“問題鏈”在研究函數(shù)的對(duì)稱性與周期性中的應(yīng)用

吳興

摘 要：新課標(biāo)提倡“以問題為中心”，由此衍生出來的以問題為線索、以探究為基礎(chǔ)、以解決問題為目的的“問題鏈”探究式教學(xué)模式受到了很多師生的認(rèn)可和推崇。在對(duì)“問題鏈”概念的理解與“問題鏈”的設(shè)計(jì)策略介紹的基礎(chǔ)上，結(jié)合一道高考題，探析了“問題鏈”在研究函數(shù)的對(duì)稱性與周期性中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}鏈；中學(xué)數(shù)學(xué)；函數(shù)；對(duì)稱性；周期性

一、對(duì)“問題鏈”的理解

所謂“問題鏈”是指教師為了實(shí)現(xiàn)一定的教學(xué)目標(biāo)或教學(xué)任務(wù)，在了解學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)或經(jīng)驗(yàn)水平的基礎(chǔ)上，就學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能遇到或?qū)⒁a(chǎn)生的疑惑，把教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化成具有梯度、具有系統(tǒng)性且契合學(xué)生心理特征的一串串的教學(xué)問題。以主問題為中心，再在主問題上衍生出很多有序列且相對(duì)獨(dú)立而又相互關(guān)聯(lián)的“問題鏈”。

傳統(tǒng)的問題往往只注重問題的分析與解決，其問題設(shè)計(jì)往往忽視了問題的再生性，學(xué)生的參與度也較低。但“問題鏈”是一個(gè)有機(jī)的整體，各問題間像一條鎖鏈一樣把問題和教學(xué)目標(biāo)緊緊連在一起，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)、步步深入。把教學(xué)內(nèi)容編織成一組組、一個(gè)個(gè)彼此關(guān)聯(lián)的問題，使前一個(gè)問題成為后一個(gè)問題的前提，后一個(gè)問題作為前一個(gè)問題的繼續(xù)或結(jié)論。這樣每一個(gè)問題都成為學(xué)生思維的階梯，許多問題共同形成一個(gè)具有一定梯度和邏輯結(jié)構(gòu)的“問題鏈”。因此，采用“問題鏈”式教學(xué)，一方面能有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性和參與度，能提高其思維能力；另一方面有助于老師業(yè)務(wù)素質(zhì)和能力的提高，有助于數(shù)學(xué)教研工作的深入。

二、“問題鏈”的設(shè)計(jì)策略

“問題鏈”的設(shè)計(jì)策略是為了實(shí)現(xiàn)某一個(gè)任務(wù)目標(biāo)，依據(jù)可能出現(xiàn)的問題預(yù)設(shè)對(duì)應(yīng)的方案，在實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過程中，根據(jù)形勢(shì)的發(fā)展和變化來制訂、調(diào)整方案并依據(jù)實(shí)際情況選擇相應(yīng)的方案，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，為“問題鏈”的設(shè)計(jì)提供了一個(gè)方向性的“指南”。好的策略可以為“問題鏈”設(shè)計(jì)提供好的方法論指導(dǎo)，幫助我們?cè)O(shè)計(jì)出高質(zhì)量的問題。結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，我認(rèn)為“問題鏈”的設(shè)計(jì)通常主要有以下策略：

1.通過試驗(yàn)、觀察、歸納設(shè)計(jì)“問題鏈”

通過試驗(yàn)、觀察、歸納設(shè)計(jì)“問題鏈”是指從實(shí)際問題出發(fā)，通過分析設(shè)計(jì)，建立數(shù)學(xué)模型，再借助現(xiàn)代技術(shù)工具或親自動(dòng)手操作試驗(yàn)獲得具體可靠的數(shù)學(xué)事實(shí)，再經(jīng)過觀察、思考、分析所得數(shù)學(xué)事實(shí)，提煉出其中隱含的更一般性的結(jié)論，并對(duì)其加以猜想論證。

2.通過聯(lián)想、類比、遷移設(shè)計(jì)“問題鏈”

