從Bloch空間到加權(quán)型空間上二階微分算子與乘子的積

李 濤

（連云港開(kāi)放大學(xué)，江蘇 連云港 222006）

從Bloch空間到加權(quán)型空間上二階微分算子與乘子的積

李 濤

（連云港開(kāi)放大學(xué)，江蘇 連云港 222006）

文中討論了單位圓盤上Bloch到加權(quán)型空間上的算子D2Mu的有界性和緊性，得到從Bloch空間到加權(quán)型空間上的算子D2Mu是有界算子以及緊算子的充要條件.

二階微分算子；乘子；Bloch 空間；加權(quán)型空間 MR（2000）主題分類：47B38；47B33；30D45；46E15

1 引言

文獻(xiàn)[1]，[2]分別研究了復(fù)合算子和復(fù)合算子與一階微分算子的乘積；文獻(xiàn)[3],[4]中研究了一階微分算子與其它算子的乘積；文獻(xiàn)[5]研究微分算子與復(fù)合算子的乘積,文獻(xiàn)[6]，[7]研究了Bloch空間，文獻(xiàn)[8]研究了有界解析函數(shù)空間上二階微分算子與乘子的積.文中討論了二階微分算子與加權(quán)復(fù)合算子的積：

得到了從Bloch空間到加權(quán)型空間上的算子的有界算子和緊算子的充要條件.文中字母C是一個(gè)正常數(shù)，不同的地方可以不同.

2 預(yù)備引理

引理2.1[5,6]如果,那么對(duì)于任意正整數(shù)n，

引理 2.2[5]如果f∈B，那么

由緊算子定義以及Montel定理，可得出下面的引理.

引理 2.3如果u∈H(Δ),μ 是權(quán),那么算子D2Mu:B→Hμ是緊算子的充要條件是D2Mu:B→Hμ是有界算子且對(duì)于B→Hμ中在Δ的緊子集上一致收斂于0的任意有界列(fk)k∈N有

3 主要定理及證明

定理3.1 設(shè)u∈H(Δ),μ 是權(quán),則算子D2Mu:B→Hμ是有界算子當(dāng)且僅當(dāng)下列兩式成立

證明先假設(shè)（1），（2）成立，對(duì)于任意 f∈B，由引理2.1，2.2可得

|(D2Muf)(z)|=|(u(z)f(z))"|

由于所以 |u'(z)|≤C(1-|z|2)，所所以D2Mu:B→Hμ是有界算子.

下面假設(shè)D2Mu:B→Hμ是有界算子，那么存在一個(gè)正常數(shù)C使得對(duì)于任意f∈B，

取w∈Δ,以及檢驗(yàn)函數(shù)

滿足 fw∈B,supw∈D||fw||B≤C 且

由于D2Mu:B→Hμ是有界算子，所以

取w∈Δ，以及檢驗(yàn)函數(shù)

滿足 gw∈B，supw∈D||gw||B≤C 且

由于D2Mu:B→Hμ是有界算子，所以

由于D2Mu:B→Hμ是有界算子，所以

定理 3.2設(shè) μ∈H(Δ),μ 是權(quán)，則算子D2Mu:B→Hμ是緊算子當(dāng)且僅當(dāng)D2Mu:B→Hμ是有界算子，且下列兩式成立

證明首先假設(shè)D2Mu:B→Hμ是有界算子且（3），（4）成立.

令(ki)i∈N是 B 中使得且Ki是Δ上任一緊子集上一致收斂于0的序列，由假設(shè)知?ε＞0存在一個(gè)δ∈(0,1)，當(dāng) δ＜|z|＜1 時(shí)，

因?yàn)?D2Mu:B→Hμ是有界算子，由定理 3.1可知（1），（2）成立，由（2）成立可得因?yàn)?ki是 Δ 上的任一緊子集上一致收斂于0的序列，由柯西估計(jì)可知在Δ的任一緊子集上一致收斂于0的序列，所以?i0∈N，使得當(dāng) i＞i0時(shí)，有

由（5）-（9）以及?ε＞0 存在一個(gè) δ∈(0,1)，當(dāng) δ＜|z|＜1 時(shí)，可知，當(dāng) i＞i0時(shí)有所以由引理 2.3 可得 D2Mu:B→Hμ是緊算子.

相反地，假設(shè)D2Mu:B→Hμ是緊算子，顯然D2Mu:B→Hμ是有界算子.令的點(diǎn)列.

取檢驗(yàn)函數(shù) fi(z)=fzi(z)，那么 fi(zi)=0，f'i(zi)=1，f"i(zi)=0，fi∈且fi在Δ的任一緊子集上一致收斂于0，由引理2.2可得在上式兩邊令i→∞，可得成立.取檢驗(yàn)函數(shù)，gi(z)=gzi(z)，可得（4）式成立.取檢驗(yàn)函數(shù)hi(z)=hzi(z)以及三角不等式可得（3）式成立.

〔1〕Zhao Ruhan.Composition operators from Bloch type spaces to Hardy and Besov spaces[J].Journal of Mathematics Analysis and Application,1999,233(2):749-766.

〔2〕Stevi′c S.Composition by followed by differentiation from and Bloch spaces to nth weight-type spaces on the unit disk[J].Applied Mathematics and computation,2010,216(12):3450-3458.

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〔5〕Stevi′c S Composition by followed by differentiation from H∞and Bloch spaces to nth weight-type spaces on the unit disk [J].Applied Mathematics and computation,2010,216(12):3450-3458.

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〔8〕高超.有界解析函數(shù)空間上的算子D2Mu的有界性和緊性[J].長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào),2016,30(5):5-6.

O177.2；O174.5

A

1673-260X（2017）12-0001-02

2017-10-13