%。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)量化分析一種商品的市場(chǎng)需求彈性，我們可以對(duì)商品價(jià)格、企業(yè)需求甚至是企業(yè)的收益產(chǎn)生的影響有一個(gè)大致明確的范圍，是會(huì)增加還是減少，因?yàn)樯唐穬r(jià)格的上升會(huì)導(dǎo)致需求數(shù)量的下降，綜合來(lái)看對(duì)企業(yè)總收益的影響是不確定的。利用企業(yè)對(duì)這種商品統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，基于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，可以為這種商品制定恰當(dāng)?shù)臓I(yíng)銷(xiāo)策略。

例1：某產(chǎn)品的需求曲線(xiàn)為Q=150-10p，當(dāng)價(jià)格p=5時(shí)，求產(chǎn)品的需求價(jià)格彈性，并闡述如何調(diào)整價(jià)格，才能提高總收益。

解：基于商品需求彈性?xún)r(jià)格公式：E= Q'（p）*p/q，需求曲線(xiàn)為Q=150-10p，價(jià)格p=5。商品需求彈性?xún)r(jià)格=-10p/（150-10p）=-0.5|E|<1?？梢缘贸鲈摦a(chǎn)品為缺乏彈性的商品，想要增加總收益就必須使商品價(jià)格上升。

并不是所有的彈性公式都是一致的，經(jīng)濟(jì)函數(shù)不同彈性計(jì)算也是不同的。像是需求價(jià)格彈性、供給彈性、收益彈性這些彈性的公式都不是一樣的，我們?cè)谑褂脮r(shí)應(yīng)該明確這一點(diǎn)。如果企業(yè)政策制定者在分析商品價(jià)格收益時(shí)能合理的使用商品的彈性這一經(jīng)濟(jì)學(xué)知識(shí)，有利于企業(yè)制定正確合理的策略，增加企業(yè)收益與商品的市場(chǎng)占有率。

1.2導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)邊際問(wèn)題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)知識(shí)除了可以應(yīng)用在市場(chǎng)彈性?xún)r(jià)格需求分析方面，還可以用來(lái)分析邊際問(wèn)題，確定商品的邊際成本、邊際收益和邊際利潤(rùn)。舉例來(lái)說(shuō)，在邊際利潤(rùn)的計(jì)算中，定義商品的總利潤(rùn)為L(zhǎng)（Q）=R（Q）-C（Q），其中R（Q）表示的是總收益，C（Q）表示的是總成本，商品的平均利潤(rùn)為L(zhǎng)（Q）/Q，邊際利潤(rùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解為L(zhǎng)'（Q）=dL（Q）/d Q。

1.3導(dǎo)數(shù)在最優(yōu)決策極值求解中的應(yīng)用

除以上兩方面的應(yīng)用外，導(dǎo)數(shù)還可以應(yīng)用在求解最優(yōu)的決策極值方面。最優(yōu)決策極值代表的是數(shù)學(xué)中我們所指的函數(shù)的最大值和最小值。通過(guò)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道極值的求解過(guò)程：我們首先對(duì)函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。根據(jù)這兩個(gè)點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的區(qū)間范圍以及在這個(gè)范圍內(nèi)數(shù)值的符號(hào)，得到函數(shù)的最大值和最小值。將以上數(shù)學(xué)原理應(yīng)用到商品生產(chǎn)中，可以得到商品利潤(rùn)最大化所對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)值和最大化利潤(rùn)的數(shù)值。

例2：某公司生產(chǎn)銷(xiāo)售電子產(chǎn)品，一天的總成本為C元，其中固定成本為100元，每多生產(chǎn)一件商品，成本上升5元，該產(chǎn)品的需求函數(shù)為q=100-5p，其中q指生產(chǎn)量，p指產(chǎn)品價(jià)格，當(dāng)產(chǎn)品的價(jià)格定為多少時(shí)，企業(yè)每天的利潤(rùn)值可以達(dá)到最大化，而相應(yīng)的生產(chǎn)量為多少？

解：根據(jù)最有決策極值的求解思路，求解過(guò)程如下：

總成本函數(shù)C=100+5q=200+5（100-5p）=700-25p，總收益函數(shù)R=pq=p（100-5p）=100p-5p2，那么邊際成本MC=-25，MR=100-10p，根據(jù)利潤(rùn)最大化條件MC=MR，得到p=12.5，此外由于（MR）'=-10<（MC）'=0，所以，當(dāng)產(chǎn)品定價(jià)為12.5元時(shí)，每天的利潤(rùn)值達(dá)到最大化，相應(yīng)的生產(chǎn)量為37.5件。

2.研究不足之處與展望

隨著經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的研究越來(lái)越廣泛，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的使用范圍也越來(lái)越廣。但是我們應(yīng)該注意如何將生活中的經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行分析。數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑸榱说玫阶罾硐氲慕Y(jié)果，會(huì)進(jìn)行一系列的假設(shè)。因此我們?cè)谶M(jìn)行量化分析時(shí)也要進(jìn)行嚴(yán)密合理的假設(shè)，使分析環(huán)境盡力達(dá)到理想化。本文主要是對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用從三個(gè)方面進(jìn)行分析，并列出實(shí)例幫助理解。但是還有很多知識(shí)沒(méi)有列出，并且導(dǎo)數(shù)也并不局限在這三個(gè)方面使用。作為經(jīng)濟(jì)分析中一個(gè)很常見(jiàn)的工具，導(dǎo)數(shù)可以為企業(yè)管理者制定策略提供建議，幫助企業(yè)達(dá)到利潤(rùn)最大化。正如前面所說(shuō)，導(dǎo)數(shù)的使用可以為我們制定生產(chǎn)策略提供指導(dǎo)，但是我們?cè)谑褂脮r(shí)并不能簡(jiǎn)單的拿來(lái)套用公式，更應(yīng)該注意使用的條件是否滿(mǎn)足。要想完美的解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中存在的復(fù)雜問(wèn)題，需要我們?cè)谡莆栈镜臄?shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上，不斷學(xué)習(xí)不斷思考。

3.總結(jié)

運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)作為分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的量化工具，促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。數(shù)學(xué)工具使得我們?cè)诜治鰡?wèn)題過(guò)程中更加嚴(yán)謹(jǐn)，針對(duì)分析結(jié)果提出的政策建議更有針對(duì)性，有利于政策建議的制定者采納實(shí)施。這也使得經(jīng)濟(jì)學(xué)成為一門(mén)可以量化的學(xué)科，擺脫了過(guò)去只能依靠理論經(jīng)驗(yàn)來(lái)探討問(wèn)題的狀況。同時(shí)，經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的解決也為高等數(shù)學(xué)的實(shí)踐應(yīng)用提供實(shí)例，高等數(shù)學(xué)研究的不斷深入也促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)理論不斷發(fā)展。在經(jīng)濟(jì)局勢(shì)更加復(fù)雜的今天，經(jīng)濟(jì)理論的發(fā)展有利于我們更好的制定相關(guān)的政策來(lái)解決問(wèn)題。

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