基于仿真對(duì)比的電池等效電路模型分析*

徐佳寧，裴磊，徐冰亮，武國良，朱春波

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱150001；2.黑龍江省電力科學(xué)研究院，哈爾濱150031）

0 引 言

電池作為電動(dòng)汽車的動(dòng)力能源，從最初的鉛酸電池到鎳氫電池和超級(jí)電容，再到現(xiàn)在的鋰電池，鋰電池相比過往電池在重量和能量利用率等方面已經(jīng)取得大幅度提高。電池由于長時(shí)間使用產(chǎn)生的老化和自放電等現(xiàn)象而表現(xiàn)出了高度的非線性。電池模型則是對(duì)電池動(dòng)態(tài)特性的描述和簡化［1］。國內(nèi)外許多專家都致力研究準(zhǔn)確描述電池特性的等效模型，現(xiàn)主要包括電化學(xué)模型［2］、電池?zé)崮Ｐ停?］、藕合模型［4］、性能模型四種類型［5］。每一種等效模型都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，如何兼顧模型的復(fù)雜程度和精確程度成為當(dāng)前研究的主要問題。

等效電路模型為性能模型中的一種［5］，是目前在電池模型中既考慮簡化程度，同時(shí)也兼顧精確程度的等效模型，其使用電阻、電容和電壓源等簡單電子器件組成電路網(wǎng)絡(luò)，計(jì)算量小，精度高。文章首先對(duì)純電阻等效電路模型（Rint Model），戴維南等效電路模型（Thevenin Model），雙極化等效電路模型（Dual Polarization Model，簡稱DP模型）和分?jǐn)?shù)階等效電路模型（Fractional Order Model）中的參數(shù)進(jìn)行分析。通過Matlab，運(yùn)用最小二乘法對(duì)四種等效電路模型在HPPC測(cè)試下進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。將參數(shù)辨識(shí)后的結(jié)果代入電池端電壓公式，對(duì)比四種等效電路模型端電壓和實(shí)際實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的電池端電壓誤差和均方根誤差（RMSE）。對(duì)比分析電池SOC在整個(gè)周期，以10%為間隔，每點(diǎn)SOC下帶有RC并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等效電路模型的RMSE。以80%SOC點(diǎn)為例，證明DP等效電路模型的端電壓可以很好的重合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。最后對(duì)LiFePO4進(jìn)行FUDS工況測(cè)試，分析DP等效電路模型不同溫度下電池端電壓的誤差值，得到電池低溫特性不好的結(jié)論。

1 鋰離子電池等效電路模型

1.1 純電阻等效電路模型

純電阻（Rint Model）等效電路模型［6］較為簡單，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中包含開路電壓Uoc和電池內(nèi)阻Ro，IL為流過Ro的負(fù)載電流，Ut為模型端電壓。端電壓如公式（1）所示。

圖1 純電阻等效電路模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of Rint equivalent battery equivalent circuitmodel

這種模型的缺點(diǎn)為模型結(jié)構(gòu)過于簡單，由于電池內(nèi)部的結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，溫度或電解液濃度的變化都會(huì)引起電池內(nèi)部Ro的變化，電池內(nèi)部的特性很復(fù)雜，簡單的Rint等效電路模型很難描述其內(nèi)部特性。因此，電動(dòng)汽車領(lǐng)域很少使用這種模型。

1.2 戴維南等效電路模型

Thevenin等效電路模型在Rint等效電路模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)并聯(lián)RC網(wǎng)絡(luò)，RC網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)恰好與電池內(nèi)部極化現(xiàn)象相符合，可以很好的體現(xiàn)電池內(nèi)部動(dòng)靜態(tài)特性［7］。Thevenin等效電路模型結(jié)構(gòu)如圖2所示，主要由開路電壓Uoc、歐姆內(nèi)阻Ro和極化內(nèi)阻Rp、極化電容Cp三個(gè)部分組成，其中Rp和Cp構(gòu)成的并聯(lián)環(huán)節(jié)用來描述電池的極化現(xiàn)象［8］。端電壓如公式（2）所示。

圖2 戴維南等效電路模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of Thevenin equivalent battery circuitmodel

