思維主導(dǎo) 彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)本色
——基于“直線與圓的位置關(guān)系”的案例分析

倪科技

(江蘇省徐州市第一中學(xué) 221000)

近年來(lái)的課改在全國(guó)各地如火如荼地開(kāi)展，共同的特征是越發(fā)突出學(xué)生的主體地位，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，即學(xué)為中心．?dāng)?shù)學(xué)課堂在悄然發(fā)生變化，預(yù)習(xí)前置讓學(xué)生先學(xué)而后教，延伸課堂讓學(xué)生課后繼續(xù)探究，各種教學(xué)模式層出不窮．其中，有些做法似乎偏離了數(shù)學(xué)課堂的主旨．新授課不知不覺(jué)變成了習(xí)題課，復(fù)習(xí)課也儼然成了訓(xùn)練課，大量的變式題目排山倒海而來(lái)……這些現(xiàn)象需要我們冷靜下來(lái)分析，及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，以免曲解了課改的真正含義．

改革不斷前行，形式不斷變化，然而數(shù)學(xué)課堂始終應(yīng)是思維主導(dǎo)的課堂．筆者從“直線與圓的位置關(guān)系”復(fù)習(xí)課中進(jìn)一步體會(huì)到“為思維而教”的真正含義和做法，如鯁在喉不吐不快，特梳理成文，就教于同行．

1 教學(xué)實(shí)錄與說(shuō)明

觀摩課的課題是復(fù)習(xí)課“直線與圓的位置關(guān)系”，上課教師使用了“導(dǎo)學(xué)案”將預(yù)復(fù)習(xí)前置．課堂上，氣氛活躍，效果極佳，學(xué)生的自主活動(dòng)與交流占據(jù)了課堂較多的時(shí)間．下面針對(duì)這節(jié)課的兩個(gè)教學(xué)片斷加以分析和反思：

1.1 教學(xué)片斷1

在梳理完基本內(nèi)容后，教師用實(shí)物投影儀投出學(xué)生的導(dǎo)學(xué)案：

師：課前請(qǐng)同學(xué)們推薦了2道有關(guān)直線與圓的試題，現(xiàn)在請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)你所推薦的題，與其他同學(xué)分享，并請(qǐng)說(shuō)出推薦理由．

投影1：與圓x2+(y-2)2=1相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有________條．

師：(將學(xué)生推薦的題及解答用實(shí)物投影呈現(xiàn))請(qǐng)推薦這題的同學(xué)說(shuō)說(shuō)推薦理由．

生1：我覺(jué)得直線與圓的問(wèn)題，相切是重點(diǎn)考查內(nèi)容，所以推薦了一個(gè)相切的題，“截距”主要是考慮容易漏解．

師：(幾何畫(huà)板演示)很好，不僅有重點(diǎn)考查內(nèi)容，還包含了直線截距式方程的局限性．

生2：這是直線與圓相交的問(wèn)題，也是?？嫉膬?nèi)容．弦長(zhǎng)問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離來(lái)解決．

師：(幾何畫(huà)板演示)很好！相交也是直線與圓的一種重要位置關(guān)系，是考查的熱點(diǎn)．

投影3：已知P(x,y)為圓x2+y2-4x+3=0上任一點(diǎn)，則：

師：(幾何畫(huà)板演示)也就是“線性規(guī)劃”類(lèi)的題目．這里體現(xiàn)了直線與圓的什么位置關(guān)系嗎？

生3：因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以直線OP應(yīng)與圓相交或相切，第2問(wèn)的平行線也應(yīng)該與圓相交或相切．

師：很好！你推薦了一道直線與圓的動(dòng)態(tài)位置關(guān)系的題目，包含了相切與相交．

設(shè)計(jì)意圖因?yàn)槭菑?fù)習(xí)課，學(xué)生已掌握“直線和圓的方程”相關(guān)知識(shí)和方法，課前布置學(xué)生推薦好題，旨在提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)興趣，也能更快地培養(yǎng)學(xué)生歸納、分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．讓學(xué)生展示自己的好題并說(shuō)出推薦理由，讓其主人翁意識(shí)進(jìn)一步增強(qiáng)，既能培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力、邏輯思維能力及其創(chuàng)造力、判斷力，還能全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生真正成為課堂的主人，凸顯思維教學(xué)的深層次．

