兩道高考橢圓試題的完美融合

福建省龍巖第一中學(xué) (364000)

劉曉生 胡寅年

兩道高考橢圓試題的完美融合

福建省龍巖第一中學(xué) (364000)

劉曉生 胡寅年

圓錐曲線的幾何性質(zhì)深刻地揭示了圓錐曲線的本質(zhì)特征，是圓錐曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的進(jìn)一步發(fā)展．而圓錐曲線幾何性質(zhì)的證明，又能很好地體現(xiàn)解析幾何的思想與方法．因此，以圓錐曲線幾何性質(zhì)為背景的問題系列常常成為歷年高考試題的熱點(diǎn)．比如，2009年遼寧卷第20題(以下簡(jiǎn)稱題1)，2017年全國(guó)卷一第20題(以下簡(jiǎn)稱題2)就分別從兩個(gè)方面深刻揭示了橢圓的一個(gè)整體性質(zhì)(直線族、直線束；定向、定點(diǎn)問題)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)．證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn). 若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).

下面我們將其引申為橢圓乃至圓錐曲線統(tǒng)一的具有豐富內(nèi)涵的幾何性質(zhì)，它們互為補(bǔ)充，完美融合．

②由于kPA+kPB=t(t≠0)，

②由于kPA+kPB=t(t≠0)，

定理3 已知P(x0,y0)是拋物線Γ:y2=2px(p>0)上的一個(gè)定點(diǎn)，A、B是拋物線Γ上異于點(diǎn)P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

證明：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，令x′=x-x0，y′=y-y0，則y2=2px變?yōu)榱?y′+y0)2=2p(x′+x0)，∴y′2+2y0y′-2px′+y20-2px0=0，由于y20-2px0=0，∴y′2+2y0y′-2px′=0.

[1]李金寬.圓錐曲線的定點(diǎn)弦性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002.12.

[2]胡寅年.一道橢圓試題的解析與引申[J].數(shù)學(xué)通訊，2016.11.