隨機(jī)場(chǎng)模型下相關(guān)距離及參數(shù)變異系數(shù)對(duì)邊坡穩(wěn)定可靠度的影響

盛建龍 楊 博 翟明洋

（1.武漢科技大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北武漢 430081；2.冶金礦產(chǎn)資源高效利用與造塊湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430081）

邊坡失穩(wěn)問(wèn)題一直是學(xué)者們所關(guān)注的領(lǐng)域，近些年來(lái)對(duì)邊坡穩(wěn)定性的研究也越發(fā)的成熟。土的結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，因此，土的性質(zhì)在空間上隨著時(shí)間是不斷地變化的，即土性的表現(xiàn)為空間各向異性。由于變化的不確定性，土體性質(zhì)也會(huì)表現(xiàn)出不確定性，用確定性的方法很難反映這種隨機(jī)的變化。邊坡的不確定性得到了大量學(xué)者的重視，其中，楊繼紅等［1］在對(duì)黃河邊坡進(jìn)行可靠度分析時(shí)采用了隨機(jī)場(chǎng)計(jì)算模型，總結(jié)出在邊坡穩(wěn)定性計(jì)算時(shí)，計(jì)算邊坡失效概率并采用隨機(jī)場(chǎng)計(jì)算模型更加合理；Griffiths［2］在進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析時(shí)，提出隨機(jī)有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算方法，并證明了計(jì)算方法的合理性；白桃等［3-7］采用Morgenstern-Price簡(jiǎn)明算法編制程序?qū)吰缕茐母怕蔬M(jìn)行了研究，總結(jié)出邊坡在相同安全系數(shù)條件下，破壞概率也是可能不同的，即在判斷一個(gè)邊坡是否失穩(wěn)時(shí)，計(jì)算可靠度會(huì)更加合理；薛亞?wèn)|等［8-11］運(yùn)用隨機(jī)場(chǎng)理論，將隨機(jī)場(chǎng)離散中的局部平均法與FLAC3D計(jì)算軟件結(jié)合，總結(jié)出隨機(jī)場(chǎng)計(jì)算模型中，相關(guān)距離對(duì)邊坡穩(wěn)定可靠度的影響在垂直與水平方向上比較時(shí)，垂直方向的影響更為顯著；李典慶等［12-14］在研究中，采用隨機(jī)場(chǎng)計(jì)算模型，比較了不同變異系數(shù)下的參數(shù)對(duì)失效概率變化的影響，總結(jié)出參數(shù)變異系數(shù)存在一定的變化范圍，即參數(shù)的變異系數(shù)在隨機(jī)場(chǎng)模型中也會(huì)對(duì)邊坡失穩(wěn)造成一定程度的影響。各種研究都對(duì)研究隨機(jī)場(chǎng)做出了有益的推進(jìn)，但是大多數(shù)的研究?jī)H僅關(guān)注了相關(guān)距離對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，而忽略了參數(shù)的變異性。本研究利用C++語(yǔ)言以及FLAC3D軟件，實(shí)現(xiàn)邊坡土體參數(shù)在空間分布上的隨機(jī)性，在對(duì)邊坡失效概率的分析中，考慮土體黏聚力變異系數(shù)以及隨機(jī)場(chǎng)計(jì)算模型對(duì)結(jié)果的影響。

