極限概念在圓周率計(jì)算中的應(yīng)用

高天龍

摘要：割圓法是圓周率計(jì)算中比較傳統(tǒng)的方法。文中使用極限概念，分析了圓的周長與內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)的關(guān)系，推導(dǎo)了圓周率的計(jì)算公式，通過編程計(jì)算，得到了不同邊數(shù)與相對應(yīng)的圓周率的計(jì)算結(jié)果，表明了在極限概念下圓周率計(jì)算結(jié)果的趨勢，展示了極限概念在割圓法計(jì)算圓周率上的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：割圓法概述；割圓法計(jì)算原理；極限表達(dá)

一、 引言

圓周率（表示為希臘字母π）是一個存在于自然界之中的無理數(shù)，是圓周的長度與圓的直徑之間的比例常數(shù)，人們很早就開始了認(rèn)識圓周率的過程。公元前3世紀(jì)古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Archimedes通過正多邊形內(nèi)接于圓，將其邊數(shù)逐漸地增加來計(jì)算圓周的方法求得了圓周率的近似值約為3.14163。巴比倫、印度、中國等長期使用3這個粗略而簡單實(shí)用的數(shù)值，東漢時期官方還明文規(guī)定圓周率取3為計(jì)算面積的標(biāo)準(zhǔn)，后人稱之為“古率”。魏晉時期劉徽曾于公元263年用割圓術(shù)的方法求到3.14，這被稱為“徽率”，南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步將圓周率π的真值精確到小數(shù)第7位。

二、 圓周率的計(jì)算

（一） 割圓法概述

在研究圓周率的過程中，多種計(jì)算方法被提出來。大致可以分為幾種：利用正多邊形計(jì)算，連分?jǐn)?shù)計(jì)算以及近代推出的多種經(jīng)典計(jì)算公式。其中利用正多邊形的計(jì)算方法是比較直觀，易于接受的方法。我國古代第一個把求圓周率近似值的方法提高到理論高度上來認(rèn)識的是劉徽。他獨(dú)立地創(chuàng)造了“割圓術(shù)”，并系統(tǒng)而嚴(yán)密地用內(nèi)接正多邊形來求得圓周率的近似值。

（二） 割圓法計(jì)算原理

“割圓法”的基本計(jì)算思路是：通過圓內(nèi)接正多邊形割分圓周，并使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進(jìn)而求得較為精確的圓周率，割圓過程可以用不同邊數(shù)的正多邊形示意，如圖1所示，

a內(nèi)接正三變形b 內(nèi)接正六邊形c 內(nèi)接正12邊形

圖1b中，圓的圓心為O，內(nèi)接一個邊長為LAB的正n邊形。正n邊形把圓分割成n個長度為lAB的圓弧。由圖1可知，弧長lAB大于正n邊形邊長LAB，設(shè)其差值為Δ。

根據(jù)以上分析，可以得到圓的周長C是n個弧長的總和，

C=n×lAB （1）

內(nèi)接正n邊形的邊長總和為，

C1=n×LAB（2）

所以可以使用正n邊形的邊長總和，代替圓的周長，

C=C1+n×Δ（3）

由式3可知，當(dāng)Δ=0的時候，C=C1，即可以用正n邊形的邊長總和代替圓的周長。

根據(jù)圓的周長公式，認(rèn)為周長C是圓直徑D和一個比例常數(shù)π的乘積，由此可以推導(dǎo)出圓周率π的計(jì)算公式，

π=CD（4）

由式3可以得到，

π=C1+n×ΔD=C1D+n×ΔD（5）

由于兩點(diǎn)之間的弧長總是大于直線的長度，所以在實(shí)際計(jì)算中，Δ隨著n的增大，逐漸減小并趨于0，當(dāng)Δ=0的時候，可以得到，

π=C1D（6）

式6是割圓法的理想結(jié)果，即用正多邊形把圓分割成無數(shù)細(xì)小的弧長，當(dāng)分割足夠小的時候，弧長近似等于正多邊形的邊長，由此計(jì)算圓周率π的近似值。

三、 極限計(jì)算及結(jié)果

（一） 圓周率的極限表達(dá)

