理解數(shù)學(xué)是進(jìn)行有效教學(xué)設(shè)計(jì)的前提

江蘇省無(wú)錫市立人高級(jí)中學(xué) (214161)

鄭寶生 趙 勤

理解數(shù)學(xué)是進(jìn)行有效教學(xué)設(shè)計(jì)的前提

江蘇省無(wú)錫市立人高級(jí)中學(xué) (214161)

鄭寶生 趙 勤

要上好一堂課，一旦教師確定后，關(guān)鍵在于教學(xué)設(shè)計(jì)．我們很贊賞章建躍先生的“三個(gè)理解”，其中，“理解數(shù)學(xué)”是進(jìn)行有效教學(xué)設(shè)計(jì)的前提．作為教師，不僅要理解所教內(nèi)容“是什么”，還要弄清知識(shí)的整個(gè)體系及知識(shí)的前后聯(lián)系，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的思想方法及解題過(guò)程中所反映的思維策略．

1.理解數(shù)學(xué)體系，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的研究方法

我們的課堂教學(xué)既要教學(xué)生學(xué)習(xí)每個(gè)知識(shí)，又要讓學(xué)生理解每一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并體會(huì)到數(shù)學(xué)自身的知識(shí)體系以及研究方法，而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系和研究方法的認(rèn)知，影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)知和從數(shù)學(xué)角度看待問(wèn)題的數(shù)學(xué)意識(shí)，正如普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所談到的：“通過(guò)類比、聯(lián)想、知識(shí)的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力”．所以說(shuō)數(shù)學(xué)教師要有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，較高的理解水平，能夠從整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的角度理解數(shù)學(xué)，抓住主要知識(shí)，厘清從屬關(guān)系，形成邏輯結(jié)構(gòu)．

在高中數(shù)學(xué)的《平面向量》一章中，最重要的是平面向量基本定理，換句話說(shuō)就是平面向量的線性表示．如果要追問(wèn)，平面向量線性表示的基礎(chǔ)是平面向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算，而加減數(shù)乘運(yùn)算的基礎(chǔ)是平面向量的大小和方向；如果看其變化，平面向量線性表示的特殊情況是平面向量的坐標(biāo)表示，它使得平面向量的內(nèi)容更加豐富，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用更加廣泛．厘清其中的關(guān)系，做到心中有數(shù)，才能設(shè)計(jì)好課堂教學(xué)．例如，蘇教版普通高中數(shù)學(xué)必修4《向量的概念與表示》的教材中，先給出向量的定義，討論了零向量和單位向量后，給出思考：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向量，它們終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？然后定義平行向量，再定義相等向量，這樣，從知識(shí)的角度講，割裂了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從學(xué)生心理的角度看，缺少具體的事例和必要的情境，平行向量出現(xiàn)的有點(diǎn)突然，不夠清晰，不夠自然．站在數(shù)學(xué)知識(shí)體系的高度來(lái)看待向量，抓住向量的大小和方向這兩根主要線索，引導(dǎo)學(xué)生從定義、表示、大小特殊和方向特殊這樣的順序展開(kāi)，整合設(shè)計(jì)流程如下：(1)向量的定義：大小、方向(兩個(gè)要素)；(2)向量的表示(略)；(3)大小特殊的向量——零向量、單位向量；(4)方向特殊的向量——同向向量、反向向量；(5)同向向量的特殊情況——相等向量；(6)反向向量的特殊情況——相反向量．最后讓學(xué)生討論“怎樣的向量才能稱之為平行向量？”，如此設(shè)計(jì)，一方面沒(méi)有打破數(shù)學(xué)知識(shí)體系的邏輯性和整體性，另一方面，條理更清晰，學(xué)生容易參與進(jìn)來(lái)，不僅有益于“平行向量”概念的理解，而且能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)自身的邏輯體系，能更好的理解數(shù)學(xué)，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

