關(guān)于凸期望的極小元的一些結(jié)果

紀(jì)榮林，周津名

(1. 安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601；2. 合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230601)

關(guān)于凸期望的極小元的一些結(jié)果

紀(jì)榮林1，周津名2

(1. 安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601；2. 合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230601)

在非線性數(shù)學(xué)期望的公理化框架下，從凸期望和凹期望之間的Sandwich定理的視角出發(fā)，研究了帶控制條件的凸期望集合的極小元問題，建立了一類帶單邊或雙邊控制條件的凸期望集合的極小元的論斷與Sandwich定理之間的等價關(guān)系。

非線性數(shù)學(xué)期望；凸期望；Sandwich定理；極小元

期望效用理論是現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，但是諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者Allais所提出的著名的Allais悖論使得期望效用理論受到了很大的挑戰(zhàn)。相關(guān)研究表明基于線性數(shù)學(xué)期望的線性性是導(dǎo)致Allais悖論的主要原因，由此學(xué)者們致力于研究非線性數(shù)學(xué)期望。1997年，山東大學(xué)彭實戈院士通過著名的倒向隨機微分方程的解引入了一類典型的域流相容的非線性數(shù)學(xué)期望——g-期望[1]。g-期望理論是研究遞歸效用及金融風(fēng)險度量的有力工具，如Chen等[2]利用g-期望研究了遞歸效用；Rosazza Gianin[3]首次研究了g-期望與風(fēng)險度量之間的關(guān)系；Jiang[4]建立了g-期望理論與金融風(fēng)險度量之間的一一對應(yīng)關(guān)系。2002年，Coquet等[5]

在研究g-期望的性質(zhì)時首次提出了非線性數(shù)學(xué)期望的公理化假設(shè)條件。眾所周知，非線性數(shù)學(xué)期望與金融風(fēng)險度量之間有著密切的聯(lián)系，Bion[6]、Delbaen等[7]在研究風(fēng)險度量的相關(guān)性質(zhì)時，都附加了懲罰函數(shù)的零值假設(shè)條件，即某線性數(shù)學(xué)期望EQ受控于風(fēng)險度量。2009年，Jia[8]在非線性數(shù)學(xué)期望的公理化框架下，探索了線性數(shù)學(xué)期望與非線性期望之間的控制關(guān)系，證明了次線性期望集合的極小元是線性數(shù)學(xué)期望，且關(guān)于次線性期望和超線性期望之間的Sandwich定理成立；2011年，Huang等[9]試圖證明凸期望集合的極小元是線性數(shù)學(xué)期望且關(guān)于凸期望和凹期望之間的Sandwich定理成立；2015年，Ji等[10]則研究了帶限制條件的凸期望集合的極小元的存在性及其等價刻畫。進(jìn)一步地，在g-期望的框架下，受He等[11]的工作啟發(fā)，文獻(xiàn)[12]獲得了凸g-期望的極小元問題及其等價刻畫。

由此，一個自然的問題是：在非線性數(shù)學(xué)期望的框架下，凸期望集合的極小元的相關(guān)論斷與凸期望和凹期望之間的Sandwich定理有著什么樣的內(nèi)在聯(lián)系？

受Huang等[9]及Ji等[10]工作啟發(fā)，本文致力于在非線性數(shù)學(xué)期望的公理化框架下研究凸期望集合的極小元的相關(guān)論斷和Sandwich定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，證明了一類帶單邊或雙邊控制條件的凸期望集合的極小元的論斷與凸期望和凹期望之間的Sandwich定理之間的等價關(guān)系，完善了Huang等[9]及Ji等[10]的相關(guān)結(jié)論。

1 預(yù)備知識

設(shè)(Ω,F,P)是一個概率空間。下面我們通過公理化假設(shè)的方法引入線性數(shù)學(xué)期望和非線性數(shù)學(xué)期望的定義(參閱文獻(xiàn)[5])。