大量試驗(yàn)表明，當(dāng)電池有電流流過時(shí)，電池的端電壓既呈現(xiàn)了突變性，也表現(xiàn)出了漸變性，其中內(nèi)阻Ro導(dǎo)致了電池端電壓的突變性，極化電容Cp決定了電池端電壓的漸變性。相比照于Rint等效電路模型，Thevenin等效電路模型考慮了溫度等因素對(duì)模型精度的影響，而且電路結(jié)構(gòu)也不復(fù)雜，因此電動(dòng)汽車領(lǐng)域中應(yīng)用比較廣泛，但是模型在精度上還有待于提高。

1.3 雙極化等效電路模型

分析鋰離子動(dòng)力電池的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)明顯的極化現(xiàn)象。通常在要求不高的情況下，電池的極化特性可以由Thevenin等效電路模型模擬。然而，電池內(nèi)部的濃差極化和電化學(xué)極化對(duì)電池的充放電效率有很大影響［9］，使得Thevenin等效電路模型對(duì)電池的充電初期和充電后期的模擬均不準(zhǔn)確。在此基礎(chǔ)上重新改進(jìn)得到的電路模型，被定義為DP等效電路模型。它對(duì)于電池內(nèi)部的濃差極化和電化學(xué)極化，在Thevenin等效電路模型的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)，可以精確的描述出電池的全部極化特征，該模型結(jié)構(gòu)較簡單而且與電池外特性近似程度較高，模型原理如圖3所示。

圖中Rpa、Rpc之和視為電池的極化內(nèi)阻，電池端電壓的突變性由Rpa、Cpa構(gòu)成的RC并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)體現(xiàn)，電池端電壓的漸變性由Rpc、Cpc構(gòu)成的RC并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)體現(xiàn)，前者時(shí)間常數(shù)較小，后者時(shí)間常數(shù)較大。

圖3 雙極化電路模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of DP equivalent battery circuitmodel

DP等效電路模型包括開路電壓Uoc，歐姆內(nèi)阻Ro，極化內(nèi)阻 Rpa與 Rpc，極化電容 Cpa與 Cpc。其他物理量如圖所示。由電路可以得到端電壓公式如公式（3）所示。

其中極化電流 Ipa由式（4）、式（5）得來：

運(yùn)用拉氏變換將時(shí)域函數(shù)變換到頻域函數(shù)，有：

其中：

運(yùn)用離散的方法，Rpa·Cpa電路在第k個(gè)采樣點(diǎn)的零狀態(tài)響應(yīng)為：

式中T為電流和電壓采樣周期。Rpa·Cpa電路的零輸入響應(yīng)為：

Rpa·Cpa電路在第k個(gè)采樣點(diǎn)的電壓值應(yīng)為：

極化電流Ipc同理可得到為：

1.4 分?jǐn)?shù)階模型

國內(nèi)外相關(guān)研究表明，電化學(xué)阻抗譜模型在估計(jì)電化學(xué)系統(tǒng)上有很高的精度，由于電化學(xué)阻抗譜模型的方法過于復(fù)雜，導(dǎo)致無法實(shí)時(shí)被應(yīng)用。在借鑒電化學(xué)阻抗譜模型的優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，由于很多系統(tǒng)都具有分?jǐn)?shù)特性，國外已經(jīng)有研究表明可以采用分?jǐn)?shù)階模型來估計(jì)電池的SOC。但是由于計(jì)算的復(fù)雜性，并且在實(shí)驗(yàn)過程中其歐姆電阻并不能很好收斂，該方法用于電池SOC估計(jì)還有提高改進(jìn)的空間，其模型原理圖如圖4所示，端電壓如式（14）所示。

圖4 分?jǐn)?shù)階電路模型示意圖Fig.4 Schematic diagram of fractional order equivalent battery circuitmodel

2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

文章試驗(yàn)對(duì)象為容量為5 Ah的磷酸鐵鋰電池，其基本參數(shù)如表1所示。

表1 電池參數(shù)表Tab.1 Battery parameters

試驗(yàn)平臺(tái)如圖5所示，包括一臺(tái)高低溫實(shí)驗(yàn)箱（溫度范圍為-50℃～150℃）、Arbin-BTS2000專用電池檢測(cè)設(shè)備（電流和電壓輸出精度和分辨率分別為±0.1%和±0.01%）和一臺(tái)內(nèi)置實(shí)驗(yàn)測(cè)試軟件的電腦主機(jī)。

