“鴛鴦繡成憑君看,要把金針度與人”
——圓錐曲線“e2-1”結(jié)論探究與應(yīng)用

浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)新登中學(xué) (311404)

楊志芳

“鴛鴦繡成憑君看,要把金針度與人”
——圓錐曲線“e2-1”結(jié)論探究與應(yīng)用

浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)新登中學(xué) (311404)

楊志芳

總有一些經(jīng)歷讓人難以忘懷，總有一些情結(jié)讓人常常牽掛.平時(shí)教學(xué)中，一些優(yōu)美的結(jié)論的探究和應(yīng)用總使人終身難忘，如“e2-1”雖然不少教師都已談過(guò)，但筆者還是對(duì)“她”情有獨(dú)鐘.

1.緣起

問(wèn)題2 (2015年新課標(biāo)Ⅱ卷20)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B，線段AB的中點(diǎn)為M.

(1)證明直線OM的斜率與l的斜率乘積為定值；

(2)略.

2.探究

課本例題(問(wèn)題1)講完了，不少老師完結(jié)了事，筆者覺(jué)得很可惜，因?yàn)檎n本的例題往往有豐富的內(nèi)涵，不少高考題、統(tǒng)考題是源于課本(如問(wèn)題2就是問(wèn)題1的一種改編)，或多或少可以找到它的影子，是高考命題的依據(jù)和源泉，研究挖掘課本經(jīng)典題是教與學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)，合理使用和改編課本題，可以提高課堂效率，激活學(xué)生思維的火花，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).所以可以對(duì)問(wèn)題1進(jìn)行以下探究①k1·k2的值是隨便給定的嗎？其逆命題是否成立？②如果橢圓上異于頂點(diǎn)的任意點(diǎn)與頂點(diǎn)相連，連線的斜率乘積是否是定值？③如果不是頂點(diǎn)情況如何？與離心率什么關(guān)系？⑤雙曲線情況如何？……

進(jìn)一步探究，若A,B兩點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn)，于是我們可以得到以下性質(zhì)：

圖1

圖2

略證：設(shè)A′是A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連BA′，則BA′∥OM，由性質(zhì)2知，kBA′·kBA=e2-1，即kOM·kBA=e2-1.

所以問(wèn)題2就是它的一個(gè)特例.

圖3

然而，這結(jié)論其實(shí)是圓的一些結(jié)論拓展，有時(shí)作一個(gè)仿射變換，可將橢圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題來(lái)解決，同樣我們也可將圓的有關(guān)性質(zhì)通過(guò)類比、拓展得到橢圓或其他圓錐曲線的有關(guān)性質(zhì).如e2-1這一性質(zhì)就是圓性質(zhì)的一個(gè)拓展.如橢圓的kPA·kPB=e2-1是圓中PA⊥PB，kPA·kPB=-1的一個(gè)拓展，kAB·kOM=e2-1是圓的垂徑定理的拓展.同樣橢圓kOP·k切線=e2-1是圓的切線性質(zhì)kOP·k切線=-1的一個(gè)拓展(如圖4，圖5).

圖4

圖5

3.應(yīng)用

平時(shí)解題過(guò)程中如能運(yùn)用“e2-1”結(jié)論，有時(shí)可以快速求解，達(dá)到小題快做巧做的目的，解決解答題時(shí)，作為中間結(jié)論，用來(lái)突破難點(diǎn)，非常有效，下面以浙江高考題為例，作一例析.

3.1 運(yùn)用“e2-1”結(jié)論巧求離心率

圖6

這兩種解法均可以，但有一定的計(jì)算量，但如能利用kAB·kOM=e2-1，使人眼前一亮，且方法簡(jiǎn)捷，運(yùn)算簡(jiǎn)便，特別對(duì)選擇填空題有很好的借鑒作用.

圖7

圖8

3.2 運(yùn)用“e2-1”結(jié)論巧求范圍問(wèn)題

圖9

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求ΔAOB面積的最大值.

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的弦長(zhǎng)(用a,k表示)；

(2)若任意以A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

解：(1)略;

(2)(高考參考答案)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)Ρ，Q，滿足|ΑΡ|=|ΑQ|．記直線ΑΡ，ΑQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2．

圖10

3.3 運(yùn)用“e2-1”結(jié)論巧解最值問(wèn)題

(1)求橢圓C的方程；

(2)求ΔABP面積取最大值時(shí)直線l的方程.

圖11

總之，我們?cè)诮虒W(xué)中精選典型問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，主動(dòng)建構(gòu)，總結(jié)解題規(guī)律，除了展示完美的解題過(guò)程和優(yōu)美的結(jié)論外，更應(yīng)該告訴他們學(xué)習(xí)的方法，探究的方法，授之以漁，“鴛鴦繡成憑君看,更把金針度與人”.

[1]沈良.圓錐曲線的一個(gè)優(yōu)美結(jié)論[J].數(shù)學(xué)通迅,2013(5).

[2]王明飛.與橢圓雙曲線的離心率有關(guān)的一些結(jié)論及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通迅,2006(11).

[3]蘇立標(biāo).高考的情結(jié)與復(fù)習(xí)的情懷(杭州市2017年高三復(fù)習(xí)會(huì)議).