談數(shù)學(xué)形式化與非形式化的轉(zhuǎn)化

曹志棟

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”作為課程的基本理念之一，形式化是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，但過度的形式化又會讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)只是堆積起來的一堆符號，失去了數(shù)學(xué)應(yīng)有的應(yīng)用性質(zhì)，會導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識薄弱，不能抓住數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)形式化與非形式化的轉(zhuǎn)化是一項(xiàng)頗具難度的工作.本文將結(jié)合筆者在教學(xué)工作中的體會，提出一些建議.

【關(guān)鍵詞】形式化；非形式化；轉(zhuǎn)化

一、形式化與非形式化

數(shù)學(xué)形式化是一種用符號或符號的方法或技術(shù)來認(rèn)識數(shù)學(xué)、表達(dá)數(shù)學(xué)、傳承數(shù)學(xué)的過程.如，對函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等的定義，通過函數(shù)值間的關(guān)系去表達(dá)，且以后也通過這樣的定義去研究函數(shù)的性質(zhì)便是一個(gè)形式化的表達(dá)及研究過程.但表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的形式可以是多種的，它未必是符號化的.如，我們也可通過函數(shù)圖像隨自變量的變化去認(rèn)識單調(diào)性、通過圖像的對稱性認(rèn)識奇偶性，另外，我們?nèi)粘５奈淖终Z言也是非符號化的，像這樣的非數(shù)學(xué)符號的表達(dá)，我們都可以稱之為數(shù)學(xué)的非形式化.

形式化與非形式化都是表達(dá)數(shù)學(xué)的方式，都可以認(rèn)識數(shù)學(xué)、表達(dá)數(shù)學(xué)和傳承數(shù)學(xué).但形式化更具抽象性，對數(shù)學(xué)的表達(dá)更加準(zhǔn)確、簡明、抽象，具有高度的概括性.非形式化更側(cè)重于從直觀上表達(dá)數(shù)學(xué)，賦予數(shù)學(xué)更多的現(xiàn)實(shí)意義，在實(shí)踐中認(rèn)識數(shù)學(xué)、表達(dá)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)，更加容易被人接受.

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中是形式化與非形式化并存的，如，上述函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的定義.數(shù)的認(rèn)識過程中，由數(shù)到字母代數(shù)，再到高等代數(shù)里的矩陣、行列式，抽象代數(shù)里的群、環(huán)、域，這樣的認(rèn)知過程本身就具有形式化特征，但在其認(rèn)識過程中，我們又會涉及一些具體的例子，首先我們在開始階段是由具體的事物的個(gè)數(shù)認(rèn)識數(shù)的，用字母代數(shù)，我們也有過很多的具體例子，高等代數(shù)里對某些行列式賦予三角形面積等實(shí)際意義，用矩陣研究對策問題等，都賦予了數(shù)學(xué)實(shí)際意義，可以說是個(gè)非形式化的過程.

數(shù)學(xué)的形式化與非形式化是相互促進(jìn)的，當(dāng)一種符號系統(tǒng)無法處理現(xiàn)實(shí)的問題時(shí)，人們便尋求其他的符號系統(tǒng)，那么這個(gè)符號系統(tǒng)便是實(shí)際要求的產(chǎn)物，如，單調(diào)性、奇偶性的定義正是人們對于圖像認(rèn)識的產(chǎn)物.反過來，這種符號系統(tǒng)又可以賦予很廣泛的意義，解決更多的實(shí)際問題，具有更多的非形式化表達(dá).

二、形式化與非形式化的互化

過多的形式化會導(dǎo)致數(shù)學(xué)變成無意義的符號堆積物，變得非常空洞，失去其內(nèi)在本質(zhì).而失去了形式化，失去了數(shù)學(xué)的概括性，數(shù)學(xué)的實(shí)體就會變少，數(shù)學(xué)也就沒有多少非形式化的表達(dá).在教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)形式化與非形式化的轉(zhuǎn)化，現(xiàn)給出如下建議.

（一）在教學(xué)中讓學(xué)生將知識系統(tǒng)化，抓住一個(gè)體系的實(shí)質(zhì)

集合中的元素、數(shù)列里的通項(xiàng)、不等式里的實(shí)數(shù)大小比較、直線里的方程等都是符號系統(tǒng)里最基本的元素，抓住了這些，就抓住了數(shù)學(xué)知識的實(shí)質(zhì)，在學(xué)生的解題過程中便不會出現(xiàn)沒有思路的情形.另外，除了數(shù)學(xué)的基本要素之外，還得讓學(xué)生明白自己研究了哪些東西，得到了哪些成果，適時(shí)地讓學(xué)生去應(yīng)用這些知識，提出一些可供研究的課題，讓學(xué)生掌握形式化的知識體系，并把握數(shù)學(xué)知識的實(shí)質(zhì).