圖5 電池測(cè)試臺(tái)示意圖Fig.5 Schematic diagram of battery test bench

HPPC測(cè)試，即在允許的充放電電壓范圍內(nèi)，以確定電池動(dòng)態(tài)特性為目的的脈沖充放電測(cè)試，用于等效電路模型參數(shù)辨識(shí)和精度對(duì)比分析。將電池放置于溫箱中，直至電池到達(dá)平衡狀態(tài)（通常6 h以上）。對(duì)電池以1/3 C進(jìn)行恒流充電，到截止上限電壓時(shí)停止充電，靜置1 h。調(diào)節(jié)電池所需電池測(cè)試溫度，將電池放入溫箱中靜置6 h。對(duì)電池以1/3 C的電流恒流放電，電池SOC減小10%后靜置2 h。對(duì)電池以1/2 C的電流恒流放電10 s，然后靜置40 s。以電池以1/2 C的電流恒流充電10 s，然后靜置60 s。重復(fù)上述脈沖充放電步驟，當(dāng)電池SOC=0.1時(shí)，停止充放脈沖充放電驗(yàn)。對(duì)電池以1/3 C恒流放電，當(dāng)?shù)浇刂闺妷簳r(shí)停止放電，將電池靜置2 h后實(shí)驗(yàn)全部結(jié)束。實(shí)驗(yàn)過程中HPPC測(cè)試的電流和電壓變化情況如圖6所示，采樣間隔是1 s。

圖6 HPPC電流及電壓變化圖Fig.6 Current and the voltage vs.time profile of HPPC

FUDS工況測(cè)試作為美國城市運(yùn)行工況的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)常被用在仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中，來評(píng)估車輛的性能、控制策略的效果和SOC估算方法等，現(xiàn)在已經(jīng)被全世界的許多實(shí)驗(yàn)室用于實(shí)驗(yàn)仿真分析。FUDS測(cè)試一般情況下是針對(duì)動(dòng)態(tài)電流中的一段進(jìn)行充放電，當(dāng)電池電量減少到預(yù)定值時(shí)停止。電流段的選擇可以按照測(cè)試規(guī)范的要求和系統(tǒng)限制按比例進(jìn)行縮放。FUDS完的一個(gè)循環(huán)周期為1 372 s，它在循環(huán)過程中的電流及電壓變化如圖7所示。

圖7 FUDS電流及電壓變化圖Fig.7 Current and the voltage vs.time profile of FUDS

3 參數(shù)辨識(shí)

基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)比模型精度需要對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。參數(shù)辨識(shí)即為實(shí)驗(yàn)結(jié)束后對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的過程，文章采用最小二乘法（LS）對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。LS算法的原理為根據(jù)觀測(cè)值對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，當(dāng)計(jì)算結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)值之差的平方和最小時(shí)，所求參數(shù)為最優(yōu)估計(jì)。

4 試驗(yàn)結(jié)果分析

在HPPC測(cè)試下，分別對(duì)上述四種模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，將基于模型得到電池端電壓與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差和RMSE進(jìn)行對(duì)比分析，如圖8所示。

圖8 HPPC測(cè)試下電池端電壓誤差RMSEFig.8 Error and RMSE in the HPPC test

圖8表明，第一項(xiàng)Rint模型的最大電壓誤差明顯高于其他三種模型，最小電壓誤差也大于其他三種模型；圖中第三項(xiàng)為具有二階RC網(wǎng)絡(luò)的DP等效電路模型，其在誤差和RMSE中均優(yōu)于圖中第二項(xiàng)只有一階RC網(wǎng)絡(luò)的Thevenin等效電路模型。由圖8中還可以看出DP模型和圖中第四項(xiàng)分?jǐn)?shù)階模型都具有良好的估計(jì)精度，并且都擁有相對(duì)較小的RMSE，但是分?jǐn)?shù)階模型只是初步的嘗試階段，很多技術(shù)并不成熟，目前其結(jié)果在SOC估計(jì)中效果并不理想。