本環(huán)節(jié)是在梳理完所要復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容后的學(xué)生活動(dòng)．課前學(xué)生篩選問(wèn)題，精選2道書(shū)寫(xiě)在導(dǎo)學(xué)案上，并解答好，教師再?gòu)闹刑暨x出3道題，也是重點(diǎn)、?？嫉膬?nèi)容與方法，在課堂上通過(guò)實(shí)物投影將題目和解答過(guò)程呈現(xiàn)給大家看，選題的學(xué)生要說(shuō)出自己推薦的理由，教師則利用制作好的幾何畫(huà)板課件動(dòng)態(tài)演示，給題目以直觀的呈現(xiàn)，也可以讓學(xué)生的思維躍上新的高度．之后的課堂活動(dòng)是師生對(duì)導(dǎo)學(xué)案上的兩道典型例題的處理，此處略．

1.2 教學(xué)片斷2

在兩道典型例題解決后，教師用多媒體給出了如下問(wèn)題：

例(1)自直線x-y+4=0上的點(diǎn)P(2,6)作圓C:x2+y2=4的切線，求切線的方程，并求出切線長(zhǎng)．

(2)自直線x-y+4=0上任意一點(diǎn)P(x,y)作圓C:x2+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，以此為條件，你認(rèn)為有哪些問(wèn)題可以研究？請(qǐng)你把問(wèn)題編寫(xiě)完整，并嘗試解答．

(學(xué)生獨(dú)立思考，后小組討論，準(zhǔn)備交流展示)

生1：求切線PA長(zhǎng)的最小值．

師：切線長(zhǎng)，剛才涉及到的量，現(xiàn)在可以求它的最值．為什么是最小值呢？

生1：因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P足夠遠(yuǎn)的時(shí)候，PA就無(wú)限長(zhǎng)了，沒(méi)有最大值，只有最小值．

師：很好，一個(gè)直觀形象的感覺(jué)．

生2：求四邊形PAOB的面積的最值．

師：好，隨著點(diǎn)P的移動(dòng)，四邊形PAOB也在變，可以求其面積的最值．最什么值呢？

生2：我還沒(méi)算出來(lái)．

師：好，暫時(shí)先寫(xiě)著“求最值”(教師板書(shū))．

生3：求AB中點(diǎn)的軌跡．

師：哦，兩切點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，可以求切點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)軌跡，很好．那關(guān)注到切點(diǎn)弦，還可以求什么？

生3：求弦長(zhǎng)．

師：好，可以求弦長(zhǎng)．那就需要弦所在直線的方程，直線AB的方程可以求嗎？

生3：應(yīng)該可以．

生4：求∠APB的最值，應(yīng)該是最大值．

師：直觀上感覺(jué)∠APB有最大值．那現(xiàn)在我們可以研究切線長(zhǎng)，也可以研究?jī)汕芯€的夾角．有長(zhǎng)度、有角度，那還可以研究什么呢？

生5：求△PAB的外接圓的方程．

師：能看出這個(gè)圓的圓心在什么位置嗎？

生5：在線段OP的中點(diǎn)，因?yàn)锳P⊥AO，BP⊥BO．

師：也就是說(shuō)，P、A、O、B，這四點(diǎn)是共圓的．那我們就可以研究四邊形PAOB的外接圓了．因?yàn)辄c(diǎn)P的移動(dòng)，所以這個(gè)外接圓也在動(dòng)．關(guān)注這個(gè)動(dòng)圓，我們還可以研究什么？

生5：動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)．

師：很好！在我們的經(jīng)驗(yàn)中，如果圓的方程中有一個(gè)參量，那就可以求它所過(guò)的定點(diǎn)．這里，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，所以可以用一個(gè)參量(比如x)來(lái)表示，也就可以用它來(lái)表示圓的方程．

師：時(shí)間有限，我們不可能把大家編寫(xiě)的問(wèn)題都羅列出來(lái)解決，就讓我們先來(lái)解決這幾個(gè)問(wèn)題吧．(接著，教師帶領(lǐng)學(xué)生一同分析解決上述問(wèn)題)

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)從學(xué)生易于解決的問(wèn)題入手，在解決之后，并未像前兩題一樣稍作總結(jié)就結(jié)束了，而是將問(wèn)題一般化，把特殊點(diǎn)變?yōu)槿我恻c(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用類(lèi)比的方法思考直線和圓方程中的類(lèi)似問(wèn)題，在動(dòng)手實(shí)踐的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)并提出新問(wèn)題，從而嘗試對(duì)新問(wèn)題進(jìn)行描述和動(dòng)手探究，意在使學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的方法．

