剖析立體幾何方面的考查動向及易錯點

河南省實驗中學 李天佑

剖析立體幾何方面的考查動向及易錯點

河南省實驗中學 李天佑

一、高考預測

在高考試題中,立體幾何的試題一般是兩小一大,大約2 2分。立體幾何的熱點是三視圖,近兩年課改地區(qū)的高考試題中,都出現(xiàn)三視圖的試題,應引起重視。立體幾何考查的重點仍然是空間的平行關系、垂直關系、三視圖、空間角、距離的計算以及簡單幾何體的體積與表面積,題型涵蓋選擇、填空和解答題,證明空間線面、線線、面面平行與垂直,是必考題型,解題時要由已知想性質,由求證想判定,即分析法與綜合法相結合尋找證明思路。角和距離問題,可以用空間向量來解決,應加強訓練。與幾何體的側面積和體積有關的計算問題,根據(jù)基本概念和公式來計算,要重視方程思想和割補法、等積轉換法的運用。平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題,要對照翻折(或展開)前后兩個圖形,分清哪些元素的位置(或數(shù)量)關系改變了,哪些沒有改變。隨著空間向量的引入,開辟了解證立體幾何問題的新途徑,進而大大降低了立體幾何解答題的證明、作圖與運算的難度?？梢哉f,這使多少年來高中生感到立體幾何難學或害怕立體幾何的局面得到了很大的改變。

二、知識導學

1.異面直線。

(1)異面直線是指不同在任何一個平面內,沒有公共點。強調任何一個平面。

(2)異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點作兩條分別和異面直線平行的直線所成的銳角(或直角)。一般通過平移后轉化到三角形中求角,注意角的范圍。

(3)異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直并且相交。

(4)異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長度。求兩條異面直線的距離關鍵是找到它們的公垂線。

(5)異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定法。

2.直線與平面。

(1)求斜線與平面所成的角關鍵在于找射影,斜線與平面所成的角,是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角。

(2)在證明平行時注意線線平行、線面平行及面面平行判定定理和性質定理的反復運用。

(3)在證明垂直時注意線線垂直、線面垂直及面面垂直判定定理和性質定理的反復運用,同時還要注意三垂線定理及其逆定理的運用。

(4)求直線與平面的距離一般是利用直線上某一點到平面的距離來求。如果在平面的同一側有兩點到平面的距離(大于0)相等,則經(jīng)過這兩點的直線與這個平面平行。要注意“同一側”、“距離相等”。

3.平面與平面。

(1)兩個平面的位置關系的判定關鍵看有沒有公共點。

(2)面面平行也是推導線面平行的重要手段。還要注意平行與垂直的相互聯(lián)系,如:如果兩個平面都垂直于同一條直線,則這兩個平面平行;如果兩條直線都垂直于一個平面,則這兩條直線平行等。在證明平行時注意線線平行、線面平行及面面平行的判定定理和性質定理的反復運用。

(3)對于命題“三個平面兩兩相交,有三條交線,則這三條交線互相平行或者相交于同一點”要會證明。

(4)在證明垂直時注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定定理和性質定理的反復運用。

(5)注意二面角的范圍是[0,π],找二面角的平面角時要注意與棱垂直的直線,這往往是找二面角的平面角的關鍵所在。求二面角的大小還可利用公式c o sθ=,用的時候要進行交代。在二面角棱沒有給出的情況下求二面角大小,方法一是補充棱;方法二是利用“如果α∩β=l,且α⊥γ,β⊥γ,則l⊥γ”;方法三是利用公式c o sθ=等,在解三角形求二面角時注意垂直(直角)、數(shù)據(jù)在不同的面上轉換。

4.空間角與距離。

(1)求空間角的大小時,一般將其轉化為平面上的角來求,具體地將其轉化為某三角形的一個內角。

(2)求二面角大小時,關鍵是找二面角的平面角,可充分利用定義法或垂面法等。

(3)空間距離的計算一般將其轉化為兩點間的距離。求點到平面距離時,可先找出點在平面內的射影,可用兩個平面垂直的性質,也可用等體積轉換法求之。另外要注意垂直的作用。球心到截面圓心的距離由勾股定理得d=。

(4)球面上兩點間的距離是指經(jīng)過這兩點的球的大圓的劣弧的長,求解關鍵在于畫出經(jīng)過兩點的大圓及小圓。

(5)要注意距離和角在空間求值中的相互作用,以及在求面積和體積中的作用。

5.三視圖。

(1)三視圖間基本投影關系的三條規(guī)律:主視圖與俯視圖長對正,主視圖與左視圖高平齊,俯視圖與左視圖寬相等,概括為“長對正,高平齊,寬相等”。看不見的畫虛線。

