思維導(dǎo)圖在解析幾何解題中的應(yīng)用

江蘇省蘇州市吳中區(qū)甪直高級(jí)中學(xué) 姜愛美 馮中芹

思維導(dǎo)圖在解析幾何解題中的應(yīng)用

江蘇省蘇州市吳中區(qū)甪直高級(jí)中學(xué) 姜愛美 馮中芹

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的課程基本理念是倡導(dǎo)學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為“再創(chuàng)造”的過程。同時(shí)，新課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)立了許多學(xué)習(xí)活動(dòng)，為學(xué)生形成多樣性的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造了有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，通過自學(xué)學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)。

解析幾何是近幾年高考的重點(diǎn)，但解析幾何的概念和解題方法理解起來比較困難，學(xué)生對(duì)解析幾何的認(rèn)識(shí)不深入，對(duì)解析幾何的應(yīng)用掌握不理想，使得學(xué)生對(duì)解析幾何的解答產(chǎn)生了畏懼心理，怕下筆，很難得到分。利用思維導(dǎo)圖學(xué)習(xí)既有利于學(xué)生理清知識(shí)層次,也能顯示出解題的思維過程。思維導(dǎo)圖是一種簡(jiǎn)單有效的用圖形來表達(dá)思維、知識(shí)的表征工具, 它最大的優(yōu)點(diǎn)是采用結(jié)構(gòu)化的放射性思考模式，充分發(fā)揮左右腦的天賦，符合大腦的運(yùn)作方式。因此，思維導(dǎo)圖被譽(yù)為強(qiáng)力學(xué)習(xí)、記憶和思維訓(xùn)練的方法，能大幅提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率以及掌握新知識(shí)的能力。

一、思維導(dǎo)圖在解析幾何解題反思中的應(yīng)用

解題反思是解析幾何中一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)。根據(jù)思維導(dǎo)圖的發(fā)散性特點(diǎn)，我們可以探索解題思路和進(jìn)行解題后的反思。通過思維導(dǎo)圖，能使學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用更熟練、更深刻，并學(xué)會(huì)一些解決問題的方法和技巧，積累一些解題經(jīng)驗(yàn)。

在做題后，指導(dǎo)學(xué)生反思題中所涉及的知識(shí)，包括概念、公式、定理。這樣做既可以讓學(xué)生復(fù)習(xí)到一些基本概念，并且能讓學(xué)生找出沒有掌握的概念，達(dá)到進(jìn)一步學(xué)習(xí)薄弱知識(shí)的目的。反思解題思想，用思維導(dǎo)圖畫出來，可以使抽象的思維直觀化。反思題目應(yīng)當(dāng)注意的地方，讓學(xué)生再遇到此類題目時(shí)不犯相同的錯(cuò)誤。

例1 已知曲線C：y2=4x，過點(diǎn)P(0,2)的直線l與曲線C交于A，B 兩點(diǎn)，且直線l與x軸交于點(diǎn)E 。試問否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由。

在解題后，通過思維導(dǎo)圖進(jìn)行解題反思，反思自己的解題思路，總結(jié)解題規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)自己在解題中顯露出的知識(shí)能力的缺陷，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的歸納、整理、應(yīng)用知識(shí)的能力。反思問題涉及了哪些數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法是如何運(yùn)用的，運(yùn)用的過程中有什么特點(diǎn)，是否在其他情況下運(yùn)用過，運(yùn)用時(shí)有什么區(qū)別、聯(lián)系，總結(jié)出規(guī)律，歸納出解決問題的一般方法來。

二、思維導(dǎo)圖在解析幾何解題變式中的應(yīng)用

所謂“變式”，就是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對(duì)象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性。利用思維導(dǎo)圖指導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目變式進(jìn)行整理，一題多變。改變條件或結(jié)論，看問題有什么變化，解決問題的方法有什么改變，也可以將當(dāng)前的命題推廣到一般情況，進(jìn)行發(fā)散思維，當(dāng)然，不是每一個(gè)題目都有變式。另外，利用思維導(dǎo)圖鼓勵(lì)學(xué)生多思考，激發(fā)其創(chuàng)造性。對(duì)于分支變式，可以另畫導(dǎo)圖加以發(fā)散，這樣就既在整體上有了把握，也在解題思想上有了認(rèn)識(shí)。

通過思維導(dǎo)圖總結(jié)弦中點(diǎn)以及求直線與圓錐曲線相交弦的中點(diǎn)問題的常用方法，使得學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，思維導(dǎo)圖能夠很好地體現(xiàn)變式與例題，變式與變式之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題思路和方法進(jìn)行總結(jié)和反思，以提高分析問題、解決問題的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、思維導(dǎo)圖在解析幾何解題方法選擇中的應(yīng)用

圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是近幾年高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系等。關(guān)于圓錐曲線問題解決的基本方法是點(diǎn)參法、斜參法，而方法（點(diǎn)參、斜參）的選擇是學(xué)生解決圓錐曲線問題的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在解決這類問題時(shí)，往往因?yàn)榉椒ǖ倪x擇而導(dǎo)致計(jì)算上的困難，最后時(shí)間過去了，題目還是沒有做出來。因此，在解題方法選擇前，如果先畫出各個(gè)方法的思維導(dǎo)圖，然后進(jìn)行比較，看解題方法在簡(jiǎn)易、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)确矫嬗惺裁床煌?，比較各種方法的優(yōu)劣，并確定最好的解題辦法，這樣就能為學(xué)生在高考中節(jié)省時(shí)間。

（1）求直線AB的方程；

（2）若點(diǎn)P為橢圓c上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且直線AP,BP)分別交直線y=x于點(diǎn)M、N，證明：OM.ON為定值。

點(diǎn)參法的思維導(dǎo)圖

方法二（斜參法），設(shè)直線BP的斜率為k。

斜參法的思維導(dǎo)圖

從這兩個(gè)思維導(dǎo)圖上看，斜參法的思維導(dǎo)圖比點(diǎn)參法的思維導(dǎo)圖要復(fù)雜得多，那么計(jì)算過程就復(fù)雜。另外，點(diǎn)參法的思維導(dǎo)圖具有對(duì)稱性，即求M點(diǎn)坐標(biāo)與求N點(diǎn)坐標(biāo)的過程是一樣的，這樣給計(jì)算帶來了很大的方便。所以，通過思維導(dǎo)圖的對(duì)比，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)參法比較簡(jiǎn)單，使學(xué)生節(jié)省了時(shí)間。

通過上述思維導(dǎo)圖，要求每位同學(xué)能夠形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，總結(jié)主要數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。在實(shí)際教學(xué)中，需要學(xué)生協(xié)同合作，每人負(fù)責(zé)落實(shí)某一塊的思維導(dǎo)圖，完成后再組合成新的思維導(dǎo)圖。這樣的操作加強(qiáng)了同學(xué)們之間的合作交流，同時(shí)也培育了他們的整體思維能力。利用思維導(dǎo)圖讓學(xué)生學(xué)會(huì)整理解析幾何的知識(shí)、題型和方法，更積極地參與到教學(xué)中來，提高學(xué)習(xí)效率。利用思維導(dǎo)圖指導(dǎo)高中生學(xué)習(xí)解析幾何能夠提高學(xué)習(xí)的針對(duì)性，讓學(xué)生知道解析幾何知識(shí)的來龍去脈，在他們的頭腦中形成清晰明了的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，利用思維導(dǎo)圖讓學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，促進(jìn)知識(shí)的深入理解，最終提高學(xué)生解決問題的能力。