將帶有RC網(wǎng)絡(luò)的三個(gè)等效電路模型在整個(gè)電池SOC周期范圍內(nèi)進(jìn)行對(duì)比分析，如圖9所示。圖中可以看出帶有0階RC的Rint等效電路模型在整個(gè)周期內(nèi)的RMSE均遠(yuǎn)大于帶有一階RC網(wǎng)絡(luò)的Thevenin等效電路模型和帶有二階RC網(wǎng)絡(luò)的DP等效電路模型。DP等效電路模型在整個(gè)周期內(nèi)的RMSE值均為最小，說明DP等效電路模型的精度最高。從圖中還可以看出，在電池SOC為0%～10%范圍內(nèi)，三個(gè)等效電路模型的RMSE均比其他任何階段的值高出很多。這說明，當(dāng)電池進(jìn)行深度放電時(shí)等效電路模型的精度會(huì)驟降。因此，在電池進(jìn)行充放電過程中應(yīng)避免對(duì)電池進(jìn)行深度放電。另外，如何對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)來增加SOC在較低范圍內(nèi)的估算精度，也是未來電池等效電路模型研究的重點(diǎn)。

圖9 SOC所有范圍內(nèi)的電壓RMSE對(duì)比Fig.9 Voltage RMSE comparison in the entire SOC range

文章以80%SOC處為例，圖10為DP等效電路模型的端電壓與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線，其中藍(lán)色為基于模型的估計(jì)值，紅色為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)真實(shí)值。從圖中可以看到DP等效模型可以很好的模擬真實(shí)曲線，具有很好的精度。

如圖11所示，文章在FUDS測(cè)試下基于DP等效電路模型分別在10℃、30℃和50℃對(duì)模型的端電壓誤差進(jìn)行對(duì)比。

圖10 DP模型端電壓估計(jì)曲線Fig.10 Estimation curve of terminal voltage cycles of DPmodel

圖11 FUDS測(cè)試下不同溫度端電壓誤差Fig.11 Error under different temperatures in FUDS test

從圖中可以看出溫度對(duì)電池模型的精度有影響，同時(shí)也說明電池的低溫特性不是很好，必須在合適的溫度下才能有較好的精度。當(dāng)電池溫度較高時(shí)，電池活性增加，能量能夠得到有效的輸出，表現(xiàn)為充放電效率提高，但電池長時(shí)間處于高溫環(huán)境下，安全性和使用壽命都會(huì)降低；當(dāng)電池處于低溫情況下，其充放電效率又會(huì)明顯降低，而且在低溫環(huán)境下，Li+的脫嵌能力也會(huì)下降，為了防止Li+的沉積造成安全隱患，在低溫環(huán)境下必須減小電池的充放電電流。所以在充放電試驗(yàn)中，需要將電池放置在合適的溫度下才能保證電池SOC的準(zhǔn)確測(cè)量。

4 結(jié)束語

如何確定電動(dòng)汽車的SOC和繼續(xù)行駛能力，需要合適的等效模型對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。文章針對(duì)通過物理模型準(zhǔn)確模擬電池特性的問題，對(duì) Rint，Thevenin，DP和Fractional Order四種等效電路模型進(jìn)行研究。通過HPPC測(cè)試對(duì)四種等效電路模型進(jìn)行對(duì)比分析，得到了DP等效電路模型在電池端電壓誤差和RMSE兩個(gè)方面均優(yōu)于其他三種模型的結(jié)論。在FUDS工況測(cè)試下通過仿真分析，在整個(gè)電池SOC范圍內(nèi)帶有二階RC網(wǎng)絡(luò)的DP等效模型相比帶有0階RC和一階RC的等效電路模型具有精度高，動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)，大量資料顯示，并不是帶有越多的RC網(wǎng)絡(luò)，精度就會(huì)越高，當(dāng)RC網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)達(dá)到三階以及三階以上時(shí)，模型的精度不會(huì)再有明顯提高，同時(shí)伴隨有非常大的計(jì)算量［10］。通過對(duì)不同溫度下的DP等效電路模型的誤差進(jìn)行分析，得到了溫度電池模型的精度有一定程度上影響，電池低溫特性不好的結(jié)論。綜合以上所有結(jié)果顯示，DP等效電路模型無論從模型精度還是計(jì)算量的選擇上均具有很好的表現(xiàn)，為電池SOC的準(zhǔn)確估計(jì)奠定了基礎(chǔ)。