第二十屆北京高中數(shù)學知識應用競賽初賽試題及參考解答

2016年12月

一、(滿分25分)超市里的商品都有一個識別的號碼，這個號碼用可由光學掃描儀讀出的條形來編碼，通常稱為條碼．例如下圖所示.圖中給出的識別號碼是0 8 9 6 0 0 1 2 4 5 6 9．這個號碼稱為通用產(chǎn)品碼(UPC)，廣泛用于商品編碼.在大多數(shù)情況下，分配給產(chǎn)品的號碼是一個12位數(shù)字，前11位的數(shù)字是商品項目代碼，最后1位是校驗碼．校驗碼用于檢驗前11位商品編碼的正確性．檢驗的原理是要保證同類商品的所有12位編碼數(shù)字的和(或加權和)被某個整數(shù)整除．

上述商品項目代碼為08960012456.所有數(shù)字和為0+8+9+6+0+0+1+2+4+5+6=43，若想讓UPC的每位數(shù)字和可以被10整除，就要選取校驗碼為7，于是得到該商品的UPC為0 8 9 6 0 0 1 2 4 5 6 7．顯然，在商品項目代碼中，無論哪一位單個數(shù)碼的改變都會改變整個編碼的整除性，從而被校驗碼告知“編碼有誤”．

但是最常見的商品項目代碼書寫錯誤是將其中的兩個相鄰數(shù)字寫顛倒，譬如將上述代碼寫成08960012465(末兩位數(shù)顛倒了)．但它的校驗碼也是7，校驗失效！因此簡單求和的方法很少被采用．

對上述問題，可以通過如下的加權求和的辦法修正校驗．設UPC加權求和的權數(shù)為(ω1,ω2,…,ω12)=(3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1)，可以算得商品項目代碼0 8 9 6 0 0 1 2 4 5 6的加權和為

3×0+8+3×9+6+3×0+0+3×1+2+3×4+5+3×6=8+27+3+6+2+12+5+18=81，于是在這個加權和的方式下，若想讓UPC的每位數(shù)字和被10整除，則校驗碼應為9，即81+9=90被10整除．因此，正確的UPC應是 0 8 9 6 0 0 1 2 4 5 6 9．

對于錯誤的編碼0 8 9 6 0 0 1 2 4 6 5 9，計算它的加權和為

3×0+8+3×9+6+3×0+0+3×1+2+3×4+6+3×5+9=8+27+3+6+2+12+6+15+9=88，

不能被10整除，表明該編碼有誤．校驗成功！

(1)某商品項目代碼為02100065897，請根據(jù)權數(shù)(3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1)計算它的校驗碼．

(2)根據(jù)權數(shù)(3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1)確定的校驗碼，對“相鄰數(shù)字寫顛倒”的錯誤檢驗絕對有效嗎？請給予說明．

解(1)設校驗碼為a12，0≤a12≤9，根據(jù)權數(shù)(3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1)，可以算得商品項目代碼0 2 1 0 0 0 6 5 8 9 7的加權和為

3×0+2+3×1+0+3×0+0+3×6+5+3×8+9+3×7=82，

若使得 82+a12≡ 0 (mod 10)，則校驗碼a12=8．

(2)我們注意到，形如

a1a2…aiai+1…a12，b1b2…bibi+1…b12=a1a2…ai+1ai…a12

的兩條編碼，差別僅在于第i和第i+1位數(shù)字對換了：bibi+1=ai+1ai．

根據(jù)權數(shù)(3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1)，UPC應滿足

3a1+a2+…+pai+qai+1+…+a12≡ 0 (mod 10)，

(1)

其中pai+qai+1=3ai+ai+1(或ai+3ai+1)．

如果對于編碼b1b2…b12，不能由校驗碼發(fā)現(xiàn)因僅有一對相鄰數(shù)字對換出現(xiàn)了錯誤，則同樣應滿足

3b1+b2+…+pbi+qbi+1+…+b12≡ 0 (mod 10)，

(2)

其中pbi+qbi+1=pai+1+qai=3ai+1+ai(或ai+1+3ai)．

將(1)(2)兩式做差，得±2(ai+1-ai) ≡ 0 (mod 10)，由于ai,ai+1都是一位數(shù)，并且ai≠ai+1，從而上式等價于ai+1-ai= ±5．綜上，兩個相鄰數(shù)字ai和ai+1(ai≠ai+1)的對換錯誤能被發(fā)現(xiàn)的充要條件是：|ai-ai+1|≠ 5．

由此可知，上面給出的利用加權和來確定校驗碼的方法，可以通過校驗碼檢驗出商品項目代碼中單個的數(shù)碼出錯；也可以在商品項目代碼中任意兩個相鄰的數(shù)碼的數(shù)字之差的絕對值不等于5時，通過校驗碼檢驗出是否存在一對相鄰的數(shù)碼出現(xiàn)了交換次序的錯誤．

二、(滿分25分)若已知肝癌的發(fā)病率是0.0004，并可以通過“甲胎蛋白”的檢驗方法篩查肝癌．統(tǒng)計表明：用此方法對肝癌病人檢驗時，其中百分之九十五的人呈陽性(+)；而用此方法對非肝癌患者檢驗時，百分之九十的人呈陰性(-).由此看來，這是一個不錯的方法．

