應(yīng)用型人才模式下的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)與實(shí)踐

張偉+丁素珍+范小丹

摘要：高等數(shù)學(xué)是理工科院校的重要基礎(chǔ)必修課，為了適應(yīng)國家培養(yǎng)應(yīng)用技術(shù)型本科人才的需要，應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革，在教學(xué)中合理地進(jìn)行大學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)與實(shí)踐。本文針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況，分別通過課上培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題（數(shù)學(xué)建模）的能力、課下數(shù)學(xué)建模的組織與培訓(xùn)、數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的效果三個(gè)方面進(jìn)行研究，討論培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思想的重要性與實(shí)踐性，并給出通過具體實(shí)踐得出的效果，為新形勢(shì)下本科人才的培養(yǎng)做好充分地準(zhǔn)備。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；創(chuàng)新思想；教學(xué)手段；實(shí)踐效果

引言

柏拉圖說過：“數(shù)學(xué)是一切知識(shí)中的最高形式?！庇纱丝梢妼W(xué)好數(shù)學(xué)的重要性。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)一年級(jí)的一門重要基礎(chǔ)必修課，教學(xué)基本目標(biāo)是讓學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)中的基本定義、基本定理及應(yīng)用定義、定理計(jì)算相關(guān)習(xí)題，為學(xué)好其專業(yè)課打下扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但是高等數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)是抽象性和邏輯性都比較強(qiáng)，大部分的知識(shí)點(diǎn)學(xué)生理解起來比較吃力，上下兩冊(cè)書的難度呈遞增趨勢(shì)，即由一元函數(shù)的微積分學(xué)到多元函數(shù)的微積分學(xué)。隨著課程的持續(xù)講解，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣會(huì)降低。如何在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中添加“活躍”因子，使高等數(shù)學(xué)的教學(xué)變得豐富多彩，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重點(diǎn)。在充分考慮學(xué)生實(shí)際情況的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用技術(shù)能力，是適應(yīng)新形勢(shì)下高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)建模是從實(shí)際問題出發(fā)，首先作出基本假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等前期工作；然后需要運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和語言得到目標(biāo)函數(shù)，即數(shù)學(xué)模型；最后用計(jì)算機(jī)仿真方法計(jì)算出所需結(jié)果用來解釋實(shí)際問題并且能夠接受實(shí)際的檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)建模是理論與實(shí)際聯(lián)系的一個(gè)重要橋梁，在教學(xué)中合理地加入數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的引例，徹底改變只是利用既定的公式和定理進(jìn)行解題的形式，讓學(xué)生真實(shí)地感受高等數(shù)學(xué)中公式和定理的用處，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，又能提高學(xué)生數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用能力。

把數(shù)學(xué)建模思想適當(dāng)?shù)厝谌氲礁叩葦?shù)學(xué)的教學(xué)中來，是提高教學(xué)效果的有效方法，也是教學(xué)改革的有效途徑。通過在教學(xué)中添加數(shù)學(xué)建模這個(gè)“活躍”因子，不僅使得課堂的整體氣氛變得活躍、生動(dòng)。而且可以達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和綜合能力的目的，拓展學(xué)生知識(shí)的廣度，展示高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)的實(shí)用性和應(yīng)用性。

一、 課上融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)手段與方法

（一） 教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的方法與作用

傳統(tǒng)的教學(xué)模式，幾乎都是老師一言堂式的教學(xué)模式。這種教學(xué)模式缺少老師與學(xué)生之間合理的互動(dòng)，課堂逐漸變得枯燥無味，學(xué)生自然提不起學(xué)習(xí)的熱情，久而久之教學(xué)效果會(huì)越來越不理想。并且這種模式很難跟上素質(zhì)教育的腳步，很難為培養(yǎng)應(yīng)用技術(shù)型本科人才做好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。所以為了適應(yīng)培養(yǎng)應(yīng)用技術(shù)型本科人才的需要，高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)應(yīng)打破傳統(tǒng)的模式，適應(yīng)時(shí)代的腳步。

在教學(xué)中適當(dāng)?shù)厝谌霐?shù)學(xué)建模思想是打破傳統(tǒng)教學(xué)模式的一種的有效方法。針對(duì)于不同專業(yè)的學(xué)生，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整數(shù)學(xué)建模引入的實(shí)例，做到因材施教。比如，針對(duì)經(jīng)濟(jì)類專業(yè)的學(xué)生，教學(xué)中應(yīng)多涉及與經(jīng)濟(jì)有關(guān)的數(shù)學(xué)建模實(shí)例；針對(duì)計(jì)算機(jī)類專業(yè)的學(xué)生，教學(xué)中應(yīng)多涉及一些應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件編程的數(shù)學(xué)建模實(shí)例，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同時(shí)還可以接觸到Matlab，mathmatics，lingo等計(jì)算機(jī)軟件方面的知識(shí)。這種教學(xué)方法，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的自覺性和主動(dòng)性，而且對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)好本專業(yè)的后續(xù)課程有很好的幫助。