（二）課堂情境設(shè)置要恰當(dāng)

一個(gè)好的現(xiàn)實(shí)情境能給一節(jié)成功的課開個(gè)好頭，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的實(shí)用性，并為了解決此問題而學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，學(xué)生便會更多地參與思考，而不只是被動地接受，數(shù)學(xué)便順其自然地由非形式化進(jìn)入了形式化.但現(xiàn)實(shí)中存在的問題是，有些教師的教學(xué)中干脆沒有情境，而有些教師則不管什么題材的內(nèi)容教學(xué)，都要設(shè)置情境，有時(shí)讓人頗有牽強(qiáng)之感，并且由于教學(xué)方法不當(dāng)，導(dǎo)致學(xué)生沒有認(rèn)識到情境的解決到底需要什么樣的數(shù)學(xué)知識，失去其情境的目的性，沒有“引入”可言.這里要解決這樣幾個(gè)問題：（1）選擇什么樣的情境；（2）教師如何講授情境；（3）學(xué)生怎樣能夠進(jìn)入情境.

總之，在形式化的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)、知識體系，設(shè)置適當(dāng)?shù)那榫?，引?dǎo)學(xué)生進(jìn)入情境，參與思考，最終掌握數(shù)學(xué)知識，并學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題，在情境的講授過程中還要努力創(chuàng)造輕松、和諧、風(fēng)趣、愉快的課堂氣氛，滿足學(xué)生的情感要求，從而達(dá)到提高他們自覺運(yùn)用邏輯工具分析、解決問題的能力.

（三）注意同一種數(shù)學(xué)符號的語義轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)符號化、形式化后，每一種數(shù)學(xué)語義，或者每一個(gè)數(shù)學(xué)概念、關(guān)系等一般都有一種確定的數(shù)學(xué)符號表示.但是，數(shù)學(xué)的符號表示與數(shù)學(xué)語義的解釋不是“一一對應(yīng)”的，一種數(shù)學(xué)符號可能有多于一種的數(shù)學(xué)語義解釋，這也構(gòu)成了數(shù)學(xué)的符號化、形式化的一大特點(diǎn).現(xiàn)舉出以下簡單的例子.

① x2+y2代表的意義：

a.x2+y2的算術(shù)平方根；

b.點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離；

c.復(fù)數(shù)x+yi的模；

d.若x，y是正數(shù)，x2+y2還表示以x，y為直角邊的直角三角形的斜邊.

② 1的含義：

a.tanπ4；

b.sin2α+cos2α，sec2α-tan2α，cec2α-cot2α，tanα·cotα；

c.logaa；

d.Dirichlet函數(shù)自變量取有理數(shù)時(shí)的函數(shù)值；

e.布爾代數(shù)里的真值；

f.必然事件的概率；

g.單位向量的模；

h.limx→0sinxx.

在這里要特別注意，在中學(xué)數(shù)學(xué)里用到最多的是數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，教師在教學(xué)過程中，既要做出這方面語義轉(zhuǎn)換的示范，又要不斷地提醒學(xué)生從不同的角度、用不同的觀點(diǎn)，并從各個(gè)不同的側(cè)面觀察問題.

（四）注意對不同認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)生實(shí)行不同的培養(yǎng)模式

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，有些學(xué)生分析事物的能力很強(qiáng)，他們在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中更注重縱向思維，注重嚴(yán)密的邏輯思維，更喜歡使用數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化推理，所以他們解決問題的過程往往比較細(xì)致與全面，考慮比較精細(xì)，解題的正確率高，但解題的速度比較慢并且死鉆牛角尖，因?yàn)樗麄兲⒅匦问酵评?，總是認(rèn)為不嚴(yán)密就會導(dǎo)致錯誤，可以說他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是偏重分析性的.另一種學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)過程中更注重橫向思維，更注重合理的觀察、猜想，更喜歡使用數(shù)學(xué)的非形式化的思考方式，所以他們解決問題的過程往往比較粗糙，有些環(huán)節(jié)不是很嚴(yán)密，解決問題雖然比較快，但他們在進(jìn)行非形式化思維的過程中，難免會有一些環(huán)節(jié)由于不嚴(yán)密而出現(xiàn)漏洞，可以說他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是偏重功用型的.

對于這兩種學(xué)生，我們應(yīng)該采取不同的教育方式，對于喜愛形式化推理演繹的學(xué)生，我們應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)貪B透非形式化的思維方式，以便于他們的思維更簡便，而對于喜愛非形式化思維的學(xué)生，我們應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)貪B透形式化的推理演繹，以便于他們的思維更加嚴(yán)密.

三、總結(jié)

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循一個(gè)不斷“非形式化—形式化”的過程，一個(gè)“問題—解決問題—問題”的循環(huán)過程，在教學(xué)中，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生多探討一些為什么，并且弄清楚數(shù)學(xué)中的“道理”與“意義”，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中反映出數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程，做到既讓學(xué)生理解“證明”，又讓學(xué)生學(xué)會“猜測”，使學(xué)生能“知其然又知其所以然”，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)形式化與非形式化的和諧統(tǒng)一.endprint