1 隨機(jī)場(chǎng)基本理論

1.1 局部平均法

設(shè)X(t1,t2)為二維的連續(xù)性隨機(jī)場(chǎng)，得到隨機(jī)場(chǎng)模型，最重要的工作是要將變量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)值來(lái)表示，也就是隨機(jī)場(chǎng)的離散。設(shè)μ和σ2分別為隨機(jī)場(chǎng)的均值與方差?？梢詫㈦S機(jī)場(chǎng)劃分為有限個(gè)矩形單元A,A1,A2,…建立隨機(jī)場(chǎng)模型，即將隨機(jī)數(shù)據(jù)離散到隨機(jī)場(chǎng)的每個(gè)單元中，按照離散后隨機(jī)變量與離散單元隨機(jī)場(chǎng)的關(guān)系，隨機(jī)計(jì)算模型的建立有很多方法，其中局部平均法以其對(duì)數(shù)據(jù)要求低，收斂快，精度高的優(yōu)點(diǎn)得到廣泛的應(yīng)用。本文采用該離散方法進(jìn)行各向異性隨機(jī)模型的分析。隨機(jī)場(chǎng)中，劃分的每個(gè)單元邊長(zhǎng)可表示為T(mén)1T2、，就其中一個(gè)矩形單元A=T1T2為例，用此法計(jì)算隨機(jī)場(chǎng)在局部單元A內(nèi)的結(jié)果為

同理，可以算出各個(gè)單元的局部XA1(t1,t2),XA2(t1,t2),…。

設(shè)X(t1,t2)為一個(gè)穩(wěn)定的空間隨機(jī)模型。則對(duì)應(yīng)局部單元的計(jì)算結(jié)果可以用各單元均值E[XA]、方差Var[XA]、協(xié)方差Cov[XA,XA1]等來(lái)近似表述。由式（1）可以得到用此法的計(jì)算過(guò)程中，并不會(huì)對(duì)原隨機(jī)模型的均值有所改變，因此可以得到

計(jì)算中，設(shè)γ(T1,T2)為X(t1,t2)的方差折減函數(shù)，為在隨機(jī)場(chǎng)離散過(guò)程中造成的“點(diǎn)方差”σ2到“局部平均方差”的折減程度，則方差

同理，可以算出其他單元的方差。

A,A1為隨機(jī)模型中2個(gè)單元，則協(xié)方差在這2個(gè)單元中可表示為

其中，T1k,T2i(k=0,…,3;i=0,…,3)所表示的意義由圖1［15］所表示，γ(T1k,T2i)為方差折減函數(shù)。

1.2 相關(guān)距離

Vanmarcke［16］給出了如下關(guān)系來(lái)表示相關(guān)距離：

式中，T表示隨機(jī)場(chǎng)空間中任意朝向的局部平均長(zhǎng)度；γ(T)則為向量T所對(duì)應(yīng)的方差折減函數(shù)。受相關(guān)性影響，土的結(jié)構(gòu)性質(zhì)在特定的范圍里是基本相似的。超過(guò)此范圍的土體之間，其性質(zhì)大體沒(méi)有聯(lián)系。

1.3 相關(guān)函數(shù)

設(shè)ρ(τ1,τ2)，用來(lái)表示相關(guān)函數(shù)。其所表示的意義是隨機(jī)場(chǎng)中的任意2個(gè)隨機(jī)單元之間的土性參數(shù)的相關(guān)性。表1列舉了在計(jì)算中比較常見(jiàn)的幾種二維相關(guān)函數(shù)。

表1中，τ1,τ2表示隨機(jī)場(chǎng)中任意2個(gè)單元所代表的坐標(biāo)的水平以及垂直方向上的距離?？梢杂孟率矫枋錾鲜龊瘮?shù)與各自方差折減函數(shù)之間的聯(lián)系。

選取不同的函數(shù)對(duì)局部平均法的結(jié)果所帶來(lái)的變化很小。表中所列舉的以上表達(dá)方式有較大區(qū)別，但是所對(duì)應(yīng)的方差折減函數(shù)在形式方面上差別實(shí)際不大［17］。因此，對(duì)隨機(jī)模型記性分析計(jì)算時(shí)，相關(guān)函數(shù)采取簡(jiǎn)單的選取可以很大程度上簡(jiǎn)化過(guò)程。

