數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中巧解不等式的幾種方法

◎徐雨欣

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中巧解不等式的幾種方法

◎徐雨欣

針對高中數(shù)學(xué)課程而言，不等式求解是學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，常見于高考數(shù)學(xué)考試當(dāng)中。學(xué)生在實(shí)際問題解決時不僅要保證問題解決的準(zhǔn)確性，同時還應(yīng)當(dāng)確保問題解決速度的提升。這就需要切實(shí)掌握多種不等式解題方法，實(shí)現(xiàn)靈活的問題解決。本文簡要就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的不等式解題方法進(jìn)行分析，并列舉實(shí)例進(jìn)行探討該解題策略的應(yīng)用，以期為廣大高中學(xué)生實(shí)現(xiàn)不等式解題水平的提升提供參考。

高考在就不等式知識進(jìn)行考察時所能利用的考察方式較多，對于學(xué)生的知識利用靈活度的要求較高。學(xué)生在實(shí)際問題解決時，應(yīng)當(dāng)切實(shí)掌握多種問題解決方法，將數(shù)學(xué)思想用作解題工具運(yùn)用于實(shí)際問題解決當(dāng)中，快速準(zhǔn)確找到問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)。避免在不等式選擇題、填空題等簡單且分值較低的解題時出現(xiàn)不必要的失誤，以提高數(shù)學(xué)考試成績。

利用特殊值進(jìn)行不等式問題驗(yàn)證

不等式知識在實(shí)際考察中的考察形式較為多變，除了計(jì)算類大題之外，其還可能通過選擇題、填空題等形式出現(xiàn)。在這種情況下，學(xué)生應(yīng)當(dāng)保證問題解決速度，其可通過特值驗(yàn)證法進(jìn)行問題解決，節(jié)省時間與精力。該解題方式主要是指，在原問題的多個備選答案中選擇一個，并將其代入到原本問題的題設(shè)條件當(dāng)中進(jìn)行逐個檢驗(yàn)，從而確定該問題唯一或者多個正確的選項(xiàng)，避免了繁復(fù)的問題計(jì)算與問題分析，實(shí)現(xiàn)解題效率的提升。

例1：若存在x≥0，則不等式(5－a)x2－6x＋a＋5＞0始終成立，試求出不等式中的實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )

A．(－∞，4)

B．(－4,4)

C．[10，＋∞)

D．(1,10]

學(xué)生在就該問題進(jìn)行解決時，就可利用特殊值檢驗(yàn)法來得出問題答案。由于該題中主要是給出了多個區(qū)間，所以學(xué)生可在選擇各個區(qū)間中不共有的數(shù)值代入到不等式當(dāng)中，判斷其在滿足x≥0的情況下，不等式是否恒成立。即當(dāng)a＝10，則不等式為－5x2－6x＋15＞0， 所 以5x2＋6x－15＜0，若要求x≥0，則該不等式并不能恒成立，所以答案C，D錯誤。而當(dāng)a＝0時，不等式可表示為5x2－6x＋5＞0，若要求x≥0，則該不等式恒成立，所以答案A錯誤，B正確。

利用分類討論的方法進(jìn)行問題解決◎

含參不等式是常見的不等式問題題型，學(xué)生在就該類型問題進(jìn)行解決時，為實(shí)現(xiàn)問題解決的全面性與準(zhǔn)確性，可首先將不等式的參數(shù)進(jìn)行分類討論，從而實(shí)現(xiàn)問題解決。而分類討論問題解決的關(guān)鍵在于正確的選擇分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，常見的討論標(biāo)準(zhǔn)包括指數(shù)底數(shù)、函數(shù)開口方向以及該函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個數(shù)等多方面。

例2：:當(dāng)存在log2a1+a211+a＜0時，試求出未知數(shù)a的取值范圍（）。

A.（112，+ ∞）

B.（1，+ ∞）

C.（112，1）

D.（0，112 ）

學(xué)生在就該問題進(jìn)行解決時可以明確該題型屬于典型的含參不等式，可利用分類討論的方式快速的進(jìn)行問題解決。這里可選擇函數(shù)的指數(shù)底數(shù)進(jìn)行問題討論。即若 0＜2a＜1，則 log2a1+a211+a＜0，即 0＞1+a211+a＞1時， 不 存 在 這 一 種 情況。而若 2a＞1，則 log2a1+a211+a＜0，即0＜1+a211+a＜1時，最終得出a＞112，所以選擇A。

利用換元思想進(jìn)行問題解決◎

該問題解決方式的應(yīng)用主要是指學(xué)生在問題解決時利用一個或多個變量來就原量進(jìn)行替換后進(jìn)行不等式求解，最后再返回原變量進(jìn)行答案轉(zhuǎn)化的解題方式，將問題的未知量轉(zhuǎn)化成已知已知量。

例3：:若a，b∈R，且a2+2b2=6，試求出未知數(shù)a+b的最小值為（）.

A.-22

B.-5313

C.-3

D. -712

學(xué)生在就該問題進(jìn)行解決時，可使a=6sinα，b=3cosα， 所 以 a+b=3sin（α+φ），而這里的tanφ=212，因此a+b的最小值為-3。

數(shù)形結(jié)合思想◎

數(shù)形結(jié)合思想是不等式問題解決中最常用到的問題解決方法之一，該方法在實(shí)際應(yīng)用中主要是指，若問題中需要求解的不等式本身就含有鮮明的幾何意義特征或者該不等式是函數(shù)所構(gòu)成的，則學(xué)生在進(jìn)行該類型問題解決時可首先畫出相對應(yīng)的圖像來就該不等式進(jìn)行直觀呈現(xiàn)。將抽象的問題具體化后，再根據(jù)該圖像進(jìn)行問題分析，最終求出不等式問題的解。

例4：現(xiàn)有a＞0，并且有關(guān)于x,y不等式為x≥2x+y≤4y≥a(x-4)，已知目標(biāo)函數(shù)可表示為z=2x+y，（函數(shù)最小值為2），計(jì)算a的取值范圍。學(xué)生在進(jìn)行該問題解決時會發(fā)現(xiàn)該題目本身就含有函數(shù)，但是由于未知數(shù)數(shù)量過多，所以學(xué)生往往難以直接根據(jù)已知條件就函數(shù)所表達(dá)的直線進(jìn)行繪出。但是題中已有該目標(biāo)函數(shù)的最小值為2的條件，所以學(xué)生在進(jìn)行函數(shù)圖像繪制時應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)變解題思維。首先在平面直角坐標(biāo)系中畫出已知條件的圖像，但這過程中應(yīng)當(dāng)注意，要通過虛線、實(shí)線等不同的表達(dá)方式來就“≥、＞”等符號進(jìn)行標(biāo)出。根據(jù)已知條件a＞0可知，所表示的直線y≥a（x-4）過直角坐標(biāo)系的第一、三象限。且若目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A（2，-2a），則該函數(shù)呈現(xiàn)為最小值。學(xué)生把該點(diǎn)坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù)中，便能計(jì)算得到a=1。

不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵知識，不僅需要學(xué)生掌握該部分基礎(chǔ)知識，同時還要求學(xué)生在面對實(shí)際問題時能應(yīng)用所學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想快速準(zhǔn)確的進(jìn)行問題解決。在提高解題方法掌握能力提升的同時，不斷進(jìn)行不等式問題解決經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，方便在實(shí)際考試中更快更好地進(jìn)行相關(guān)問題解決。

（作者單位：湖南省長沙市第一中學(xué)）