通過聯(lián)想、類比、變式設(shè)計(jì)“問題鏈”就是要把未知數(shù)學(xué)對(duì)象和類似的已知數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)聯(lián)想類比出未知數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)的方法。老師針對(duì)未知問題以某個(gè)已知知識(shí)點(diǎn)為中心，從不同側(cè)面、不同角度設(shè)置“問題鏈”。一方面幫助學(xué)生厘清模糊的、辨別錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)知識(shí)的理解，使學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；另一方面通過聯(lián)想、類比、遷移更能培養(yǎng)學(xué)生的推理和思辨能力，幫助學(xué)生開拓思維，舉一反三，融會(huì)貫通。

3.通過變換條件或結(jié)論設(shè)計(jì)“問題鏈”

著名數(shù)學(xué)家布朗和瓦特曾提出用“否定假設(shè)法”來設(shè)計(jì)問題，即在對(duì)原問題的條件和結(jié)論進(jìn)行思考后再自由改變其條件和結(jié)論從而產(chǎn)生新的問題。這里的通過變換條件或結(jié)論設(shè)計(jì)“問題鏈”是指既改變條件又改變結(jié)論來提出問題，也可以是不改變條件而只改變結(jié)論來提出問題，甚至還可以是不改變結(jié)論只改變條件來提出問題。因此，它比“否定假設(shè)法”概括性更強(qiáng)，應(yīng)用范圍更廣，在提出問題方面更有效。

三、在研究函數(shù)的對(duì)稱性與周期性上的應(yīng)用

下面選取課堂實(shí)錄中的一個(gè)片段，嘗試把理論運(yùn)用到具體的教學(xué)實(shí)踐中去，利用“問題鏈”的設(shè)計(jì)理念與策略，以指導(dǎo)具體的教學(xué)問題設(shè)計(jì)。

1.引入

通過“問題鏈”，師生共同探討，反復(fù)修正，教師不要著急給出結(jié)論，讓學(xué)生自己歸納整理出關(guān)于f（a+x）=±f（b±x）一般性的規(guī)律

小結(jié)：（學(xué)生口述，老師板書，如某一學(xué)生回答得不完整，可由其他學(xué)生補(bǔ)充）

①當(dāng)x的系數(shù)相同時(shí)，函數(shù)f（x）具有周期性；

②當(dāng)x的系數(shù)相反、y的系數(shù)相同時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像具有軸對(duì)稱性；

③當(dāng)x的系數(shù)相反、y的系數(shù)相反時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像具有中心對(duì)稱性。

問題設(shè)計(jì)到這里，此時(shí)也無法解決條件f（-x）=2-f（x）帶給我們的具體信息，通過上述歸納，可以猜測(cè)函數(shù)f（x）大致符合上述情況③，即函數(shù)f（x）的圖像具有中心對(duì)稱性。

于是教師再次設(shè)計(jì)新的問題

問題8：再次改變條件，由f（a+x）=-f（b-x）+c，我們又可以得到函數(shù)f（x）的圖像具有什么性質(zhì)？

學(xué)生活動(dòng)：通過類比問題7的證明過程，學(xué)生不難得出函數(shù)f（x）的圖像仍具有對(duì)稱性，對(duì)稱中心為（ ）。

（返回開始的問題予以解決，完成本片段的學(xué)習(xí)任務(wù)。）

以上8個(gè)問題把一個(gè)較難的條件分解成幾個(gè)聯(lián)系密切、層次分明、梯次增加難度的問題，形成了一串循序漸進(jìn)的“問題鏈”，從特殊到一般，由易到難。本片段“問題鏈”的設(shè)計(jì)既用到聯(lián)想、類比、遷移設(shè)計(jì)“問題鏈”的策略，又用到變換條件設(shè)計(jì)“問題鏈”的策略，它一方面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的層次性；另一方面也滿足了不同層次學(xué)生的需求，給了學(xué)生成功的可能性。問題1、4入口較寬，比較容易回答，大部分學(xué)生都能順利完成，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，問題2、3、5、6、7依次加大難度。通過對(duì)前面問題的總結(jié)提煉，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到關(guān)于f（a+x）=±f（b±x）的一般性結(jié)論。問題8是為了解決本道高考題而將結(jié)論做了推廣提升，最后回歸到題目本身，使問題迎刃而解。

參考文獻(xiàn)：

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