按照一定的比例進(jìn)行隨機(jī)場(chǎng)的網(wǎng)格劃分后，即可用協(xié)方差矩陣來(lái)表示每個(gè)網(wǎng)格之間的關(guān)系。從而根據(jù)統(tǒng)計(jì)參數(shù)的均值以及標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)每個(gè)網(wǎng)格進(jìn)行隨機(jī)場(chǎng)數(shù)據(jù)的映射處理，形成隨機(jī)場(chǎng)模型。

2 土性參數(shù)的空間各向異性

受到各種自然條件影響，土體特征理應(yīng)為空間各向異性。Vanmarcke［18］首次提出了隨機(jī)場(chǎng)模型，隨后大量的學(xué)者對(duì)隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行了研究。一般來(lái)說(shuō)隨機(jī)場(chǎng)模型中用相關(guān)距離以及參數(shù)的變異系數(shù)表示，研究表明［19］，在空間中，水平方向上的相關(guān)距離對(duì)于垂直方向而言，要大很多。在垂直方向上，相關(guān)距離一般介于0.2～2 m之間。而在水平方向上，相關(guān)距離一般是介于20～80 m之間，有的甚至更大。參數(shù)變異系數(shù)一般用來(lái)表示不同數(shù)據(jù)之間的數(shù)值分散程度的大小，其定義為標(biāo)準(zhǔn)差和均值的比對(duì)于一般土坡，均值即使相同，其性質(zhì)其實(shí)也有較大的差別，用變異系數(shù)來(lái)表征其中的區(qū)別程度會(huì)更加的合理。

由相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式可以得出，當(dāng)隨機(jī)場(chǎng)中倆坐標(biāo)的垂直與水平距離不相等時(shí)，即δ1≠δ2，根據(jù)上文中所表述的內(nèi)容所建立的模型各土性參數(shù)的特征均表現(xiàn)為明顯的空間各向異性。相比較于指數(shù)與高斯函數(shù)，可分離的指數(shù)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方差折減函數(shù)更容易求得。上節(jié)中提到，對(duì)于相關(guān)函數(shù)的選取，局部平均法并不敏感。所以，為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，減少計(jì)算量，對(duì)于模型的建立，所取的是可分離的指數(shù)函數(shù)。則有：

將式（7）代入式（5）則可以得到

3 隨機(jī)場(chǎng)模型下邊坡可靠度計(jì)算

對(duì)邊坡失穩(wěn)分析計(jì)算中，由于在隨機(jī)場(chǎng)模型中，各個(gè)網(wǎng)格中的材料的賦予都是不確定的，因此用極限平衡法時(shí)，很難對(duì)邊坡滑移面做出預(yù)先的確定。采取了有限元計(jì)算中的強(qiáng)度折減法進(jìn)行分析，有效解決了上述問(wèn)題。強(qiáng)度折減法就是：在邊坡分析時(shí)，使其處于臨界破壞狀態(tài)，對(duì)其參數(shù)進(jìn)行折減，以至使其失穩(wěn)，相應(yīng)數(shù)值軟件自動(dòng)根據(jù)計(jì)算結(jié)果得到安全系數(shù)。

對(duì)邊坡進(jìn)行分析時(shí)，采取了有限差分法對(duì)網(wǎng)格劃分，并將響應(yīng)面法與Monte-Carlo法相結(jié)合，其主要步驟如下：

（1）利用C++語(yǔ)言根據(jù)相關(guān)函數(shù)以及方差折減函數(shù)將隨機(jī)場(chǎng)劃分為均勻的矩形單元，生成協(xié)方差矩陣。本文為計(jì)算的簡(jiǎn)便，未考慮網(wǎng)格的劃分對(duì)隨機(jī)場(chǎng)模型下計(jì)算結(jié)果的影響，生成協(xié)方差矩陣。

（2）利用協(xié)方差矩陣和參數(shù)均值以及標(biāo)準(zhǔn)差，生成出隨機(jī)場(chǎng)變量。

（3）在FLAC3D中將邊坡進(jìn)行有限差分，并根據(jù)局部平均法的坐標(biāo)位置，將步驟（2）中生成的隨機(jī)場(chǎng)變量賦予到有限差分網(wǎng)格中，完成對(duì)計(jì)算模型的建立。

