雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下匯率連動期權(quán)定價

劉淑琴，薛 紅

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710048)

雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下匯率連動期權(quán)定價

劉淑琴，薛 紅

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710048)

假定股價和匯率分別滿足雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程，期望收益率、無風(fēng)險利率和波動率均為常數(shù)，建立雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下金融市場數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用保險精算方法，得到了雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下匯率連動期權(quán)定價公式.

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動；跳-擴(kuò)散過程；保險精算；匯率連動期權(quán)

0 引言

近年來，不少學(xué)者對匯率連動期權(quán)進(jìn)行了研究，其定價不僅依賴于外國股票的價格，而且依賴匯率的變化.作為進(jìn)行全球投資的一種金融期權(quán)形式，匯率連動期權(quán)定價越來越引起金融領(lǐng)域的重視.文獻(xiàn)[1]在布朗運(yùn)動環(huán)境下基于無套利、均衡、完備的假設(shè)，利用復(fù)制的思想得到了匯率連動期權(quán)的平價公式，但當(dāng)市場是有套利、非均衡、不完備時，傳統(tǒng)的期權(quán)定價方法將無法使用；文獻(xiàn)[2-3]在布朗運(yùn)動環(huán)境下利用保險精算方法分別給出了匯率連動期權(quán)定價式和跳躍過程下的匯率連動期權(quán)的定價公式；文獻(xiàn)[4]設(shè)計了一種重設(shè)型熊市匯率連動股票賣權(quán)，用鞅定價方法給出其定價公式；文獻(xiàn)[5]通過所謂的平方根匯率連動遠(yuǎn)期契約，利用鞅定價方法給出匯率連動遠(yuǎn)期契約定價公式；文獻(xiàn)[6]在布朗運(yùn)動環(huán)境下用鞅方法討論了匯率連動期權(quán)定價；文獻(xiàn)[7]在單因素HJM結(jié)構(gòu)下利用等價鞅測度討論了兩種匯率連動期權(quán)，得到了兩種看漲期權(quán)價格的精確解；文獻(xiàn)[8]在市場滿足無套利和風(fēng)險中性的條件下，外國股票和匯率遵循布朗運(yùn)動，研究了歐式冪型期權(quán)的鞅定價問題；文獻(xiàn)[9]在幾何布朗運(yùn)動假設(shè)條件下，利用鞅定價方法求出匯率連動股票期權(quán)的到期收益，并將它的定價公式設(shè)計成冪函數(shù)的形式；文獻(xiàn)[10]在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下利用偏微分方程方法討論了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的匯率連動期權(quán)定價；文獻(xiàn)[11]提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的一種推廣，可以描述比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動更一般的金融現(xiàn)象；文獻(xiàn)[12]研究了雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下歐式期權(quán)的定價問題.保險精算方法[13]在期權(quán)定價中最為常用，適用于任何金融市場.本文在股價滿足雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下，利用保險精算方法推導(dǎo)出雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散下匯率連動期權(quán)定價.

1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下金融市場模型

假設(shè)股票價格{St,t≥0}，匯率動態(tài)價格{Xt,t≥0}分別滿足方程

(1)

(2)

引理1[12]隨機(jī)微分方程(1)，(2)的解分別為

(3)

(4)

定義2[12]股票價格過程{St,t≥0}在[t,T]的期望回報率βu，u∈[t,T]定義為

引理2[12]在概率空間P下，{St,t≥0}在[0,T]上的期望收益率為

同理,{Xt,t≥0}在[0,T]上的期望收益率為

引理3[14]設(shè)隨機(jī)變量ξ1～N(0,1)，ξ2～N(0,1)，Cov(ξ1,ξ2)=ρ，則對任意實(shí)數(shù)a,b,c,d,k,有

2 匯率連動期權(quán)定價

2.1 第一種匯率連動期權(quán)

第一種匯率連動期權(quán)的損益η1=(STXT-k)+,其中T為到期日，k(本國貨幣)為執(zhí)行價格.用C10(k,T)表示到期日為T,執(zhí)行價格為k(本國貨幣)的歐式看漲匯率連動期權(quán)在零時刻的保險精算價格為

C10(k,T)=E{[exp(-μ2T)XTexp(-μ1T)ST-kexp(-rdT)]IA}.

其中A={exp(-μ2T)XTexp(-μ1T)ST>kexp(-rdT)}.

定理1具有損益η1=(STXT-k)+的匯率連動期權(quán)在到期日為T,執(zhí)行價格為k(本國貨幣)的歐式看漲匯率連動期權(quán)在零時刻的保險精算價格

其中

N(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù).

證明首先，A={exp(-μ2T)XTexp(-μ1T)ST>kexp(-rdT)}.令

則A={ξ>d}.從而

C10(k,T)=C11-C12,

那么

從而得到第一種匯率連動看漲期權(quán)定價公式

同理可求得匯率連動看跌期權(quán)在零時刻的定價公式.

2.2 第二種匯率連動期權(quán)

第二種匯率連動期權(quán)的損益η2=XT(ST-k)+，其中T為到期日，k(國外貨幣)為執(zhí)行價格.用C20(k,T)表示到期日為T，執(zhí)行價格為k的歐式看漲匯率連動期權(quán)在零時刻的保險精算價格：

C20(k,T)=E[XTe-μ2T(STe-μ1T-ke-rfT)IB],

其中B={STe-μ1T>ke-rfT}.

定理2具有損益η2=XT(ST-k)+的匯率連動期權(quán)在到期日為T，執(zhí)行價格為k的看漲期權(quán)價格

其中

證明首先，B={STe-μ1T>ke-rfT}.令

先求

(5)

利用引理3，式(5)化簡為

那么

同理，

因此，

同理可求得第二種匯率連動看跌期權(quán)在零時刻的定價公式.

2) 當(dāng)K=1時，可得分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下匯率連動期權(quán)定價公式.

3 小結(jié)

當(dāng)前匯率連動期權(quán)漸漸吸引了國內(nèi)外許多投資人的眼球，其定價也越來越引起人們的重視.有越來越多的證券投資商以及各種商業(yè)銀行發(fā)行了此種期權(quán)，但由于股價以及匯率的變動都是隨機(jī)的過程，對其定價相對來說有一定的難度，因此本文利用保險精算進(jìn)行貼現(xiàn)定價方法定價了此種期權(quán)，不論金融市場處于以上何種情況，本文給出的匯率連動期權(quán)公式都能使用.

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TheQuantoOptionPricingModelinBi-fractionalJump-diffusionProcess

LIU Shuqin， XUE Hong

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Assume that the stock price and exchange rate satisfies the bi-fractional jump-diffusion process, the expected return rate, risk-less interest rate and the volatility rate are constants. The financial market mathematical model is built by the stochastic analysis for bi-fractional jump-diffusion process. Using the actuarial approach, the pricing formula of Quanto option is obtained.

bi-fractional Brownian motion; jump-diffusion process; actuarial mathematics; Quanto option

2017-02-17

陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃項(xiàng)目(2016JM1031)；西安工程大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(CX201712).

薛 紅(1964-)，男，教授，博士，主要從事隨機(jī)分析及金融工程等研究.E-mail:xuehonghong@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.06.016

F830；O211MSC201091G20

A

1674-232X(2017)06-0659-06