淺談集合中參數(shù)取值范圍問(wèn)題

董佳

隨著新課改進(jìn)程的加快，教材在內(nèi)容及結(jié)構(gòu)上也日益變化，以達(dá)到素質(zhì)教育的要求。高中數(shù)學(xué)應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，同時(shí)也是新課改中重要組成部分。可是無(wú)論怎樣變更，對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題而言，解題方法永遠(yuǎn)是重要的一點(diǎn)，而眾多問(wèn)題中，含參問(wèn)題的討論則是高中數(shù)學(xué)的重中之重，它也是歷年考試中的必考內(nèi)容，并且對(duì)最近幾年的試題分析情況來(lái)看，分值略有上升趨勢(shì)。

縱觀整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)，參數(shù)問(wèn)題是一條貫穿其中的脈絡(luò)，參數(shù)與函數(shù)的定義域，值域（最值）相結(jié)合；與單調(diào)性結(jié)合；與方程問(wèn)題相結(jié)合；與恒成立問(wèn)題相結(jié)合?？芍^參數(shù)問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中無(wú)處不在。含參數(shù)問(wèn)題的討論，是訓(xùn)練和檢查學(xué)生邏輯推理能力和分析問(wèn)題能力的一種綜合題型.求解這類問(wèn)題的方法不復(fù)雜，但在一定程度上反映了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低，因此，一直為人們所重視。

作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，參數(shù)問(wèn)題在課程教學(xué)中占有重要地位。按照高中數(shù)學(xué)的教學(xué)脈絡(luò)，這部分知識(shí)與集合、簡(jiǎn)易邏輯、函數(shù)思想、微積分應(yīng)用、立體幾何、數(shù)列等都有緊密的聯(lián)系。其中新課改之后，更是把導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題的討論和解決，變?yōu)橹刂兄?。學(xué)生們學(xué)習(xí)中的思維和視野角度都變寬泛了。代數(shù)方法中關(guān)于參數(shù)問(wèn)題解析和討論，大多運(yùn)用分離參數(shù)方法，多和分類討論思想相結(jié)合。在運(yùn)用分類討論思想的時(shí)候，少有著作詳細(xì)分析常規(guī)的步驟。在代數(shù)分析的時(shí)候，大多要注意導(dǎo)函數(shù)圖象的大致形狀，導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，以及要注重根的大小的比較。教者們?cè)谥v解時(shí)也因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)多，方法多，與其他知識(shí)交匯點(diǎn)眾多，從而使得學(xué)生接受起來(lái)困難重重。關(guān)于參數(shù)討論，多和函數(shù)思想結(jié)合，這方的著作例如白建華[3]的《函數(shù)與方程思想在解題中的運(yùn)用》提出了可以把函數(shù)中參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成方程有解問(wèn)題來(lái)解決。

集合是高中數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí)，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中，并且作為一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具在其他數(shù)學(xué)問(wèn)題中有廣泛的運(yùn)用。在高考中，它也是年年必考內(nèi)容之一。集合問(wèn)題一般有兩種類型，一是設(shè)計(jì)集合本身的問(wèn)題；二是以集合為載體，綜合其他數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)成的綜合題。而前者也經(jīng)常含有參數(shù)問(wèn)題結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的討論思想。例如，已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且，求實(shí)數(shù)a的值。這類集合中含參問(wèn)題，要注意元素和集合的關(guān)系。在解題過(guò)程中要注意以下兩點(diǎn)：（1）必須注意對(duì)所求的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，以防與集合中元素的互異性矛盾，產(chǎn)生曾解。（2）解答過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中分類討論思想的靈活運(yùn)用，分類要注意：不重復(fù)、不遺漏、分類的標(biāo)準(zhǔn)一致。經(jīng)過(guò)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者將集合和參數(shù)問(wèn)題總結(jié)下列兩類。

一般的，集合含參問(wèn)題在解決上要注意“三化”

（1）代表元素“意義化”：代表元素反映了集合中元素的特征。解題時(shí)要緊緊抓住代表元素及其屬性，可將元素列舉，直觀發(fā)現(xiàn)，或通過(guò)元素特征，求同存異，定性分析，分清集合的類型。

（2）元素組成的“具體化”：有些集合中的元素所滿足的條件是可以簡(jiǎn)化的，易于解決。

（3）數(shù)形結(jié)合的“直觀化”。

通過(guò)集合之間的關(guān)系，來(lái)求參數(shù)的取值范圍，最終是要通過(guò)比較區(qū)間端點(diǎn)的取值來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此來(lái)確定兩個(gè)集合內(nèi)的元素，成為解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。由于集合中的參數(shù)會(huì)影響集合的性質(zhì)。多以經(jīng)常要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，也是高考的熱點(diǎn)。學(xué)生掌握分類討論思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯性和解決問(wèn)題的能力。一般來(lái)說(shuō)，絕大多數(shù)需要利用分類討論思想方法求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題都含有參數(shù)，由于參數(shù)所在范圍不同導(dǎo)致相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的變化，從而必須在各種不同的具體情境下求解問(wèn)題，這就產(chǎn)生了分類討論。

例 已知：

解：∵∴A={x|2

（1）當(dāng)a=0時(shí)，B為空集，不符合條件要求。

當(dāng)a>0時(shí)，B={x|a

當(dāng)a<0時(shí)，B={x|3a

所以當(dāng)時(shí)，集合A是集合B的真子集。

（2）要滿足

當(dāng)a>0時(shí)，B={x|a

當(dāng)a<0時(shí)，B={x|3a

綜上所述，

（3）要滿足顯然當(dāng)a>0且a=3時(shí)成立，因?yàn)榇藭r(shí)B={x|3

“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)是用文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言對(duì)對(duì)象關(guān)系的抽象描述，表達(dá)信息具有精確性和歷時(shí)性特性，思維特征顯示為邏輯性；形則是用圖形語(yǔ)言對(duì)對(duì)象關(guān)系的直觀展現(xiàn)，表達(dá)信息具有共時(shí)性特征。數(shù)形結(jié)合，不僅是一種有效的解題方法，更是一種重要的數(shù)學(xué)思想和思維方式，它兼取了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性與形的直觀性兩方面的長(zhǎng)處，是優(yōu)化解題過(guò)程的重要途徑，也是對(duì)知識(shí)和能力的集中反映。在常見(jiàn)的集合求得參數(shù)取值范圍問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)與一元二次方程等聯(lián)系，那么理解已知集合表達(dá)含義，再配用韋達(dá)定理，問(wèn)題就迎刃而解。不過(guò)在求解的過(guò)程中一定要注意討論元素的互異性！