（4）利用強(qiáng)度折減法對(duì)邊坡進(jìn)行有限差分計(jì)算，得到安全系數(shù)Fs并利用拉丁超立方抽樣計(jì)算出響應(yīng)面函數(shù)。

（5）結(jié)合Monte-Carlo法，利用響應(yīng)面函數(shù)對(duì)邊坡進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算，計(jì)算出實(shí)效概率Pf。計(jì)算流程見(jiàn)圖2。

4 算例分析

以文獻(xiàn)［2］中均勻土坡為例，采用本文所提方法進(jìn)行分析。邊坡坡比為1∶2，邊坡高10 m，模型為20 m×60 m。土體飽和重度為20 kN/m3，土體彈性模量為100 MPa，泊松比為0.3，不排水抗剪強(qiáng)度為Cu（取φ=0）。為減少計(jì)算量，僅對(duì)黏聚力系數(shù)進(jìn)行不確定性模擬，假設(shè)c服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，均值μc=0.25，標(biāo)準(zhǔn)差σc=0.125。

分析了在δx=30 m時(shí)，δy從1 m變化到10 m，與δy=2 m時(shí)，δx從5 m變化帶80 m時(shí)，在不同黏聚力變異系數(shù)下其對(duì)邊坡破壞所造成的影響。

利用邊坡各條件，生成模型，并將其劃分為1 m×1 m的規(guī)則網(wǎng)格。對(duì)隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行劃分，如圖3所示，為2 m×2 m的均勻矩形網(wǎng)格在有限差分網(wǎng)格中的映射，即建立的隨機(jī)場(chǎng)模型圖。

在FLAC3D中，利用強(qiáng)度折減法對(duì)邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析，圖4所表示的為δx=30 m，δy=2 m時(shí)邊坡失穩(wěn)時(shí)的滑移面。

在δx、δy分別為30 m與2 m時(shí)，采用本文中的方法對(duì)失效概率進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果Pf=0.032 6，對(duì)照文獻(xiàn)［16］的結(jié)果0.035，絕對(duì)誤差僅有0.002 4，相對(duì)誤差僅有6%，說(shuō)明所用研究理論是合理的。

圖5反映了在垂直相關(guān)距離δy=2 m時(shí)，水平方向上在5～80 m變化時(shí)，對(duì)隨機(jī)場(chǎng)模型下邊坡失效概率的影響。分析比較得出，在相同變異系數(shù)條件下，水平相關(guān)距離越大，邊坡破壞的幾率也越大。在相同的水平相關(guān)距離條件下，黏聚力變異系數(shù)增大，邊坡失穩(wěn)的可能性同樣也呈現(xiàn)出上升趨勢(shì)，并且變異系數(shù)在0.1～0.4的上升過(guò)程中，失效概率的變化趨勢(shì)比較平穩(wěn)，δx=5 m時(shí)，變異系數(shù)由0.1上升到0.4，失效概率僅從0.002上升到0.003 4，增幅為0.001 4。而當(dāng)從0.4變化到0.5時(shí)，失效概率由0.003 4上升到0.006 1，增幅為0.002 7，為0.1～0.4時(shí)的1.93倍。

