變通：讓解題有更充分的預見①

段志貴

(鹽城師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 224002)

許多人熟知波利亞的怎樣解題表，卻對他的解題思維圖解并不十分清楚．在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》一書中，波利亞分析了解題思維的作用，提出了面對數(shù)學問題的思維路徑，構(gòu)畫了“我們該怎樣思考”一圖[1]．這是一張正方形圖解，位于四個頂點的分別是“動員”、“組織”、“分離”和“組合”，四條邊上安排是“辨認”、“回憶”、“充實”以及“重新配置”，位于正方形中心的是“預見”，這些都是這張圖解的關(guān)鍵詞．這里的“重新配置”，簡單地說，就是改變問題構(gòu)思的“結(jié)構(gòu)”[1]．“窮則變，變則通”，根據(jù)問題求解的需要對問題的條件和結(jié)論做出必要的變動，把相關(guān)因素進行合理的再調(diào)配、再組合，這種依情況變化而做出解題改變的思維策略，就是人們常說的變通．

數(shù)學解題中的變通策略，其實質(zhì)就是當我們遇到問題且難以直接用所學到的公式定理去解決時，對原問題的相關(guān)要素或關(guān)系作等價或同構(gòu)式的轉(zhuǎn)換，以實現(xiàn)解題的更好預見.變通的思維不完全等同于化歸、類比等具體的數(shù)學思想方法，貫穿于變通思維其中的是開放、靈活、調(diào)適與機動，通過改變問題思考的方式去發(fā)現(xiàn)解決問題的方法．一般說來，常常用于數(shù)學問題解決的變通策略有以下六種．

1 變審題視角，讀懂問題立意

許多問題難于入手，往往是我們不能很好地理解題意．需要我們通過調(diào)整角度重新審視問題的條件與結(jié)論，才能更準確地認識問題本質(zhì)．例如,已知“直線l和圓O相切”，就是已知“點O到直線l的距離等于半徑”；要證“a，b，c中至少有一個為1”，只要證“(a-1)(b-1)(c-1)=0”就行了；限定“ABCD四人排成一行,A不準排在首位”,換個角度,就是要求“ABCD四人排成一行,B排在首位,或C排在首位,或D排在首位”[2]．問題本質(zhì)沒有改變，認識的角度換了，理解起來容易得多了．

例1當a為何值時,由不等式1

例2滿足不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3，求p.

分析若不仔細審題，可能會直接討論去掉絕對值符號，找出對應方程的根，再對根進行大小討論來化解問題，這樣做顯然不簡單.事實上，從題設不等式解的最大值含義去解讀已知條件，就會發(fā)現(xiàn)適合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3，所以x-3≤0，故|x-3|=3-x.所以，原命題等價于“已知適合不等式|x2-4x+p|≤2+x的x的最大值為3，求p．”這一命題只含有一個絕對值，解決起來容易得多了．

若|x2-4x+p|=-x2+4x-p，則原不等式為x2-3x+p+2≥0，其解集不可能為{x|x≤3}的子集，所以必有|x2-4x+p|=x2-4x+p.原不等式化為x2-4x+p+3-x≤0，即x2-5x+p-2≤0.令x2-5x+p-2=(x-3)(x-m)，可得m=2，p=8.

2 變破題方法，理解隱含條件

有一些問題，讀起來感覺并不難懂，但就是無從下手．這可能就是我們對題目本身的隱含條件認識和挖掘的還不到位．有的題目冗長，讀了就過去；有的條件或待求結(jié)論本身藏著條件，但沒有突顯出來；有的題目借助圖形不明說出條件；還有的題目創(chuàng)新或自定義概念等等．這就需要我們在解題的各個環(huán)節(jié)，注意對隱含條件的充分理解．

例3直線m:y=kx+2k+1與直線n:2x+y-4=0的交點在第一象限內(nèi)，求k的值．

圖1

圖2

3 變題柱元素，轉(zhuǎn)換問題主元

絕大多數(shù)數(shù)學問題中的變量都不唯一，通常情況下，會有一些變量處于題柱角色，它們是解決矛盾的主要方面，稱之為主元；其他的元素則處于問題解決的次要和服從地位，稱為次元．在一些問題所給條件或結(jié)論中，往往掩蓋主元次元之間的關(guān)系，把相關(guān)變量攪拌在一起，增加解題難度．因此，在解題中如果能迅速準確地找出主要元素，并突出主要元素，則可能解題目標指向更清晰，更有利于抓住問題的要害，將復雜問題簡單化．特別地，在我們討論某些含參問題時,要學會轉(zhuǎn)換題柱元素角色，但通過變換主元,調(diào)整設定參數(shù),以避免討論,把握解題思路，實現(xiàn)解題過程的優(yōu)化與高效．

例5已知方程ax2-2(a-3)x+a-2=0中的a為負整數(shù),試求使方程的解至少有一個為整數(shù)時的a值．

例6設不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

4 變題源背景，回歸概念定義

許多問題的編擬都有一些特定的背景，要么是某個概念或數(shù)學公式，要么是某個已經(jīng)解決了的實際問題，要么是一個基本思想的應用等．在這其中，數(shù)學概念的背景，最值得重視和加強．任何一個數(shù)學問題的編擬與解決，數(shù)學概念不可或缺．一些特定的問題中，概念既是推導公式、定理的依據(jù)，也是解題常用的一把鑰匙.所以對于一些特定的數(shù)學問題,如能回到數(shù)學概念所定義的形式中去，往往能獲得題設一些具有本質(zhì)特征的屬性,達到合理運算、準確判斷、靈活解題的目的[2]. 因此，對概念的厘清和定義的把握，是對問題本質(zhì)的一種最好的理解．

