對一光線反射問題的再思考

朱勝強

(南京外國語學校 210008)

本刊2016年第9期《應用空間向量與三角函數解題的一個范例》(以下簡稱文[1])一文中介紹了物理教師給同學們提出的一個傳統(tǒng)光學問題:

一束太陽光與水平面成40°角的方向射來,要使反射光線沿水平方向射出,平面鏡與水平面成多少度角擺放?

這是一個很有趣味的問題.直觀感覺有兩種結果,也就是鏡面與水平面成70°角或20°角.卻不知不覺犯了與文[1]所指的同樣錯誤.原來學習光學讓我們產生了思維定勢,誤將問題限定在同一平面中考慮.其實,許多人都有這樣的生活體驗,當陽光射入室內時,用一面鏡子可將光線反射向每一個角落.因此,這一問題應在三維空間中進行思考.這就需要借助處理空間線面關系的數學模型.所以,該問題是體現數學與生活及其它學科間聯系,培養(yǎng)學生解決問題能力的好素材,有助于學生認識數學的應用價值.

文[1]給出了用空間向量與三角函數的解決問題的方法,得到了一般性的結論,拜讀后很受啟發(fā).然而,從應用于教學的角度來看,感到有進一步完善的必要.也就是解決問題的過程對學生來說稍顯復雜,數學基礎一般的學生,很可能會滿懷好奇地開始,未多久便被煩瑣的運算弄得暈頭轉向,最后可能無功而返,這可能不利于培養(yǎng)學生數學學習的積極情感.由此引發(fā)了筆者的思考,為使該問題的教學價值得以充分發(fā)揮,是否有較為簡潔、在教師引導下學生容易發(fā)現或容易接受的解決問題的方法呢?

1 對空間向量法的改進

以入射點O為坐標原點,水平面為xOy平面,過入射光線且與水平面垂直的平面為yOz平面,建立空間直角坐標系.設入射光線與以O為球心,1為半徑的球面的交點為A,反射光線與該球面的交點為B,z軸的正半軸與球面的交點為Z.

圖1

設入射光線與水平面所成的角為α(0°<α<90°),則點A的坐標為(0,cosα,sinα).因為反射光線在水平面內,所以設反射光線與x軸的正半軸所成的角為β(即從上向下看,將x軸正半軸按逆時針方向旋轉到與OB重合時轉過的最小正角,0°≤β<360°),則B點坐標為(cosβ,sinβ,0).

= (cosβ,cosα+ sinβ,sinα).

可以看出,鏡面與水平面所成的角不僅與α有關,還與β有關.

如果β= 90°,則反射光線與y軸的正半軸重合.此時

如果β= 270°,則反射光線與y軸的負半軸重合.此時

與文[1]相比,這里沒有去求鏡面法線的單位向量,而是直接由入射光線與反射光線方向上的單位向量的和得到鏡面法向量,從而簡化了運算.

2 直觀展示鏡面的變化規(guī)律

用空間向量雖然解決了問題,但依賴的是抽象的代數運算.當反射光線在水平面上改變方向時,鏡面相對于水平面位置發(fā)生著怎樣的變化,還是說不清楚.是否能較直觀地展現出來呢?

由上可知,鏡面過點O且與OM垂直.所以,只要弄清射線OM的方向是如何變化的,鏡面的變化規(guī)律也就清楚了.為此,考慮入射角α不變,B在xOy平面內的單位圓上變化時,點M的變化情況.

圖2

有了鏡面變化規(guī)律的直觀展示,我們又可在此基礎上再度考察鏡面與水平面所成的角.

圖3

設直線DC與圓C的交點為E,F.則當M位于E或F時,DM分別取得最大值與最小值.此時,∠DOM也相應地取得最大值與最小值.注意到OEOF(∠AOy的內角平分線與外角平分線垂直),∠COD= 90° -α,所以當M位于點E時,B位于y軸的正半軸;當點M位于點F時,點B位于y軸的負半軸.

如果反射光線OB與x軸的正半軸所成的角為β(0°≤β<360°),如何確定鏡面與水平面所成的角呢?(圖4)

圖4

∠DCM= 90° +β(或|270° -β|).

所以,DM2=DC2+CM2-

2DC·CMcos∠DCM

又因為ODDM,所以,

OM2=OD2+DM2

因此,一旦摸清了鏡面的變化特點,即使沒有掌握選修內容中的空間向量知識,也可以較為簡潔地解決這一問題.

3 從學生熟悉的模型出發(fā)思考

用單位球面襯托鏡面的變化,從某種層度上講是受向量方法的影響,也就是將向量的模特殊化,這類似于三角函數中借助單位圓思考問題.對于不熟悉空間向量的學生來說,也許會有一定的難度.在立體幾何初步教學中,長方體或直棱柱等幾何體是學生較為熟悉的空間模型,在這樣的幾何體中研究問題,學生往往更能找到“空間感覺”.因此,我們也可以嘗試用學生熟悉的模型來研究問題.

在入射光線上取一點A,使AO= 1,設A在水平面上的射影為H.在反射光線上取一點B,使BO= 1.以△OBH為底面,AH為側棱,作直三棱柱OBH-IJA(如圖5).

圖5

因為OA=OB= 1,所以△OAB為等腰三角形.取AB中點M,連結OM,則OM為∠AOB的平分線,因此OM是鏡面的垂線.又OI是水平面的垂線,所以,OI與OM所成的角∠IOM即為鏡面與水平面所成的角.取BH中點N,連結MN,可知∠OMN= ∠IOM.

設∠BOH=θ(0°<θ<180°).

由∠AOH=α(0°<α<90°),知AH=sinα,

又在△OBH中,OB= 1,OH= cosα,∠BOH=θ,

所以BH2= 1 + cos2α-2cosαcosθ.

所以AB2=AH2+BH2

= sin2α+ 1 + cos2α-2cosαcosθ

= 2-2cosαcosθ.

所以OM2=OB2-BM2

注意到此處的θ與前面的β間滿足關系cosθ= sinβ,因此所得結果與前面是一致的.

當代著名數學家P.R.哈爾莫斯曾指出:問題是數學的心臟.由此可見問題在數學教學中的重要性.美國著名的數學問題解決專家匈菲爾德還給出了“好問題”的五條審美原則,即一個好問題必須滿足:⑴是容易接受的(不需要大量技巧);⑵有多重解題方法(或者至少有多重思路);⑶蘊含了重要的數學思想(好的數學);⑷不故意設陷阱;⑸可以進一步開展和一般化(導致豐富的數學探究活動).因此,問題的“好”與“不好”不是只片面地取決于問題本身,還要看問題提供給誰思考,看教師對問題的認識程度.通過對文[1]中問題的再度研究可以體會到,教學中的“好問題”不盡是天然的,有時是在教師從學生的視角對它進行深入思考、發(fā)掘后,才充分顯現出它的教學價值.