(2)主視圖的上、下、左、右對應物體的上、下、左、右;俯視圖的上、下、左、右對應物體的后、前、左、右;左視圖的上、下、左、右對應物體的上、下、后、前。

三、易錯點點睛

例1 如果異面直線a、b所成的角為5 0°,P為空間一定點,則過點P與a、b所成的角都是3 0°的直線有( )。

A.一條 B.二條 C.三條 D.四條

圖1

解析:如圖1,過點P分別作a、b的平行線a′、b′,則a′、b′所成的角也為5 0°,即過點P與a′、b′成相等的角的直線必與異面直線a、b成相等的角,由于過點P的直線l與a′、b′成相等的角,故這樣的直線l在a′、b′確定的平面的射影在其角平分線上,則此時必有c o s∠A P B=c o s∠A P O×c o s∠O P B,當c o s∠A P O=時,有 c o s∠A P O=∈(0,1),此時這樣的直線存在且有兩條;當 ∠ B P C=1 3 0°時,有 c o s∠A P O=＞1,這樣的直線不存在,故選B。

【易錯點點睛】判斷過空間一點與兩異面直線成相等角的直線的條數(shù),解決異面直線所成角的問題關鍵是定義,基本思想是平移對本題來說,將兩異面直線平移到空間一點時,一方面,考慮在平面內和兩相交直線成等角的直線即角平分線是否滿足題意;另一方面,要思考在空間中與一平面內兩相交直線成等角的直線的條數(shù),此時關鍵是搞清平面外的直線與平面內的直線所成的角θ與平面內的直線與平面外的直線在平面內的射影所成的角α的關系,由公式c o sθ=c o sαc o sβ(其中β是直線與平面所成的角)易知c o sθ＜c o sα?θ＞α,c o sθ＜c o sβ?θ＞β(最小角定理)。一般地,若異面直線a、b所成的角為θ,l與a、b所成的角均為φ,據(jù)上式有如下結論:當0＜φ＜時,這樣的直線不存在;當φ=時,這樣的直線只有一條;當＜φ＜時,這樣的直線有兩條;當φ=時這樣的直線有三條;當＜φ＜時,這樣的直線有四條。

例2 已知某個幾何體的三視圖如圖2所示,則這個幾何體的體積是____。

解析:如圖3所示,作出幾何體S-A B C D且知平面S C D⊥平面A B C D,四邊形A B C D為正方形,作S E⊥C D于點E,得S E⊥面A B C D且S E=2 0。所以VS-ABCD=S·S E=,故這?ABCD個幾何體的體積是。

圖2

圖3

【易錯點點睛】注意避免對三視圖識圖不準,在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時,要從三個視圖綜合考慮,根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線,不可見輪廓線為虛線。在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正視圖和俯視圖為主,結合側視圖進行綜合考慮。

例3 已知m、n是不同的直線,α、β、γ是不同的平面。給出下列命題:

①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,則n⊥α,或n⊥β;

②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,則m∥n;

③若m不垂直于α,則m不可能垂直于α內的無數(shù)條直線;

④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,則n∥α,且n∥β。

其中正確命題的序號是____。

圖4

解析:①錯誤。如圖4,在正方體中,面 A B B′A′⊥ 面A DD′A′,交線為 A A′。直線A C⊥A A′,但A C不垂直面A B B′A′,同時A C也不垂直面A DD′A′。

②正確。實質上是兩平面平行的性質定理。

③錯誤。在上面的正方體中,A′C不垂直于平面A′B′C′D′,但與B′D′垂直。這樣A′C就垂直于平面A′B′C′D′內與直線B′D′平行的無數(shù)條直線。

④正確。利用線面平行的判定定理即可。

故填:②④。

【易錯點點睛】有些同學對線面關系定理理解不準,定理、性質、記憶不準確,錯用、亂用。防范失誤的措施:一是對錯誤的要逐個尋找反例給出否定,對正確的要逐個進行邏輯證明;二是結合模型作出判斷,但要注意定理應用準確,考慮周全。判定直線與平面平行的主要依據(jù)是判定定理,它是通過線線平行來判定線面平行,這里所指的直線是指平面外的一條直線平行于平面內的一條直線,在應用該定理證線面平行時,這三個條件缺一不可。

圖5

例4 如圖5,已知正三棱錐P-A B C的體積為7 2 3,側面與底面所成的二面角的大小為6 0°。

(1)證明P A⊥B C;

(2)求底面中心O到側面的距離。

解析:(1)如圖6,取B C邊的中點D,連接A D、P D,由三棱錐P-A B C為正三棱錐,可得A D⊥B C,P D⊥B C,故B C⊥平面A P D,所以P A⊥B C。

圖6

(2)由(1)可知平面P B C⊥平面A P D,則∠P DA是側面與底面所成二面角的平面角。過點O作O E⊥P D,E為垂足,則O E就是點O到側面的距離。設O E為h,由題意可知點O在A D上,所以∠P D O=6 0°,O P=2h。因為O D=,所以B C=4h,所以S△ABC=(4h)2=4 3h2。因為7 2 3=·4 3h2·2h=h2,所以h=3,即底面中心O到側面的距離為3。

【易錯點點睛】求點到平面的距離的方法有直接法、等體積法、換點法。求點到平面的距離一般由該點向平面引垂線,確定垂足,轉化為解三角形求邊長,或者利用空間向量表示點到平面的垂線段,設法求出該向量,轉化為計算向量的模,也可借助體積公式利用等積求高。

(責任編輯 劉鐘華)