平常題“非?！边\用提升學(xué)生核心素養(yǎng)
——一道高三模擬試題教學(xué)為例

浙江省上虞市城南中學(xué) (312300)

王春霞

平常題“非?！边\用提升學(xué)生核心素養(yǎng)
——一道高三模擬試題教學(xué)為例

浙江省上虞市城南中學(xué) (312300)

王春霞

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六方面.培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是新課改的主旋律，也是新型課堂模式的基本要求.在高三的模擬卷中，不少試題看似平凡，但深入研究則是富有內(nèi)涵、具有良好教學(xué)價值的好題.在教學(xué)過程中若能對此類好題展開多角度審視、多方位變式拓展，變“習(xí)題”為“問題”，變“問題”為“課題”，變“講授”為“悟道”，讓學(xué)生自己探索研究問題的路徑，給學(xué)生留足思考空間，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的獲得對象——研究性質(zhì)——應(yīng)用拓展過程，使學(xué)生學(xué)會思考，實現(xiàn)能用數(shù)學(xué)的方式認(rèn)識問題和解決問題.這樣就能讓學(xué)生從整體上把握高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容、了解知識發(fā)展脈絡(luò)、透析數(shù)學(xué)思想方法、洞察解題基本規(guī)律，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升，幫助學(xué)生從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“苦?！敝薪饷摮鰜?，使他們在高考中獲得成功.

此題來源于筆者所用高三復(fù)習(xí)綜合測試卷,定弦定角是解不定型三角形比較典型、常見的一類問題,雖然該題比較基礎(chǔ)，但基礎(chǔ)是素養(yǎng)的保證，是以后發(fā)展的基石，是高考考查的重點所在，因此筆者打算挖掘此題“可再生資源”，揭示該類題的背景和本質(zhì).

師：變式1中若確定A、C的位置，則B的運動軌跡是什么？

圖1

師：理解很對，如果不再給其他條件，我們可以研究哪些問題呢？請同學(xué)們思考.(學(xué)生思考時教師最好不要過多的提示，應(yīng)該讓學(xué)生的思維得到充分發(fā)揮，3分鐘后請學(xué)生說說自己的想法.)

生2：a或c的范圍.

師：如何解決？

生3：其實a,c的范圍直接從圖上可以看出來，比如邊長a，當(dāng)BC過圓心時最大值為4，當(dāng)B,C趨向于重合時最小值為0，邊c也一樣.

師：很好！利用圖像簡潔明了，真是有圖有真相！

生4：既然a,c范圍可求，那么a±c，a·c范圍應(yīng)該也可求.

師：以a+c為例，請同學(xué)試試(給學(xué)生5分鐘嘗試)

圖2

師：這種方法很好，結(jié)合圖像該三角形還有那些問題一目了然？

生8：面積的最大值，周長的最值等.

師：既然a±c，a·c范圍應(yīng)該也可求，那么……

生9：有關(guān)角A,C的一些范圍問題也可以求得，比如sinA+sinC,sinA·sinC的取值范圍問題.

師：嗯，對！怎么想到的？

生9：由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,C=2RsinC,邊的范圍可求自然對應(yīng)角的范圍也出來了.

師：那么a+λc(λ為常數(shù))最值能求么？

師：那其他兩種方法呢？還適用么？

生11：好像不太好用，有變化.

師：那怎辦，此兩條思路該不該放棄？

生12：老師不用的！生6的方法只要改進一下就好，設(shè)a+λc=k,則a=k-λc,代入a2+c2-12=ac，得到(λ2+λ+1)c2-2kλc+k2-12=0,方程有解，判別式Δ≥0，可求得k的范圍.

師：非常棒！

圖3

生13：老師我覺得利用圖像也可行，如圖3，延長CB至D使得BD=λc,在△ABD中，AD2=a2+(λa)2-2·a·(λa)cos120°=(1+λ+λ2)a,∴∠ADP的余弦值可以用λ,a表示，設(shè)直線BC斜率為k,直線AD斜率可用k表示，兩直線相交求得D的坐標(biāo)(用參數(shù)k表示)，消去參數(shù)就得D的軌跡方程.軌跡為圓，那么問題轉(zhuǎn)化為原點到圓上點距離的最大值.

師：叫我刮目相看！真是應(yīng)驗了那句話“只有想不到的，沒有做不到的”.整理過程留給大家課后完成.

教室內(nèi)頓時響起了熱烈的掌聲，教師把此題的探究又進一步引向深入，學(xué)生思維的火花照亮了課堂.

師：前面我們主要探討已知一角一對邊三角形的其余角邊范圍問題，下面請大家想想模擬試卷的問題還有哪些解決辦法？(由于有前面的鋪墊，學(xué)生很快得到如下解法.)

師：三角形中6個基本量，已知一角一對邊的不定型問題已經(jīng)解決.解決此類問題主要利用正余弦定理進行角、邊互化，進而把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值范圍問題或者利用圖像解決.同學(xué)們還想探究什么問題呢？

學(xué)生討論，老師總結(jié)：兩角，兩邊及一邊一鄰角.兩角的問題比較簡單，不去研究了.一邊一鄰角問題課后研究.

師：如果已知三角形一個內(nèi)角，此時的三角形又有什么值得我們研究的呢？

師：大家再試試看.

一道填空題，花費了整整一節(jié)課時間，盡管一張試卷的講解不能如期完成，但是學(xué)生的核心素養(yǎng)也得到提升，如通過對問題的一題多解、一題多變讓學(xué)生洞察問題的深層結(jié)構(gòu)，形成優(yōu)化的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，這種從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)就是在發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”的核心素養(yǎng)；又如引導(dǎo)學(xué)生探究B的運動軌跡的過程可促進發(fā)展學(xué)生的“直觀想象”核心素養(yǎng)；再如由a或c的范圍到a±c，a·c的范圍再到a+λc的范圍的探究過程可促進學(xué)生發(fā)展“邏輯推理”“數(shù)學(xué)運算”的核心素養(yǎng).通過激烈討論，大膽猜想，小心求證；通過 “怎樣想到的”，“如何轉(zhuǎn)化”“有不同想法么”等一系列剝筍式的提問促使學(xué)生暴露其思維過程，讓學(xué)生不僅知其然，且知其所以然.正如G.波利亞說:“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就好像通過一道門戶,把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”