然而有些問題的解決，表面上看對定義的依賴性不強，但是如能透過題意，挖掘其中的基本元素間的關(guān)系，亦能幫助我們把握問題的實質(zhì)，厘清變量間錯綜復雜的關(guān)系．因此，回到定義中去考慮,借助定義所反映的數(shù)學表達式進行調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)化，是把問題化難為易、化繁為簡的又一行之有效的解題策略．

例7將7個同樣的白球全部放入4個不同的盒子內(nèi)(可以有盒子不放)，問共有多少種不同的放法？

分析本題題意并不費解，但求解起來似乎并不容易．有些學生看到題目，就考慮分情況討論，這一過程將會十分繁瑣．可以考慮改變原問題情境，把原問題“放到不同的盒子內(nèi)”等價地改編為“排列組合中的插板”問題，因而可以直接利用組合的定義進行解答．

事實上，把7個白球排成一排，并插入3個黑球，如圖3．在左邊的第一個黑球前面只有1個白球，表示第一盒子放1個白球；第二個黑球與第一個黑球之間有3個白球，表示第二盒子放3個白球；依次類推，第三和第四兩個盒子分別放2個和1個白球．同樣，圖4表示4個盒子放入的球數(shù)依次為0，4，0，3．

圖3

圖4

例8若點A的坐標為(3,2)，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點，點P在拋物線上移動，為使|PA|+|PF|取最小值，求點P的坐標.

圖5

分析容易作出草圖如圖5所示，顯然A在拋物線開口方向內(nèi)．能否作出準線，能否想到拋物線的定義，是解決本題的關(guān)鍵．

5 變題引線索，增設輔助參數(shù)

有些問題，初看上去似乎缺少條件，一時難以入手，或是已知條件較多，無從下手，這時，我們可以增加一些輔助參數(shù)，來拓寬思路尋求解題良策.這一輔助參數(shù)，從更廣泛的意義上說，包括增設的未知數(shù)，也包括一些輔助圖形．所謂的“設而不求”未知數(shù)，就是一種特別的輔助參數(shù)．所有這些輔助參數(shù)的加入，為解題增添了活力，使得問題中的各變量之間的關(guān)系，特別是未知量與已知量之間的關(guān)系進一步明朗化，為最終實現(xiàn)問題的解決，奠定了基礎．

例9有一個半徑是1的圓，圓心在x軸上運動，拋物線方程是y2=2x，試問當這個圓運動到什么位置時，圓與拋物線在同一個交點處的兩條切線相互垂直．

分析依據(jù)解題常規(guī)，一般是這樣思考的．首先依據(jù)題意，不妨設圓的方程(x-a)2+y2=1，與拋物線方程y2=2x聯(lián)立解方程組，從中可以求得交點P(x0,y0)的坐標，然后再分別計算點P處的兩條切線的方程，并兩直線相互垂直知他們的斜率之積為-1．求得a的值．如果按照這一方案來解題，那是相當繁冗的，特別表現(xiàn)在計算量比較大．本題也可以從另一個角度去思考，設而不求，從整體結(jié)構(gòu)上去分析思考，也許能夠事半功倍．

事實上，由已知條件易得：

6 變難題形式，反向探求解法

有些問題難于求解，好比攻城，一條路徑行不通，看看可不可以采用其他的辦法，特別是逆向思維，從問題結(jié)論的反面入手．羅巴切夫斯基從許多失敗者的教訓中看到了把歐氏第五公設作為定理直接來證明是不可能的，反向而行之，提出了一個和第五公設相矛盾的命題,用它來代替第五公設，終于發(fā)現(xiàn)了幾何學的嶄新天地——非歐幾何學．解題中的舉反例、反證法、逆推法、排除法、同一法、補集思想等技巧，都可以說是正難則反策略在數(shù)學中的具體應用．反向探求解法，可以避免相關(guān)知識的縱向深入或分類討論，有效地實現(xiàn)了問題的等價轉(zhuǎn)化，拓展了解法探求的思維空間，為問題解決打開了一個新的天地．

例11已知三個方程x2-mx+4=0，x2-2(m-1)x+16=0，x2+2mx+3m+10=0中至少有一個方程有實根，求實數(shù)m的取值范圍．

分析若正面求解，三個方程至少有一個方程有實根，將出現(xiàn)7種可能，情況復雜，但其反面則只有一種情況：三個方程都沒有實根，問題變得極為簡單．有

再求補集，得三個方程至少有一個方程有實根時實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2]∪[4,+∞)．

例12設AB為過拋物線y2=2px(p>0)

焦點的弦，試證拋物線上不存在關(guān)于直線AB對稱的兩點(不考慮A、B的自身對稱)．

所以，(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)．

所以，x1+x2=-p．

因為p>0，所以x1+x2<0．這與已知x1+x2>0矛盾，故原命題正確.