根據(jù)以上分析，可以把割圓法計(jì)算圓周率π的方法，看做是一個極限問題。在高中數(shù)學(xué)知識里，有關(guān)于極限的概念，敘述如下：

設(shè)函數(shù)f（x）是關(guān)于x的函數(shù)。如果limx→+∞f（x）=a，那么就說當(dāng)x趨向于無窮大時，函數(shù)f（x）的極限是a，記作limx→∞f（x）=a，也可記作當(dāng)x→∞時，f（x）→a。

在割圓法計(jì)算圓周率π時，直徑為D的圓，其內(nèi)接多邊形的邊數(shù)n越大，邊長與弧長的差值Δ越小，差值Δ是以邊數(shù)n為變量的函數(shù)。分析式2、5、6可以知道，圓周率π是以邊數(shù)n為變量的函數(shù)，

π（n）=n×LABD（7）

使用函數(shù)極限的概念，當(dāng)邊數(shù)n無窮大的時候，π（n）等于π，記為，

limn→∞π（n） =limn→∞n×LABD =π（8）

（二） 極限計(jì)算

設(shè)圓直徑為D，內(nèi)接多邊形邊長為n，如圖2所示，計(jì)算邊長LAB。

其中角度α=12×360n=180n，直角三角形斜邊OA=D/2，邊長LAB=2*AC。

經(jīng)過推導(dǎo)，可以得到邊長LAB的計(jì)算公式，

LAB=D×sin180n（9）

由式7可得π的計(jì)算式，

π（n）=n×D×sin（180/n）D=n×sin180n（10）

將式10代入式8，可得，

π（n）=limn→∞π（n）=limn→∞n×D×sin（180/n）D

=limn→∞n×sin180n（11）

式11就是經(jīng)過推導(dǎo)得到的圓周率π與圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)n的極限關(guān)系式。

（三） 計(jì)算結(jié)果及分析

由式11，當(dāng)邊數(shù)n趨于無窮大的時候，可以得到圓周率π的極限值，也就是無限接近于真實(shí)的π值。根據(jù)式11，使用VB6.0編程計(jì)算，把計(jì)算結(jié)果繪制成圖表形式，直觀地顯示當(dāng)n趨于無窮大的時候，圓周率π的計(jì)算結(jié)果。

程序中，使用n為自變量，π（n）為函數(shù)，設(shè)n從3開始，逐漸遞增，趨于一個非常大的自然數(shù)，可以設(shè)為100000。通過計(jì)算結(jié)果的對比，顯示圓周率π于邊數(shù)n的關(guān)系。

計(jì)算結(jié)果如表1，列舉部分?jǐn)?shù)據(jù)。

將計(jì)算結(jié)果繪制成圖表，可以觀察到圓周率π的計(jì)算值變化趨勢，如圖3。

根據(jù)上面的結(jié)果顯示，使用割圓法計(jì)算圓周率π，π的計(jì)算值變化趨勢在正多變形邊數(shù)n較少時，π值變化較快，快速接近真實(shí)值。隨著邊數(shù)n的增大，變化趨緩，曲線接近水平可以知道，當(dāng)n值接近于無窮大時，計(jì)算值與真實(shí)值的差值將趨于零。

四、 總結(jié)

割圓法通過使用正多邊形把圓周分割成n個圓弧，近似計(jì)算圓周長度，進(jìn)而計(jì)算圓周率π的近似值。其計(jì)算思想中使用了極限的概念，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)增大，計(jì)算數(shù)值的誤差逐漸減小，當(dāng)邊數(shù)趨于無窮大的時候，圓周率的計(jì)算值無限接近真實(shí)值。通過使用極限概念推導(dǎo)內(nèi)接于圓的正多邊形的邊數(shù)與圓周率的關(guān)系，編程計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果并繪制圖表，很好地展示了極限概念在割圓法計(jì)算圓周率上的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王汝發(fā) 祖沖之與劉徽在國內(nèi)外影響之比較[J].哈爾濱學(xué)院學(xué)報（社會科學(xué)），2001，06.

[2] 楊忠寶，劉向東.VB語言程序設(shè)計(jì)教程[M].北京：人民郵電出版社，2015.