軌跡思想在“直線與圓”中的巧用

魯 鋒

(江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 226300)

軌跡思想在“直線與圓”中的巧用

魯 鋒

(江蘇省平潮高級(jí)中學(xué) 226300)

阿波羅尼斯圓是圓定義中重要的一種形式，它所代表的軌跡問題是直線與圓考察的一種重要方向.本文在軌跡上作一些探索，以起到拋磚引玉的作用.

阿波羅尼斯圓；軌跡問題；存在性問題；任意性問題

例2 (南通市2014屆高三第三次調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-4x=0．若直線y=k(x+1)上存在一點(diǎn)P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．

評(píng)注本題直接撇開“P在直線y=k(x+1)上”這一限制因素，通過求在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)符合條件的點(diǎn)P得其軌跡，再利用點(diǎn)P的兩種屬性化為直線與圓的位置關(guān)系，利用直線和圓位置關(guān)系“相交和相切”的條件，求出k的取值范圍.

例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：(x+1)2+(y-6)2=25，圓C2：(x-17)2+(y-30)2=r2．若圓C2上存在一點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P可作一條射線與圓C1依次交于點(diǎn)A，B，滿足PA=2AB，則半徑r的取值范圍是 ．

解析首先考慮平面內(nèi)的點(diǎn)P，分兩種情況：(1)點(diǎn)A在PB中間，則點(diǎn)P滿足的條件是5

評(píng)注本題中利用圖形可得出點(diǎn)P在平面內(nèi)滿足的要求是5

評(píng)注此題也是撇開限制條件，直接找出平面直角坐標(biāo)系內(nèi)滿足條件的點(diǎn)的軌跡，再利用滿足軌跡的方程具有統(tǒng)一性原則，通過待定系數(shù)法建立方程組從而得出定點(diǎn).

例5 (2017鹽城二模)如圖所示，A,B是兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站，B在A的正東方向16km處，AB的南邊為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個(gè)垃圾發(fā)電廠P，垃圾發(fā)電廠P的選址擬滿足以下兩個(gè)要求(A,B,P可看著三個(gè)點(diǎn))：1.垃圾發(fā)電廠到兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與他們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；2.垃圾發(fā)電廠應(yīng)盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)(這里參考的指標(biāo)是點(diǎn)P到直線AB的距離盡可能大).現(xiàn)估測(cè)得A,B兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾分別為30噸和50噸，問垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時(shí)滿足上述條件？

解析可以以AB所在的直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

通過上述例子可以發(fā)現(xiàn)，通過直接求軌跡可將曲線上“存在性或任意性”點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為軌跡交匯的問題.而解析幾何中的軌跡問題，其本質(zhì)也就是將“原有的存在或任意問題“化為“兩軌跡交匯的問題”，通過對(duì)所涉及的軌跡幾何圖形和相關(guān)圖形的觀察思考，轉(zhuǎn)化為軌跡公共點(diǎn)的問題，相比直接設(shè)點(diǎn)而化為函數(shù)問題，這種軌跡交匯的處理手法可以極大地將函數(shù)的思維活動(dòng)和復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)潔，極大地簡(jiǎn)化了學(xué)生處理存在和任意性類似問題的難度，同時(shí)也極好地培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合和化歸轉(zhuǎn)化的能力.

[1]單墫，等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修2[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2005.

G632

A

1008-0333(2017)31-0014-02

2017-07-01

魯鋒(1979.12-)，漢，本科，江蘇省通州人,中教一級(jí)教師，從事解題方法、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用技巧等方面.

楊惠民]