如果有一個人，他的檢驗結果呈陽性(+)，那么他患肝癌的可能性有多大呢？可以通過如下計算得出：設總?cè)藬?shù)為N，用古典概率模型，可以認為：

患肝癌的人數(shù)為0.0004N，沒有患肝癌的人數(shù)為(1-0.0004)N；

患肝癌的人中，檢驗呈陽性(+)的人數(shù)是0.95×0.0004N；

沒有患肝癌的人中，檢驗呈陽性(+)的人數(shù)(1-0.90)×(1-0.0004)N；

從而檢驗結果呈陽性(+)的總?cè)藬?shù)為

0.95×0.0004N+(1-0.90)×(1-0.0004)N．

因此，如果一個人檢驗結果呈陽性(+)，此時，他確實患肝癌的可能性是

這個值不超過千分之四．請回答：

(1)看似不錯的“甲胎蛋白”的檢驗方法，為什么在用來確診肝癌時，可能性竟然會如此之低？是哪些因素影響了這個確診率？

(2)為了提高確診的可能性，你認為應該如何辦？

解(1)由于肝癌患者在總?cè)丝谥械谋壤^小，即只占萬分之四．大部分人不是肝癌患者，因此，即使在非肝癌患者中只有百分之十檢驗呈陽性(+)，他們也占了所有檢驗呈陽性(+)人的絕大部分，這就造成了檢驗呈陽性(+)的人中，真正肝癌患者不足千分之四．

從數(shù)學上看，如果把上面的萬分之四改為百分之二十，不難驗證，確診率會從0.0038提高到近似0.70．

如果改變檢驗方法，能夠使呈陽性(+)的百分比由百分之九十五增加到百分之九十九，把呈陰性(-)的百分比由百分之九十增加到百分之九十九，容易驗證，上述的確診率仍然不足千分之四．即使把上述兩個百分比都增加到百分之九十九點九，確診率也不到百分之三十．

這表明，影響檢驗確診率的一個重要因素是患者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?/p>

(2)雖然病人在總?cè)丝谥姓嫉谋壤?，對確診率的影響很大．但我們不可能去改變這個比例．它是客觀存在的．

一個可取的辦法是，重復檢驗！例如，在上面的問題中，一個非肝癌患者，檢驗呈陽性(+)的可能性是百分之十，兩次檢驗結果都呈陽性(+)的可能性，就只有百分之一了，這個可能性就很小了．從而表明，如果一個人做兩次檢驗，結果都呈陽性(+)，他極可能患癌癥．

和重復檢驗類似地是，給出不同的檢驗方法，用多種指標檢驗．如果好幾個指標都不正常，和重復檢驗一個道理，說明他極可能患?。?/p>

三、(滿分25分)2016年7月19日，河北邢臺市區(qū)突降暴雨，市區(qū)多處路段積水嚴重，此時一公交車行駛至某路段靠近橋下時發(fā)現(xiàn)積水嚴重，情況不妙，立即掉頭駛離危險路段．當時的情況如下圖所示．獲悉此事后，很多人都很驚訝，在這么窄的路上實現(xiàn)掉頭簡直不可思議！

在道路很窄的情況下，汽車掉頭需要慢慢的挪動，操作步驟是：①轉(zhuǎn)動方向盤到極限位置(俗稱“打死方向盤”)；②汽車前行至道路邊緣；③向相反方向轉(zhuǎn)動方向盤到極限位置；④倒車至道路邊緣．這樣就完成了一次操作．經(jīng)過有限次操作，最后一次的④是使汽車實現(xiàn)掉頭．

試回答下面的問題：

如果道路兩側(cè)只有邊界線，沒有圍擋，汽車方向與道路垂直(即汽車橫在了馬路上)，汽車兩后輪在道路的邊緣．求在第一次操作中，車輪不得離開路面，完成了①和②之后，車輛轉(zhuǎn)動的角度．

解在第一次操作中，完成了①和②，使左前輪至道路邊緣，如下圖所示．

設路寬為w，軸距為k，外前、后輪的轉(zhuǎn)彎半徑分別為R和r，另有s、t如圖所示．前輪最大扭轉(zhuǎn)角度為θ，完成了①和②的車輛轉(zhuǎn)動的角度是α．

若Rw．

又s2=R2-w2，r2=R2-k2，所以有

(※)

此式表示出，在第一次操作中，車輪不得離開路面，完成了①和②，車輛轉(zhuǎn)動的角度與汽車前輪最大扭轉(zhuǎn)角度、路面寬度和車輛長度的關系．根據(jù)(※)式便可求得車輛轉(zhuǎn)動角度．

圖1 魯列斯三角形

圖2

魯列斯三角形可以緊緊地嵌在一個正方形內(nèi)部，即正方形的各邊上都有魯列斯三角形邊緣上的點，如圖2．設魯列斯三角形的頂點A、B、C間距離為1cm，則正方形邊長也是1cm．魯列斯三角形三個頂點沿著正方形邊界行進一周的過程中，正三角形ABC的外心T也在運動．

(1)試建立直角坐標系，給出T(x,y)中x、y的取值范圍；

(2)求T的軌跡方程(軌跡可以看作是幾條曲線連接而成，軌跡方程也就需要用幾個來表示)．

解 (1)以正方形頂點為原點建立直角坐標系，如圖3所示．

圖3

由Rt△ACD可知a、c滿足條件 (1-c)2+a2=1，顯然，x≥c，y≤a，所以T滿足關系

得到

(1)

△ABC在由△A1B1C1轉(zhuǎn)動到△A2B2C2過程中，T(x,y)與動點C(c,0)，B(0,b)之間有x≤c，y≤b，且滿足

(2)

△ABC在由△A2B2C2轉(zhuǎn)動到△A3B3C3過程中，外心T(x,y)與動點A(a,1)，B(0,b)之間有x≤a，y≥b，且滿足

得到

(3)

△ABC在由△A3B3C3轉(zhuǎn)動到△B0C0A0過程中，T(x,y)與動點A(a,1)、C(1,c) 之間有x≥a，y≥c，滿足

綜上所述，外心的軌跡是四段曲線連接而成，它們的方程分別為