在高等數(shù)學(xué)教材中有許多知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)可以用于融入數(shù)學(xué)建模思想，比如函數(shù)的極值及最值、導(dǎo)數(shù)的概念、微分方程、函數(shù)的極限等等?？傮w來說，無論是在幾何上還是物理上的應(yīng)用實(shí)例，都可以看成是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模問題。通過不同的實(shí)例在教學(xué)中反復(fù)講解數(shù)學(xué)建模的過程，不僅使學(xué)生對(duì)應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)來解決實(shí)際問題有了一定的了解，而且還使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模有了初步的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的能力。

（二） 高等數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)建模案例分析

下面用教學(xué)中的一個(gè)具體例題談?wù)勗诮虒W(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的融入，在高等數(shù)學(xué)教材的下冊(cè)第九章第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法中的例6：有一寬為24 cm的長(zhǎng)方形鐵板，把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽，怎樣折法才能使斷面的面積最大？求解此題時(shí)，首先設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為x cm，傾角為α，則梯形斷面的下底長(zhǎng)為（24-2x）cm，上底長(zhǎng)為（24-2x+2xcosα）cm，高為（xsinα）cm，這就是數(shù)學(xué)建模中的建立變量的過程；

斷面面積，A=24xsinα-2x2sinα+x2sinαcosα 這就是數(shù)學(xué)建模中的建立目標(biāo)函數(shù)的過程；0<α≤π/2，0<α≤π/2 這就是數(shù)學(xué)建模中的約束條件；下面求這個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)Ax=24sinα-4xsinα+2xsinαcosα=0，Aα=24xcosα-2x2cosα+x2（cos2α-sin2α）=0..令A(yù)x=24sinα-4xsinα+2xsinαcosα=0，Aα=24xcosα-2x2cosα+x2（cos2α-sin2α）=0.

解方程組，得α=60°，x=8 這就是數(shù)學(xué)建模中的具體模型的求解過程；

根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在，通過計(jì)算得知α=π/2時(shí)的函數(shù)值α=π/3，

x=8點(diǎn)的函數(shù)值小，又函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，因此可以斷定，當(dāng)α=60°，x=8時(shí)，就能使斷面的面積最大。這就是數(shù)學(xué)建模中的對(duì)模型的分析與檢驗(yàn)，找出模型的最優(yōu)解；在課上講解這道例題時(shí)，就可以以此為例拓展講解關(guān)于數(shù)學(xué)建模的全過程，第一步模型的準(zhǔn)備；第二步模型的假設(shè)；第三步模型的構(gòu)成；第四步模型的求解；第五步模型的分析檢驗(yàn)；第六步模型的應(yīng)用，使學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)建模的過程。

二、 課下數(shù)學(xué)建模的組織與培訓(xùn)

有了課上融入數(shù)學(xué)建模思想作為前提，在課下時(shí)間選取部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模方面的知識(shí)進(jìn)行培訓(xùn)與學(xué)習(xí)，每周固定時(shí)間進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的研討課，然后學(xué)生自主分組，以團(tuán)隊(duì)形式進(jìn)行小范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)建模比賽。endprint

第一階段：老師具體講解數(shù)學(xué)建模所用的基本方法，如層次分析法、模糊線性規(guī)劃法、圖論法插值擬合法等等。并針對(duì)每一種數(shù)學(xué)建?；痉椒ㄖv解一個(gè)具體的數(shù)學(xué)建模實(shí)例，讓學(xué)生充分了解各種建?；痉椒ǖ膽?yīng)用；培訓(xùn)學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)軟件能力，如Matlab、mathmatics等數(shù)學(xué)建模常用軟件。使得學(xué)生可以有能力應(yīng)用這些軟件來解決數(shù)學(xué)建模中遇到的問題。

