三角代換積分法教學(xué)體會(huì)

張奕河

摘 要： 針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)第二換元積分法中的三角代換法遇到的困難，本人在教學(xué)中，從學(xué)生比較熟悉的直角三角形入手，先構(gòu)造輔助直角三角形來(lái)破解這一難點(diǎn)，化難為易，便于學(xué)生理解和掌握。從教學(xué)效果來(lái)看實(shí)用且有效。

關(guān)鍵詞： 換元；積分法；三角代換

換元積分法中的三角代換是積分學(xué)的難點(diǎn)，由于高中階段對(duì)同角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)要求的削弱，大多數(shù)學(xué)生反映難以理解和掌握，感覺(jué)無(wú)從下手。讓數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的高職學(xué)生記住三種根式對(duì)應(yīng)的換元絕非易事，很多同學(xué)一開(kāi)始就選擇“知難而退”，作業(yè)靠抄襲應(yīng)付。針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)遇到的問(wèn)題，本人在教學(xué)中，從學(xué)生比較熟悉的直角三角形入手，先構(gòu)造輔助直角三角形來(lái)破解這一難點(diǎn)，化難為易。從教學(xué)效果來(lái)看有效且實(shí)用。

一、構(gòu)造輔助直角三角形的方法、步驟。

1、以 為三邊構(gòu)造直角三角形，若x為直角邊，則角t的對(duì)邊選x，若x不是直角邊，則角t的對(duì)邊也要選含x（即 ）。

2、利用輔助直角三角形可以得出 的三角函數(shù)式和 的三角函數(shù)式，從而得出換元的表達(dá)式和去根式的結(jié)果。

二、應(yīng)用舉例

例1 求 。

解：由知 ，x和 為直角三角形的直角邊，2為斜邊，構(gòu)造如圖1所示的直角三角形，由圖知

例2 求 。

解：由知 ，3和 為直角三角形的直角邊，x為斜邊，構(gòu)造如圖2所示的直角三角形，由圖知

由輔助直角三角形，可以直接得出被積函數(shù)

于是

例3 求 。

解：由知 ，x和a為直角三角形的直角邊， 為斜邊，構(gòu)造如圖3所示的直角三角形，由圖知

由輔助直角三角形，可以直接得出被積函數(shù)

于是

歸納、總結(jié)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)換元表達(dá)式為x=a sec t，則根式化簡(jiǎn)后為a tan t。反之，當(dāng)換元表達(dá)式為x=a tan t，則根式化簡(jiǎn)后為a sec t。

三、小結(jié)

積分學(xué)是求導(dǎo)、求微分的逆運(yùn)算，比較抽象和復(fù)雜，而三角代換換元積分法又是難中難，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容感覺(jué)阻力大，有畏懼感。通過(guò)先構(gòu)造輔助直角三角形，讓學(xué)生比較直觀(guān)理解和掌握換元的思路，找到解題的門(mén)路，使學(xué)生能獨(dú)立完成練習(xí)和作業(yè)，讓學(xué)生有收獲感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)樂(lè)趣，提高學(xué)習(xí)能力。endprint