線性方程組的解法探討及MAPLE實(shí)現(xiàn)

夏 磊

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院無錫機(jī)電分院， 江蘇 無錫 214000)

線性方程組的解法探討及MAPLE實(shí)現(xiàn)

夏 磊

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院無錫機(jī)電分院， 江蘇 無錫 214000)

“線性代數(shù)”是高等學(xué)校理工科專業(yè)學(xué)生必須要學(xué)習(xí)的一門重要的理論基礎(chǔ)課，大多數(shù)的線性代數(shù)教材主要由行列式、矩陣、線性變化、線性方程組、向量空間及二次型組成,它們都是把矩陣作為研究的重要工具，然而事實(shí)上，線性方程組也是研究線性代數(shù)的一個(gè)重要的研究工具;通過將線性方程組的分類，總結(jié)線性方程組的幾種常用的解法，針對(duì)非齊次線性方程組解的情形，結(jié)合MAPLE軟件強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算、數(shù)值計(jì)算及直觀性，給出MAPLE軟件求解線性方程組的方法。

線性方程組； 解法； MAPLE

一、線性方程組的定義及分類

一般線性方程組的形式為:

其中x1,xn,…，xn是n個(gè)未知量(也稱為“元”)，aij(i=1,2,…，m;j=1,2，…，n)稱為方程組的系數(shù)，b1,b2,…,bm稱為常數(shù)項(xiàng)。若記

稱A為方程組的系數(shù)矩陣，則方程組(1)的矩陣形式為

若b的元素不全為零，則稱方程組(1)為非齊次線性方程組；若b的元素全為零，即b1=b2=…=bm=0，則稱方程組(1)為其次線性方程組。

定義1.1 由A和b組成的m×(n+1)矩陣

二、線性方程組的解法

(一) 克萊姆(Gramer)法則

定理(Gramer法則)：設(shè)線性方程組

的系數(shù)行列式

則方程(1)有唯一解

其中Dj是D中第j列元素依次用常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn代替后得到的n階行列式，即

克萊姆(Gramer)法則僅適用于求解系數(shù)行列式D不為零的適定方程組，并且對(duì)于未知數(shù)個(gè)數(shù)多于4個(gè)的適定方程組，計(jì)算工作量較大，解題效率較低。

(二) 逆矩陣乘積法

把線性方程組(2)記成矩陣形式AX=b后，若系數(shù)矩陣A可逆，則X=A-1b。逆矩陣求解線性方程組的關(guān)鍵是求解系數(shù)矩陣A的逆矩陣A-1。

逆矩陣求解線性方程組僅適用于系數(shù)矩陣A可逆的適定方程組，對(duì)于系數(shù)行列式為零的適定方程組和欠定方程組、超定方程組則不適用。

(三) 高斯消元法

對(duì)于一般的線性方程組(1)，用高斯消元法解方程組的主要步驟是把增廣矩陣(A,b)化為階梯型矩陣

當(dāng)R(A)=R=n時(shí)，線性方程組AX=b有唯一解；當(dāng)R(A)=R=r

三、用MAPLE軟件求解線性方程組

Maple軟件是功能強(qiáng)大的符號(hào)處理和數(shù)值分析工具，主要應(yīng)用于符號(hào)數(shù)學(xué)運(yùn)算。Maple軟件是1980年由加拿大教授Keith Geddes和Gaston Gnnot在Waterloo大學(xué)開發(fā)，后來由Waterloo Maple公司開發(fā)用于商業(yè)目的，它內(nèi)置5000多個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)，其中涉及線性代數(shù)、微積分、組合優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)學(xué)、微分方程、數(shù)值分析和離散數(shù)學(xué)等。在線性代數(shù)方面，用Maple軟件可以進(jìn)行線性代數(shù)的各種運(yùn)算，包括矩陣預(yù)算、行列式運(yùn)算、求解線性方程組、方陣的特征值及特征向量，求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型等問題；此外還可以通過Maple軟件的繪圖及程序設(shè)計(jì)命令，對(duì)線性代數(shù)中的若干概念的幾何意義進(jìn)行分析和討論，使學(xué)生能夠更好的理解線性代數(shù)的抽象概念，下面針對(duì)上面提出的線性方程組的三類解法，通過例題給出Maple求解的方法及求解過程。

例1 判斷下列的非齊次線性方程組是否有解，若有解，求其解。

方法一：

首先在Maple軟件中調(diào)用線性代數(shù)函數(shù)包，在交互界面中輸入一下命令

>with(linearAlgebra) :

>sys:=[x1+x2-2x3=0,x1-2x2+x3=3,-2x1+x2+x3=3];

sys:=[x1+x2-2x3=0,x1-2x2+x3=3,-2x1+x2+x3=3]

>var:=[x1,x2,x3];

var:=[x1,x2,x3];

計(jì)算線性方程組的增廣矩陣(A,b)

>A,b:=GenerateMatrix(sys,var)

求解線性方程組

>LinearSolve(A,b)；

Error, (inLinearAlgebra:-LinearSolve)inconsistentsystem

錯(cuò)誤信息說明：此方程組不相容的，沒有解。

方法二：

首先在Maple軟件中調(diào)用線性代數(shù)函數(shù)包，在交互界面中輸入一下命令

>with(LinearAlgebra):

計(jì)算線性方程組的增廣矩陣(A,b)

>M:=GenerateMatrix(sys,var,augmented=true);

化增廣矩陣為行最簡型矩陣

>ReduceRowEchelonForm(M);

由上述矩陣可看出，增廣矩陣的秩R(A,b)=3，系數(shù)矩陣A的秩R(A)=2，R(A,b)≠R(A)，此方程組無解。

例2 求解線性方程組

解：首先判斷方程組增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩是否相等。

>with(LinearAlgebra):