這是本節(jié)復(fù)習(xí)課的最后一道例題，處理完問(wèn)(1)距下課還有十多分鐘的時(shí)間，之后對(duì)問(wèn)(2)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、展示、交流．學(xué)生自主提出5個(gè)問(wèn)題，在教師的引導(dǎo)下，又有4個(gè)新問(wèn)題被提出．在解決的過(guò)程中，教師又引領(lǐng)學(xué)生深入研究．前兩個(gè)問(wèn)題解決后，發(fā)現(xiàn)最值取得時(shí)，四邊形PAOB恰是正方形，順勢(shì)教師提出可以研究四邊形PAOB何時(shí)為正方形；∠APB的最大值求出是90°時(shí)，教師又提出若∠APB=60°，那么點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍如何等等，問(wèn)題不斷衍生，探究永不停止，從而讓思維的教學(xué)更具穿透力、延展力．

2 教學(xué)回眸與感悟

回眸這節(jié)課的兩個(gè)教學(xué)片斷，均構(gòu)出了一番精彩的學(xué)生活動(dòng)，體現(xiàn)了思維教學(xué)的魅力．雖然是解析幾何中直線與圓的復(fù)習(xí)課，但給我們的感覺(jué)是更加以思維為主，為使學(xué)生的思維能再上新臺(tái)階，洞悉此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)，設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程借助一定的教學(xué)環(huán)境進(jìn)行自我建構(gòu)、自我成長(zhǎng)和自我發(fā)展，通過(guò)“師生互動(dòng)”、“反思交流”等多種學(xué)習(xí)方式，突出了學(xué)生的主動(dòng)性、參與性和交流性，從而使學(xué)生的主體性得到充分的發(fā)揮，思維教學(xué)的活動(dòng)自然可以達(dá)到好的效果．讓人聽(tīng)來(lái)受益匪淺，想來(lái)感受頗多．

2.1 先學(xué)后教，奠基思維教學(xué)的高起點(diǎn)

教學(xué)的有效性在于對(duì)學(xué)生思維所產(chǎn)生的影響，發(fā)展學(xué)生的思維能力是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)．如果能在課前通過(guò)學(xué)生的先學(xué)，奠定較高的思維起點(diǎn)，教學(xué)過(guò)程中，教師即可以重視學(xué)生的思維視角，順著學(xué)生的思路展開(kāi)，其參與探究學(xué)習(xí)的積極性會(huì)更高，學(xué)生主體意識(shí)發(fā)揮的會(huì)更好．先學(xué)后教，以學(xué)定教，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，然而也需要把握好度才能收放自如，不能讓自主學(xué)習(xí)變成對(duì)學(xué)生的放任自流．學(xué)生課前先沿著“導(dǎo)學(xué)案”的過(guò)程走了一遍，重在梳理基本知識(shí)點(diǎn)與解決基本問(wèn)題，自主先學(xué)，反思糾錯(cuò)，目的則是為了讓課堂思維教學(xué)奠定好的思維起點(diǎn)．課堂上教師再利用實(shí)物投影展示學(xué)生的導(dǎo)學(xué)案，對(duì)思路的分析、過(guò)程的書(shū)寫(xiě)、規(guī)范的細(xì)節(jié)等方面都進(jìn)行了針對(duì)性的點(diǎn)評(píng)．教學(xué)片斷2中，學(xué)生課前做了一定的習(xí)題，有了一定的思維基礎(chǔ)，雖自主找題，但還不能盲目找題，得有推薦給大家值得一做的理由，為思維的進(jìn)一步發(fā)展提供了空間．從學(xué)生的回答上看，選題的基本原則是重點(diǎn)的、熱點(diǎn)的?？純?nèi)容．這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，課前還是比較容易做到的．學(xué)生學(xué)的有度，教師教的有方，如此，優(yōu)化了課堂結(jié)構(gòu)，節(jié)省了課堂用時(shí)，使得學(xué)生可以將思維解放出來(lái)，在課堂上更好的實(shí)施更深入的探究，也是激發(fā)學(xué)生思維活動(dòng)的有效途徑．

2.2 交流展示，讓思維教學(xué)在互動(dòng)碰撞中展開(kāi)

數(shù)學(xué)是思維的體操，離開(kāi)了思維便不再是數(shù)學(xué)．思維的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主體內(nèi)容．雖然是解析幾何的復(fù)習(xí)，但教師并沒(méi)有將重點(diǎn)放在運(yùn)算上面，而是精心設(shè)計(jì)了學(xué)生的思考、討論、交流、展示等思維活動(dòng)．教師的開(kāi)放性問(wèn)題的提出，使得學(xué)生的思維發(fā)散開(kāi)來(lái)，學(xué)生要努力去尋找經(jīng)驗(yàn)中的一點(diǎn)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的念頭，構(gòu)造新的問(wèn)題，這是一次思維的有效提升．教師設(shè)置的“推薦理由”引領(lǐng)學(xué)生從題目中走出來(lái)．雖然學(xué)生選的題多是成題，但要?dú)w納出問(wèn)題的類(lèi)型，回扣核心知識(shí)點(diǎn)，還是不容易的，需要學(xué)生豐富的思維活動(dòng)．

