利用動(dòng)點(diǎn)理解二次函數(shù)的性質(zhì)

劉建

利用動(dòng)點(diǎn)理解二次函數(shù)的性質(zhì)

劉建

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題能培養(yǎng)我們的推理能力和函數(shù)思想，在最近幾年的中考中經(jīng)常出現(xiàn).請(qǐng)看下面這道題.

題目：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為P，交邊AC（或邊CB）于點(diǎn)Q，設(shè)AP=x，△APQ的面積為y，則y與x之間的函數(shù)圖象大致為（ ）

圖1

圖2

分析：常規(guī)解題思路是：分點(diǎn)Q在AC上和BC上兩種情況討論；分別求出兩種情況的面積關(guān)系式；根據(jù)函數(shù)關(guān)系式對(duì)應(yīng)的圖象確定選項(xiàng).

解法一：當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí),

當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，如圖1，

∵∠A=30°，AP=x，

當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，如圖所2示，

∵AP=x，AB=16，∠A=30°，

∴BP=16-x，∠B=60°，

解法二：估算分析法

觀察△ABC中的點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，PQ取最大值，此時(shí)AP＞BP，而選項(xiàng)C，D中的圖象均表示AP=BP，與實(shí)際情況不符，故排除選項(xiàng)D和C；點(diǎn)Q位與點(diǎn)C重合時(shí)，S△APQ的面積最大，點(diǎn)Q在點(diǎn)C兩側(cè)逐漸離開(kāi)時(shí)，面積逐漸減少.如圖3，當(dāng)Q在CP的左側(cè)時(shí)，AP1的長(zhǎng)和高P1Q1都減少，S△AP1Q1減少較快，當(dāng)Q在CP的右側(cè)時(shí)，高P2Q2減少，但AP2增加，S△AP2Q2變小的速度較慢，這樣就可排除選項(xiàng)A.選B.

上述兩種解法，第一種方法是最常規(guī)的方法，也比較順手.因?yàn)樵诮忸}的過(guò)程中，要看函數(shù)圖象，肯定要求出△APQ面積與x之間的函數(shù)關(guān)系.對(duì)于這個(gè)題目，這是最麻煩的一種方法.第二種方法最為簡(jiǎn)單，但是比較抽象.對(duì)于抽象性的問(wèn)題，很難想到，甚至難于理解，這需要開(kāi)拓我們的思維，通過(guò)推理,得出結(jié)論.這種估算分析法，對(duì)于解選擇題特別適用.

圖3

王二喜