2.理解數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的形成過(guò)程

3.理解數(shù)學(xué)解題，讓學(xué)生領(lǐng)悟解題背后的策略與思想

=tan(α+β)．

在這里并不想論述一題多解，也不想闡釋各種變式，是想說(shuō)明，對(duì)于教師應(yīng)該如何理解這三種不同的解題過(guò)程，解法一是先化簡(jiǎn)后求值，解法二是代入消元，解法三是變角法．我們要追問(wèn)三種不同解法的背后有著怎樣的支撐，它們體現(xiàn)了一個(gè)共同的解題策略：“減少未知量”，體現(xiàn)了求簡(jiǎn)的思想．在數(shù)學(xué)解題中，所有的消元法都是在減少未知量，所有的換元法都能使運(yùn)算簡(jiǎn)單，我們所說(shuō)的化簡(jiǎn)就是化繁為簡(jiǎn)的過(guò)程，都反映了人們求“簡(jiǎn)“的一種精神追求．其次，三種不同解法有著怎樣的考量．解法一對(duì)已知條件的化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)不到位無(wú)法與目標(biāo)對(duì)接，化簡(jiǎn)過(guò)頭又會(huì)離目標(biāo)太遠(yuǎn)，火候很難掌控．如果沒(méi)有一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)和思想的支撐，是很難找到解題思路的．我們抓住目標(biāo)中只有一個(gè)角β，所以不顧一切地用tanα表示tanβ，從而消去角β，最后面對(duì)的都是tanα，當(dāng)然能證出來(lái)．這樣的策略顯得比較生硬，給人以顧頭不顧尾的感覺(jué)，原因是對(duì)目標(biāo)簡(jiǎn)單、膚淺的感知，導(dǎo)致問(wèn)題解決過(guò)程中運(yùn)算量增加．解法二也是這樣，只是專注于消去m，使得運(yùn)算量未曾減少．而解法三感知到的是問(wèn)題的整體，其策略是把條件與結(jié)論有機(jī)地結(jié)合在一起，結(jié)論中有角(α+β)、α，按照減少未知角的思路，把已知條件中的角β和2α+β都化為(α+β)、α，所以解起來(lái)很輕松．最后，從學(xué)生的角度看待三種解法，他們更愿意接受解法一和解法二，因?yàn)榇胂ㄊ浅踔袑W(xué)生熟知的方法，而他們的計(jì)算能力卻達(dá)不到要求，導(dǎo)致證明困難．然而有了解法一的消去角β，才容易聯(lián)想到解法二的消去m，通過(guò)解法二中sin(2α+β)±sinβ的化簡(jiǎn)過(guò)程，可以輕松地整理出解法三的思路．“變角”即角的變換，是本章的主體內(nèi)容——三角變換的重要變換，需要學(xué)生理解并掌握．因此，數(shù)學(xué)解題后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生思考，不同解法有怎樣的差異？產(chǎn)生這些差異的原因是什么？它們之間有著怎樣的聯(lián)系？不同解法的背后有怎樣的思想支撐？才能讓我們的解題更有效果．

作為一個(gè)數(shù)學(xué)教師必須要理解好數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)的知識(shí)體系和研究方法；理解數(shù)學(xué)的每一個(gè)概念及其本質(zhì)屬性；理解數(shù)學(xué)解題的每一個(gè)步驟和蘊(yùn)含的思想方法．當(dāng)然，還要理解學(xué)生，讓我們的課堂教學(xué)更有針對(duì)性；要理解教學(xué)，讓我們的課堂教學(xué)更符合規(guī)律，更有實(shí)效；理解人生，讓我們的課堂教學(xué)更有哲理，內(nèi)涵豐富更有教育意義．

[1]中華人民共和國(guó)教育部制訂．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[2]王華民，鄭寶生，阮必勝．教師“貼地而行”，學(xué)生“翩翩起舞”[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2014．5.

[3]梁莉娟，鄭寶生，王華民．遵循三個(gè)理解的問(wèn)題探究，彰顯學(xué)生的主體地位[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育(高中版)2017．1-2.