圖6反映了在δx=30 m，δy在1～10 m范圍內(nèi)變化時(shí)，對(duì)隨機(jī)場(chǎng)模型下邊坡失效概率的影響。從圖中可以總結(jié)出以下結(jié)論：在參數(shù)變異系數(shù)相同時(shí)，隨垂直相關(guān)距離增加，邊坡發(fā)生失穩(wěn)的可能性也會(huì)增大。相同垂直相關(guān)距離下，失效概率也隨著黏聚力變異系數(shù)的增大而增加。變異系數(shù)在0.1上升到0.3的過(guò)程中，破壞概率的增加較為平緩，當(dāng)變異系數(shù)由0.3增加到0.5，其數(shù)值呈現(xiàn)出顯著增加趨勢(shì)，尤其當(dāng)δy在3 m以上時(shí)，這種變化尤為明顯。在δy=10 m時(shí)，黏聚力變異系數(shù)由0.1增加到0.3時(shí)，失效概率由0.065上升到0.072，而黏聚力變異系數(shù)從0.3變化到0.5時(shí)，失效概率增加了0.08，為0.1～0.3的11倍以上。同樣，對(duì)于垂直方向而言，其距離越大，在變異系數(shù)變化時(shí)，失效概率的變化程度越大。

通過(guò)分析比較圖5和圖6可知，在相同變異系數(shù)下垂直相關(guān)距離對(duì)邊坡失穩(wěn)可能性大小的影響遠(yuǎn)大于水平相關(guān)距離。在變異系數(shù)為0.5時(shí)，δx從5 m變化到80 m時(shí)，邊坡的失效概率從0.68%上升到8%。對(duì)于垂直方向相關(guān)距離而言，當(dāng)δy從1 m增加到10 m時(shí)，邊坡失效概率由1.22%提升到15.21%。垂直相關(guān)距離的增幅僅為水平相關(guān)距離增幅的，而在失效概率上的增幅卻是其2倍以上。在對(duì)2個(gè)圖相關(guān)距離、變異系數(shù)變化曲線進(jìn)行比較時(shí)，發(fā)現(xiàn)垂直與水平相關(guān)距離的差距并不明顯，都呈現(xiàn)出一種上升趨勢(shì)。垂直方向上，從變異系數(shù)為0.3開(kāi)始，增幅有增大的趨勢(shì)，而在水平方向上，這種趨勢(shì)是從變異系數(shù)為0.4時(shí)開(kāi)始的。在變異系數(shù)從0.1變化到0.3時(shí)，2個(gè)圖的上升都較為平緩。

5 結(jié)論

基于局部平均法等隨機(jī)場(chǎng)基本理論，采用C++語(yǔ)言編制了土體邊坡隨機(jī)場(chǎng)離散程序，在此基礎(chǔ)上結(jié)合有限差分強(qiáng)度折減法及可靠度分析方法，研究了隨機(jī)場(chǎng)模型的相關(guān)距離以及黏聚力變異系數(shù)對(duì)邊坡可靠度的影響。所得結(jié)論如下：

（1）在相同變異系數(shù)下，通過(guò)比較相關(guān)距離在空間上的變化可以得出邊坡失效概率在空間相關(guān)距離增大時(shí)呈現(xiàn)出一種上升的變化。

（2）在相同相關(guān)距離的條件下，通過(guò)變化曲線可以得出邊坡失效概率由于變異系數(shù)的上升呈現(xiàn)出一種上升趨勢(shì)。對(duì)于水平方向相關(guān)距離而言，變異系數(shù)在0.4以上時(shí)，這種變化趨勢(shì)顯著增大；對(duì)于垂直方向而言，變異系數(shù)在0.3以上時(shí)，這種變化表現(xiàn)出增大趨勢(shì)。

（3）通過(guò)對(duì)空間中各方向上的相關(guān)距離對(duì)邊坡失穩(wěn)概率的變化程度進(jìn)行比較分析。發(fā)現(xiàn)其在垂直方向上的影響程度遠(yuǎn)大于水平方向。

（4）對(duì)土性參數(shù)空間各向異性的研究還存在著許多不足之處。比如說(shuō)，本文僅考慮了黏聚力系數(shù)的變化對(duì)失效概率的影響；同時(shí)建立的隨機(jī)場(chǎng)模型只是黏聚力系數(shù)的單因素隨機(jī)場(chǎng)，未考慮多因素隨機(jī)場(chǎng)下對(duì)邊坡失效概率的影響。