>sys:=[x1+x2+2x3+3x4=1,x1+2x2+3x3-x4=-4,3x1-x2-x3-2x4=-4,2x1+3x2-x3-x4=-6]:

>var:=[x1,x2,x3,x4]:

>M:=GenerateMatrix(sys,var,augmented=true) :

>ReducedRowEchelonForm(M) ;

由上可知，R(A,b)=R(A)=4,方程組有唯一解。

解法一：克萊姆(Gramer)法則：

計(jì)算系數(shù)行列式D及Dj：

>D:=Matrix([1,1,2,3],[1,2,3,-1],[3,-1,-1,-2],[2,3,-1,-1]);

Error,attemptingtoassignto'D'whichisprotected.Trydeclaring'localD';see?protectfordetails.

由于D是Maple受保護(hù)的變量名，所以在計(jì)算過程中盡量回避使用該變量名。

>B:=Matrix([[1,1,2,3],[1,2,3,-1],[3,-1,-1,-2],[2,3,-1,-1]]);

>LinearAlgebra[Determinant](B);

-153

用相同的計(jì)算行列式命令可求出B1=153,B2=153,B3=0,B4=-153

由克萊姆法則得x1=-1,x2=-1,x3=0,x4=1

解法二：逆矩陣乘積法：

線性方程組記成矩陣形式AX=b后，若系數(shù)矩陣A可逆，則X=A-1b，故我們首先需要求解系數(shù)矩陣A的逆矩陣A-1

>A:=Matrix([[1,1,2,3],[1,,2,3-1],[3,-1,-1,-2],[2,3,-1,-1]]):

>C:=LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);

則X=A-1b，在Maple交互界面中輸入以下命令：

> >B:=Matrix([[1],[-4],[-4],[-6]]):

>C,B;

得：x1=-1,x2=-1,x3=0,x4=1

解法三：高斯消元法

在Maple交互對(duì)話框輸入以下命令調(diào)用“高斯消去法”對(duì)話框(圖1)。

Student[LinearAlgebra][GaussianEliminationTutor]();

圖1

圖2

在矩陣位置按ENTER調(diào)取矩陣編輯模式，并輸入所需要的方程組基本信息(圖2)，輸入完畢后，點(diǎn)擊CLOSE鍵回到“高斯消去法”對(duì)話框，點(diǎn)擊All Steps，把增廣矩陣化為行最簡形矩陣(圖3)，點(diǎn)擊Solve System進(jìn)入求解界面，依次點(diǎn)擊右側(cè)Equations、Solve x[4]、Solve x[3]、Solve x[2]、Solve x[1]，即可求出方程組的解。

得出x1=-1,x2=-1,x3=0,x4=1

圖3

圖4

例3：判斷非齊次線性方程組

是否有解，若有解，求其解。

解：首先判斷系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等。

>A:=Matrix([[1,,-2,3-4,4],0,1,-1,1-3],[1,3,0,-3,1],[0,-7,3,1,-3]]):

>LinearAlgebra[Rank](A);

3

得出系數(shù)矩陣的秩R(A)=R(A,b)=3<4,所以方程組有無窮多解。

>with(LinearAlgebra):

>sys:=[x[1]-2x[2]+3x[3]-4x[4]=4,x[2]-x[3]+x[4]=-3,x[1]+3x[2]-3x[4]=1,-7x[2]+3x[3]+x[4]=-3];

>sys：=[x1-2x2+3x3-4x4=4,x2-x3+x4=-3,x1+3x2-3x4=1,-7x2+3x3+x4=-3]

>var:=[x[1],x[2],x[3],x[4]];

var:=[x1,x2,x3,x4]

>solve(sys,var);

[[x1=-8,x2=x2,x3=2x2,x4=-3+x2]]

從而可知η*=(-8,3,6,0)T為原方程組的一個(gè)特解。求對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系，在Maple中做如下運(yùn)算：

>(A,b) :=GenerateMatrix(sys,var);

>NullSpace(A);

因此原方程組所對(duì)應(yīng)的其次方程組的一組基礎(chǔ)解向量為：ξ1=(0,1,2,1)T

>sys :[lambda·x[1]-x[2]-x[3]=1,-x[1]+lambda·x[2]-x[3]=-1·lambda,-x[1]-x[2]+lambda·x[3]=λ2];

sys :=[λx1-x2-x3=1,-x1=λx2-x3=-λ,-x1-x2+λx3=λ2]

>var :=[x[1],x[2],x[3]];

var :=[x1,x2,x3]

>solve(sys,var);

>solve(sys,var,'parametric'=full);

四、結(jié)語

綜上，通過對(duì)幾個(gè)典型例題的講述與演示，探討了Maple軟件在線性方程組求解過程中的一些基本解法，分類給出了部分算法。它的一個(gè)重大突破是計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)不僅僅是將信息技術(shù)的應(yīng)用定位于教師的授課過程中，而是利用軟件強(qiáng)大的可視化交互功能，幫助學(xué)生建立自主學(xué)習(xí)的新模式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣和熱情，更好的培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知、創(chuàng)新和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，讓古老的數(shù)學(xué)煥發(fā)新的青春活力。

[1] 袁德正.線性代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社,2014.

[2] 吳珞，徐俊林.用Maple學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014.

[3] 童小紅,秦新強(qiáng).線性方程組的解法探討及MATLAB實(shí)現(xiàn)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2013(13):86-88.

O241.6

A

1671-4733(2017)06-0074-04

2017-05-12

夏磊(1982-)，男，碩士，講師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)軟件。