第二階段：通過一段時(shí)間的具體培訓(xùn)，學(xué)生對(duì)自己在數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)有了一定的了解。有些學(xué)生擅長(zhǎng)計(jì)算機(jī)操作，有些學(xué)生擅長(zhǎng)模型的建立與求解，有些學(xué)生則擅長(zhǎng)撰寫論文。通過一段時(shí)間研討課的接觸，學(xué)生們對(duì)彼此的優(yōu)勢(shì)相對(duì)比較了解，他們以三人為一團(tuán)隊(duì)的形式自主分組，盡量做到在團(tuán)隊(duì)中充分發(fā)揮自己的長(zhǎng)處，并且可以互相配合完成整個(gè)數(shù)學(xué)建模的任務(wù)。由老師布置數(shù)學(xué)建模作業(yè)，小組內(nèi)研究討論并在規(guī)定時(shí)間內(nèi)上交已完成的作業(yè)資料。學(xué)生通過自己查找相關(guān)資料解決問題有助于提高他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，將增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用理論知識(shí)的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。老師根據(jù)作業(yè)的具體情況查缺補(bǔ)漏，對(duì)大部分小組比較薄弱的數(shù)學(xué)建模知識(shí)再進(jìn)行深入講解與討論。

第三階段：開展小范圍的數(shù)學(xué)建模比賽，有了第二階段的上交數(shù)學(xué)建模作業(yè)作為基礎(chǔ)，老師布置數(shù)學(xué)建模比賽題目，在選擇題目時(shí)要做到循序漸進(jìn)。通過比賽的開展，不僅使學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有了更加深刻的理解，計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力得到一定的提高，還培養(yǎng)了學(xué)生的協(xié)作精神。為舉辦關(guān)于數(shù)學(xué)方面的創(chuàng)新能力競(jìng)賽準(zhǔn)備好后備力量，為參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔優(yōu)秀團(tuán)隊(duì)做好基礎(chǔ)。

三、 數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新能力的實(shí)踐效果

有了課上融入數(shù)學(xué)建模思想和課下數(shù)學(xué)建模的組織與培訓(xùn)作為前提，數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐效果可以說是水到渠成。近些年來一直持續(xù)舉辦關(guān)于數(shù)學(xué)方面的創(chuàng)新能力競(jìng)賽，如數(shù)學(xué)綜合能力競(jìng)賽、大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等。在學(xué)校及學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)的大力支持下競(jìng)賽開展得十分順利，在參賽學(xué)生及指導(dǎo)教師的不斷努力和拼搏下，取得了優(yōu)異的成績(jī)，獲獎(jiǎng)范圍從國家二等獎(jiǎng)到省一、二、三等獎(jiǎng)并不斷創(chuàng)造著新的紀(jì)錄。充分說明了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新能力的實(shí)效性。

下面用一個(gè)具體例題談?wù)勁囵B(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的實(shí)效性，在高等數(shù)學(xué)教材的上冊(cè)第七章第五節(jié)中的例4：設(shè)有一均勻、柔軟的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂，試問繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線？這道題的求解方法是通過模型的假設(shè)，建立微分方程模型，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中可降解微分方程的求解方法，就可以求解出此微分方程的特解，即曲線方程。這曲線叫做懸鏈線。這道題也是教材中一道典型的數(shù)學(xué)建模題，在課上的教學(xué)中會(huì)給學(xué)生拓展講解數(shù)學(xué)建模中的微分方程模型。

2016年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的A題系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題中，就應(yīng)用到了這道例題中的懸鏈線方程，可見在高等數(shù)學(xué)課堂上加入數(shù)學(xué)建模思想的重要性。高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合可起到相輔相成的作用。學(xué)生通過課上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模思想、課下參與數(shù)學(xué)建模研討課、參加小范圍內(nèi)數(shù)學(xué)建模比賽和全校數(shù)學(xué)建模比賽等數(shù)學(xué)能力方面的競(jìng)賽，鍛煉自己的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。有了這些作為基礎(chǔ)，才取得了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽的優(yōu)異成績(jī)。由此可見，數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新能力的實(shí)踐效果顯著。在整個(gè)過程中全面訓(xùn)練學(xué)生的綜合素質(zhì)。

四、 結(jié)語

本文在培養(yǎng)應(yīng)用型本科人才的新形勢(shì)下，針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況，提出了課上融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)方法和課下組織與培訓(xùn)數(shù)學(xué)建模的改革方案并加以實(shí)施。通過數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新能力的實(shí)踐效果可以明顯看出，整個(gè)實(shí)施方案的效果顯著。這需要求老師在具體的實(shí)施過程中做到不斷地探索，時(shí)常總結(jié)具體實(shí)踐中的寶貴經(jīng)驗(yàn)，為更好地培養(yǎng)大學(xué)生的應(yīng)用創(chuàng)新能力而努力。

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