全等三角形中輔助線的添設(shè)探討

江蘇省豐縣歡口鎮(zhèn)育英初級(jí)中學(xué) 張 朋

全等三角形中輔助線的添設(shè)探討

江蘇省豐縣歡口鎮(zhèn)育英初級(jí)中學(xué) 張 朋

全等三角形作為平面幾何圖形中的一種，其知識(shí)內(nèi)容不僅是中考當(dāng)中的必考知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是判斷學(xué)生是否良好掌握數(shù)學(xué)平面幾何知識(shí)的依據(jù)之一。在全等三角形的解題過程中，通過合理運(yùn)用輔助線，能夠?yàn)槿热切蔚慕忸}帶來一定的幫助。為此，本文筆者將針對(duì)如何在全等三角形中添加輔助線進(jìn)行介紹，并對(duì)輔助線的不同添設(shè)方式進(jìn)行分析。

一、倍長中線，構(gòu)造全等三角形

在驗(yàn)證三角形是否屬于全等時(shí)，如果圖形當(dāng)中有三角形的中線，則可以倍長中線，并延長其與原來的中線，確保長度相等，從而構(gòu)成全等三角形。如圖1所示，我們已知在△ABC當(dāng)中，∠ABC=∠ACB，這時(shí)延長AC到D，使AB=CD，BE則成為△ABC的中線。這時(shí)需求證2BE=BD。

圖1

在分析的過程中我們可以得知，倍長中線的方式可以用來確定其為全等三角形。而為了證明2BE等于BD，則需要確保BE是△ABC的中線，因此延長BE到F，得到BD等于2BE的結(jié)果，并將需要證明的2BE等于BD轉(zhuǎn)化成證明BF等于BD。通過這樣的方式，便可以將線段的倍和半的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化。

證明思路如下：延長BE到F，使其BE=EF，之后連接CF。因?yàn)锽E=FE，∠AEB=∠CEF，AE=CE，所以△ABE≌△CFE（SAS），所以AB=CF，∠A=∠FCE。又因?yàn)锳B=CD，所以CF=CD。因?yàn)椤螧CD=∠ABC+∠A，∠BCF=∠ACB+∠FCE，同時(shí)∠ABC=∠ACB，∠A=∠FCE，所以∠BCD=∠BCF，并且BC=BC，所以△BCD≌△BCF(（SAS）。所以BD=BF。因?yàn)?BE=BF，所以2BE=BD。

二、截長補(bǔ)短，確保特定線段與之相等，構(gòu)造全等三角形

截長補(bǔ)短的方式可以有效構(gòu)造全等三角形。其具體做法是在某一線段上進(jìn)行截取，并確保截取的線段和特定線段相等，之后利用三角形全等的特點(diǎn)來進(jìn)行分析。截長補(bǔ)短的驗(yàn)證方式，較為適合使用在驗(yàn)證線段的分、倍、差、和的題目當(dāng)中。截長補(bǔ)短法當(dāng)中的截長法是通過在長線段當(dāng)中進(jìn)行截取，確保截取段與兩條線段當(dāng)中的一條相等，用以證明另外一條的線段長短。補(bǔ)短法則是通過延長其中一條線段，使其和長線段相等，從而證明延長的部分和另一條短線段相等。

如圖2所示，已知AD∥BC，點(diǎn)E在AB線段上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB，需要求證CD=AD+BC。

圖2

通過分析可以得知，其結(jié)論是CD=AD+BC，可以通過使用截長補(bǔ)短法當(dāng)中的截長法來進(jìn)行驗(yàn)證。在CD上截取CF=CB，再對(duì)DF=DA進(jìn)行驗(yàn)證即可。通過這樣的方法，可以轉(zhuǎn)化成證明兩條線段相等的問題，更好地對(duì)問題進(jìn)行簡化，幫助學(xué)生進(jìn)行解題。

證明思路如下：首先取CF=CB。在△FCE和△BCE當(dāng)中，CF=CB，∠FCE=∠BCE，CE=CE，所以△FCE≌△BCE(SAS)，所以∠2=∠1。又因?yàn)锳D∥BC，所以∠ADC+∠BCD=180°，所以∠DCE+∠CDE=90°。所以∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，所以∠3=∠4。在△FDE和△ADE當(dāng)中，∠FDE=∠ADE，DE=DE，∠3=∠4，所以△FDE≌△ADE(ASA)。所以DF=DA。又因?yàn)镃D=DF+CF，所以CD=AD+BC。

三、合理使用角平分線的性質(zhì)，從而構(gòu)造全等三角形

在幾何題目當(dāng)中，如果出現(xiàn)角平分線的條件時(shí)，則可以通過在角平分線上任意一點(diǎn)向角兩邊做垂線，從而對(duì)三角形進(jìn)行變化，通過逆定理的方式來進(jìn)行全等三角形的問題思考。

如圖3所示，△ABC的∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，能否在AB上確定一點(diǎn)，使△BDE的周長等于AB的長？

圖3

解題思路為：過D作DE⊥AB，交AB于E點(diǎn)，這時(shí)E點(diǎn)可滿足條件。因?yàn)椤螩=90°，AC=BC，并且DE⊥AB，所以DE=BE。因?yàn)锳D平分∠CAB，并且CD⊥AC，ED⊥AB，所以CD=DE。由HL可以驗(yàn)證Rt△ACD≌Rt△AED，所以AC=AE。所以△BDE的周長=BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=A C+EB=AE+EB=AB。

四、有高時(shí)將高作為對(duì)稱軸，對(duì)圖形進(jìn)行對(duì)折，從而構(gòu)造全等三角形

在有高的情況下，通過將高進(jìn)行對(duì)折，可以得到對(duì)折虛線，借以進(jìn)行全等三角形的驗(yàn)證。如圖4所示，△ABC中，∠C=2∠B，AD為三角形的高。求證AC=BD-CD。

圖4

證明思路為：在線段DB當(dāng)中取一點(diǎn)E，使DE=DC，之后連接AE，可以證明△ACD≌△AED（SAS），所以AE=AC，∠AED=∠C。又因?yàn)椤螩=2∠B，并且∠AED=∠B+∠BAE，所以∠B=∠BAE，所以AE=BE，所以BE=AC。又因?yàn)锽E=BD-DE，所以AC=BDCD。

在上文中我們可以看出，通過添加輔助線的方式，可以使全等三角形的解題思路更加明確，通過添設(shè)輔助線，全等三角形的求證更加清晰。而絕大多數(shù)全等三角形題目當(dāng)中，通過添加輔助線都可以使學(xué)生更好地對(duì)其計(jì)算過程和求證方式進(jìn)行掌握。因此，為了更好地進(jìn)行全等三角形的學(xué)習(xí)掌握，應(yīng)當(dāng)不斷加強(qiáng)對(duì)各類添加輔助線的方式的學(xué)習(xí)，并在實(shí)踐的過程中逐步加強(qiáng)掌握熟練度。

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