如何在教學(xué)過(guò)程中凸顯思維教學(xué)的有效性？學(xué)生學(xué)習(xí)的效果和質(zhì)量與學(xué)習(xí)方式方法密切相關(guān)，課改的今天，“師生互動(dòng)”、“生生互動(dòng)”、“生本互動(dòng)”、“獨(dú)立思考”、“小組討論”、“展示交流”等都是數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的常見(jiàn)方式，而“小組討論、交流展示”的學(xué)習(xí)方式充分利用了同學(xué)之間年齡相仿、心理相近、志趣相投、相互啟迪等有利因素，讓思維的教學(xué)在學(xué)生交流碰撞中得以充分發(fā)展，讓部分學(xué)生的思維火花衍生為全班學(xué)生的智慧之光．用思維來(lái)主導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂，才是數(shù)學(xué)的課堂，才能有效促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)階，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)本來(lái)的教育目的．

2.3 自主提問(wèn)，促思維教學(xué)在反思中持續(xù)發(fā)展

數(shù)學(xué)解題有五種境界：正確解題、一題多解、多題一解、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、自己編題．我們的教學(xué)大多數(shù)時(shí)間都在前三種境界里徘徊．而為了這三種境界，學(xué)生要付出大量的時(shí)間與精力，從而難得能有時(shí)間去深入探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更談不上欣賞把玩、動(dòng)手編題．但“紙上得來(lái)終覺(jué)淺”，學(xué)生的一次動(dòng)手實(shí)踐比解百題還要有收獲，因?yàn)樗枰S時(shí)調(diào)動(dòng)知識(shí)與方法，是對(duì)知識(shí)掌握嫻熟的重要表現(xiàn)．課前教師設(shè)計(jì)讓學(xué)生選題，學(xué)生是在限制下的自主，他需要對(duì)所選題目有較為深刻的理解，重點(diǎn)考查什么，解決關(guān)鍵是什么，解后有什么啟示等等．如此，勢(shì)必“逼”著學(xué)生深入學(xué)習(xí)，深入理解，深入體悟．

反思是人類(lèi)學(xué)習(xí)的一種高級(jí)形式，是自我提升的有效辦法．學(xué)生思維發(fā)展的一個(gè)重要標(biāo)志是能夠自主提出有效的問(wèn)題．課堂上，學(xué)生要在所給的條件下編寫(xiě)新的問(wèn)題，便要調(diào)動(dòng)他的一切經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知，因此有可能打破他們?cè)械闹R(shí)結(jié)構(gòu)并重構(gòu)，甚至要對(duì)經(jīng)驗(yàn)中相關(guān)性弱的知識(shí)進(jìn)行重組，難度稍大，但定會(huì)促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步提升．當(dāng)然學(xué)生所能提出的問(wèn)題和他的經(jīng)驗(yàn)(做過(guò)的類(lèi)型題)息息相關(guān)．當(dāng)學(xué)生提出的問(wèn)題淺顯時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從其他的角度再想一想，引領(lǐng)學(xué)生站在更高的角度上看問(wèn)題，教會(huì)了學(xué)生編題、變題，提升了學(xué)生對(duì)知識(shí)與方法的理解能力，這或許會(huì)超出原有的經(jīng)驗(yàn)而形成新的經(jīng)驗(yàn)，用于指導(dǎo)后續(xù)的學(xué)習(xí)．提出問(wèn)題比解決問(wèn)題要難得多，但也唯有經(jīng)歷痛苦的蛻變，才能騰飛于無(wú)邊的天際，唯有反思幫助自己提升數(shù)學(xué)思維的深度，才能自主搭建探究活動(dòng)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，利于數(shù)學(xué)思維能力和探究能力的持續(xù)發(fā)展．

3 結(jié)語(yǔ)

即將到來(lái)的更深層次的課程改革提出在我們的教育教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)重視對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)可從三個(gè)維度來(lái)闡釋?zhuān)河脭?shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界．我們深信，在教育教學(xué)的過(guò)程中更多的需要“授人以漁”，而不僅僅“授人以魚(yú)”，這是每一個(gè)教育工作者的追求．我們應(yīng)站在更高的層次上看待數(shù)學(xué)教育，發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的看、想、說(shuō)，讓思維真正主導(dǎo)課堂，才能彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)的本色．當(dāng)教育教學(xué)真正成為教師個(gè)體充滿智慧的活動(dòng)，我們也會(huì)更加重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生大膽的求同、求異、求變思維，才會(huì)欣喜地企盼“雪融化之后是——春”的精彩的課堂．