定義1 稱實值泛函E[·]:L1(Ω,F,P)→R為線性數(shù)學(xué)期望，若其滿足：

(i) 保常數(shù)性：E[c]=c，?c∈R；

(ii) 單調(diào)性：E[X]≥E[Y]，若X≥Y，P-a.s.；

嚴(yán)格單調(diào)性：E[X]≥E[Y]，若X≥Y，P-a.s.，且P(X>Y)>0；

(iii) 線性性：E[αX+βY]=αE[X]+βE[Y]，?α,β∈R。

定義2 稱實值泛函ε[·]:L1(Ω,F,P)→R為非線性數(shù)學(xué)期望，若其滿足：

(i) 保常數(shù)性：ε[c]=c，?c∈R；

(ii) 單調(diào)性：ε[X]≥ε[Y]，若X≥Y，P-a.s.；

嚴(yán)格單調(diào)性：ε[X]≥ε[Y]，若X≥Y，P-a.s.，且P(X>Y)>0。

定義3 稱非線性數(shù)學(xué)期望ε為次線性期望 (超線性期望)，若其滿足：

(i) 次可加性 (超可加性)：ε[X+Y]≤(≥)ε[X]+ε[Y]；

(ii) 正齊次性：ε[λX]=λε[X]，?λ∈R。

定義4 稱非線性期望ε為凸期望 (凹期望)，若其滿足：

凸性 (凹性)：ε[αX+(1-α)Y]≤(≥)αε[X]+(1-α)ε[Y]，?α∈[0,1]。

定義5 設(shè)(S,)為一偏序集, 稱e0為S的一個極小元, 若e0滿足：

(i)e0∈S；

(ii) 對任意的e∈S, 如果ee0, 則有e=e0。 為方便讀者起見，線性數(shù)學(xué)期望的全體構(gòu)成的集合記為Sl；次線性期望的全體構(gòu)成的集合記為Ssl； 凸期望的全體構(gòu)成的集合記為Scv。顯然，Sl?Ssl?Scv。為書寫方便，對非線性數(shù)學(xué)期望ε1和ε2，我們用ε1≥ε2表示ε1[X]≥ε2[X]，?X∈L1(Ω,F,P)；用ε1=ε2表示ε1[X]=ε2[X]，?X∈L1(Ω,F,P)。

下述引理1、引理2分別來自文[8]定理2.7和定理3.1，其中引理2被稱為次線性期望與超線性期望之間的Sandwich定理。

引理1 非線性數(shù)學(xué)期望ε0為集合Ssl的一個極小元當(dāng)且僅當(dāng)ε0∈Sl。

引理2 設(shè)ε1為次線性期望，ε2為超線性期望。若ε1≥ε2，則存在線性數(shù)學(xué)期望E使得ε1≥E≥ε2。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)ε1和ε2為非線性數(shù)學(xué)期望，則下述論斷均成立且相互等價：

(i) 設(shè)ε1為凸期望，ε2為凹期望。若ε1≥ε2，則存在線性數(shù)學(xué)期望E使得ε1≥E≥ε2；

(ii) 設(shè)ε2為凹期望。則集合Scv(ε2):={ε:ε≥ε2,ε∈Scv}至少存在一個極小元，且ε為Scv(ε2)的極小元當(dāng)且僅當(dāng)ε∈Sl∩Scv(ε2)；

(iii) 設(shè)ε1為凸期望，ε2為凹期望且ε1≥ε2。則集合Scv(ε1,ε2):={ε:ε1≥ε≥ε2,ε∈Scv}至少存在一個極小元，且ε為Scv(ε1,ε2)的極小元當(dāng)且僅當(dāng)ε∈Sl∩Scv(ε1,ε2)。

證明首先，證明(i)成立。對任意的凸期望ε1，定義

?X∈L1(Ω,F,P)

(1)

(2)

(3)

結(jié)合式(2)-(3)知，對任意的

是實值的。

?c∈R

(4)

(5)

(6)

(7)

對任意的X,Y∈L1(Ω,F,P)，由式(6)-(7)知，

(8)

下證(i)成立，即凸期望與凹期望之間的Sandwich定理成立。令

?X∈L1(Ω,F,P)

ε1≥E≥ε2

其次，證明(i)?(ii)成立。令

?X∈L1(Ω,F,P)

-E0[-X]，?X∈L1(Ω,F,P)

故

E0[X]≥ε2[X]，?X∈L1(Ω,F,P)

注意到E0∈Scv，從而E0∈Scv(ε2)。易驗證E0為集合Scv(ε2)的一個極小元。事實上，若存在非線性數(shù)學(xué)期望ε0∈Scv(ε2)使得ε0≤E0，則由ε0的保常數(shù)性和凸性知，對任意的X∈L1(Ω,F,P)有

