運(yùn)用波利亞解題觀求解2017高考導(dǎo)數(shù)壓軸題例析

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (510006)

許天來(lái) 廖運(yùn)章

運(yùn)用波利亞解題觀求解2017高考導(dǎo)數(shù)壓軸題例析

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (510006)

許天來(lái) 廖運(yùn)章

求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題是高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中的常見(jiàn)題型，在近年高考題中幾乎都有涉及，如2017年全國(guó)卷Ⅰ理科21題、2016年全國(guó)卷Ⅰ理科21題、2015年北京卷理科18題等，難度較大.因此，求解此類問(wèn)題如何獲得解題思路顯得非常重要.我們發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞的解題觀可以得償所愿.波利亞是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究中的標(biāo)志性人物，他提出了解決問(wèn)題的四個(gè)步驟——弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵程序.[1]下面，我們將結(jié)合一道2017高考數(shù)學(xué)題，闡述如何運(yùn)用波利亞解題觀求解高考導(dǎo)數(shù)壓軸題.

問(wèn)題(2017年全國(guó)卷Ⅰ理科21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

1.弄清問(wèn)題

“未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”.

未知數(shù)是參數(shù)a的取值范圍，已知數(shù)據(jù)為函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).這是一道有關(guān)超越函數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，涉及函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、參變量的取值范圍等多個(gè)問(wèn)題.僅高中水平而言，一般的處理方法是結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，我們可以通過(guò)研究函數(shù)f(x)的性質(zhì)如單調(diào)性等，討論f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍；另一方面，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程f(x)=0有兩個(gè)不同的解，于是我們就可以將方程f(x)=0進(jìn)行變形并分離出變量a，再通過(guò)觀察函數(shù)的交點(diǎn)進(jìn)行求解.

2.擬定計(jì)劃

“你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？”

我們聯(lián)想到2016年全國(guó)卷Ⅰ理科導(dǎo)數(shù)綜合題第一小問(wèn)，其題目為“已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍”.可以看出，這兩道題非常相似，而2016年的高考題可以通過(guò)研究參數(shù)的各種取值范圍下函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，判斷其是否滿足條件，從而使問(wèn)題得到解決.因此，對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行討論是一種解決問(wèn)題的計(jì)劃.

“觀察未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題；如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)？或者二者都改變，以使未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？”

3.實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

3.1 分類討論法

輔助圖解：創(chuàng)建滾動(dòng)條a并進(jìn)行拖動(dòng)，由圖1-2易知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)；由圖3可以看出，當(dāng)00時(shí)，f(x)無(wú)零點(diǎn).

將一些重要的設(shè)備，如各種服務(wù)器、核心換機(jī)、路由器等盡量實(shí)行集中管理。各種通信線路盡量實(shí)行深埋、穿線或架空，并有明顯標(biāo)記，防止無(wú)意損壞。對(duì)于終端設(shè)備，如工作站、集線器和其他轉(zhuǎn)接設(shè)備要落實(shí)到人，進(jìn)行嚴(yán)格管理。

值得注意的是，在拉動(dòng)變量尺的過(guò)程中，若a為無(wú)理數(shù)或小數(shù)位較多的小數(shù)，則僅能得到其近似的取值，這時(shí)按“ctrl+鼠標(biāo)上滑按鈕”放大函數(shù)圖像，得到更為精確的觀察.盡管運(yùn)用Geogebra得到的答案并非完全精確，但可通過(guò)改變參數(shù)值觀察函數(shù)的動(dòng)態(tài)圖像，保證分類討論的完整性.

數(shù)學(xué)解析：(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，+∞)上單調(diào)遞增.過(guò)程略.

3.2 分離變量法

輔助圖解：分別輸入“p=a(e^x+1)”和“q=2+x/(e^x)”得到圖6-10.

小結(jié)：分離變量法可通過(guò)研究不含有參數(shù)的函數(shù)的圖像性質(zhì)求解問(wèn)題，借助導(dǎo)數(shù)等方法，這是學(xué)生較為熟悉的方式，是一種通性通法.對(duì)比分類討論的方法，學(xué)生在掌握了這種方法后，也許能更好地遷移到其他類似的題目中.

4.回顧

“你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？”

拉動(dòng)滾動(dòng)條，由圖11和圖12易知，當(dāng)a≤0時(shí)，m(x)與n(x)的函數(shù)圖像至多有一個(gè)交點(diǎn)，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)；由圖13可以看出，當(dāng)01時(shí)，m(x)與n(x)的函數(shù)圖像無(wú)交點(diǎn)，f(x)無(wú)零點(diǎn).因此，a的取值范圍為(0,1).

“你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題？”

可以看出，“分類討論”的解題方法通過(guò)分析參數(shù)的各種取值范圍下函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，判斷其是否滿足條件從而求解問(wèn)題，可以適用于所有求參數(shù)的取值范圍的高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的求解.而當(dāng)參數(shù)較好分離時(shí)，可以采用“參數(shù)分離”的解題方式，將研究含參函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究確定函數(shù)的性質(zhì)的問(wèn)題.如2016年全國(guó)卷I理科21題、2015年北京卷理科18題、2011年全國(guó)卷理科21題、2010年全國(guó)卷理科21題等均可使用“參數(shù)分離”方法進(jìn)行求解.

綜上所述，運(yùn)用波利亞的四個(gè)解題步驟求解問(wèn)題的思路非常清晰.首先，必須弄清問(wèn)題，了解未知數(shù)和已知數(shù)據(jù)；第二，找出已知數(shù)和未知數(shù)之間的聯(lián)系，如若找不到直接的聯(lián)系，則考慮輔助問(wèn)題并最終得到一個(gè)求解的計(jì)劃；第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃；第四，驗(yàn)算所得到的解.實(shí)際上，解題的各種技巧種目繁多，在教學(xué)中很難顧全.因此，應(yīng)注重波利亞的解題觀域的教學(xué)，它可以啟發(fā)學(xué)生的解題思路，是一種通性通法.在學(xué)生掌握了解題的方向后，可通過(guò)研究函數(shù)的大致圖像對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決.當(dāng)然，若一時(shí)不能通過(guò)數(shù)學(xué)方法得到函數(shù)的大致圖像，可以先借助geogebra等數(shù)學(xué)軟件作出函數(shù)圖像，輔助求解問(wèn)題.其實(shí)，geogebra等數(shù)學(xué)軟件的畫(huà)圖操作并不復(fù)雜，可以在較短的時(shí)間內(nèi)掌握，學(xué)生若能花一定的時(shí)間進(jìn)行掌握，必能達(dá)到事半功倍的效果.

[1]波利亞. 怎樣解題[M].科學(xué)出版社，1982.