0=2ε0[X-X]=

結(jié)合ε0≤E0及E0的線性性得

ε0[-X]≤E0[-X]= -E0[X]≤

-ε0[X]≤ε0[-X]，?X∈L1(Ω,F,P)

即ε0=E0。故E0為集合Scv(ε2)的一個極小元。

下證集合Scv(ε2)的極小元必為線性數(shù)學(xué)期望。設(shè)ε為集合Scv(ε2)的一個極小元，則由Scv(ε2)的定義知ε為凸期望且ε≥ε2。由(i)知，存在線性數(shù)學(xué)期望E0使得

ε≥E0≥ε2

注意到E0∈Scv且E0≥ε2，從而E0∈Scv(ε2)。又ε為集合Scv(ε2)的極小元，結(jié)合ε≥E0及E0∈Scv(ε2)，立得ε=E0，即

ε∈Sl∩Scv(ε2)

接下來，證明(ii)?(iii)成立。由ε1為凸期望、ε2為凹期望及ε1≥ε2知，

ε1∈Scv(ε2)

由(ii)知集合Scv(ε2)的極小元存在且為線性數(shù)學(xué)期望，從而存在線性數(shù)學(xué)期望E0∈Scv(ε2)使得ε1≥E0。結(jié)合集合Scv(ε2)的定義知

ε1≥E0≥ε2

故E0∈Scv(ε1,ε2)。易證E0為集合Scv(ε1,ε2)的一個極小元。事實上，若存在非線性數(shù)學(xué)期望ε0∈Scv(ε1,ε2)使得ε0≤E0，則由ε0的保常數(shù)性、凸性及E0的線性性知

ε0[X]≤E0[X]=

-E0[-X]≤-ε0[-X]≤ε0[X]，

?X∈L1(Ω,F,P)

即ε0=E0。故E0為集合Scv(ε1,ε2)的一個極小元。

下證集合Scv(ε1,ε2)的極小元必為線性數(shù)學(xué)期望。設(shè)ε為集合Scv(ε1,ε2)的一個極小元，易知ε為凸期望且ε1≥ε≥ε2，故ε∈Scv(ε2)。由(ii)知集合Scv(ε2)的極小元存在且為線性數(shù)學(xué)期望，從而存在線性數(shù)學(xué)期望E0∈Scv(ε2)使得ε≥E0。注意到E0∈Scv(ε2)，從而E0≥ε2，進(jìn)而

ε1≥ε≥E0≥ε2

故E0∈Scv(ε1,ε2)。由ε為集合Scv(ε1,ε2)的極小元、ε≥E0且E0∈Scv(ε1,ε2)，立得ε=E0，即

ε∈Sl∩Scv(ε1,ε2)

最后，證明(iii)?(i)成立。設(shè)ε1為凸期望、ε2為凹期望且ε1≥ε2。由(iii)知，集合Scv(ε1,ε2)的極小元存在且為線性數(shù)學(xué)期望。設(shè)E為Scv(ε1,ε2)的一個極小元，則由極小元的定義及集合Scv(ε1,ε2)的定義立得ε1≥E≥ε2。證畢。

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Someresultsontheminimalmembersofconvexexpectations

JIRonglin1，ZHOUJinming2

(1. School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230601, China；2. School of Mathematics and Statistics, Hefei Normal University, Hefei 230601, China)

Under the framework of nonlinear expectations，the minimal members of convex expectations with some dominating conditions are studied in the view of the Sandwich theorem for a convex expectation and a concave expectation. The conclusions of the minimal members of convex expectations with single or two dominating conditions are proved to be equivalent to the Sandwich theorem.

nonlinear expectation; convex expectation; Sandwich theorem; minimal member

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.06.011

2017-02-08

江蘇省自然科學(xué)基金青年基金(BK20150167)；安徽大學(xué)博士科研啟動(J01003202)

紀(jì)榮林(1984年生)，男；研究方向非線性數(shù)學(xué)期望；E-mail: jironglin@ahu.edu.cn

周津名(1982年生)，女；研究方向非線性數(shù)學(xué)期望；E-mail: zjminguv@163.com

O211.67

A

0529-6579(2017)06-0072-04