基于一種新的混沌系統(tǒng)的動態(tài)分析和圖像顯示*

王劃，盛瀟澍，昝鵬

（上海大學(xué)電站自動化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200072）

0 引 言

近年來在各個領(lǐng)域中如：低功耗的液體混合、高性能的通信電路設(shè)計(jì)、防止電力系統(tǒng)的崩潰、人類大腦、心臟、生物醫(yī)學(xué)工程等，混沌行為被不斷發(fā)現(xiàn)，混沌理論也因此得到了長足的發(fā)展?；煦缪芯恳矎倪^去單純的揭示和刻畫混沌現(xiàn)象本身轉(zhuǎn)向理論和應(yīng)用相結(jié)合。越來越多的研究者將目光轉(zhuǎn)到了混沌系統(tǒng)，混沌生成也成為了一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作。早在1963年，著名的氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)了“蝴蝶效應(yīng)”現(xiàn)象［1］，提出了里程碑式的混沌方程。

1975年，李天巖和J.A.York聯(lián)合發(fā)表了文章《周期三蘊(yùn)含混沌》［2］，深刻揭示了從有序到混沌的演變過程。1976年，R?ssler［3］提出新的三維混沌系統(tǒng)。

1999年，Chen等［4］利用混沌反控制（Chaotification）方法成功實(shí)現(xiàn)了一個與Lorenz系統(tǒng)相似但非拓?fù)涞葍r(jià)的新混沌系統(tǒng)，即Chen系統(tǒng)。2000年，Lü等人相繼提出了Lü［5］混沌系統(tǒng)，其第二個和第三個系統(tǒng)方程都包含二次項(xiàng)。雖然Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)有類似的結(jié)構(gòu)形式，但是兩者不具有拓?fù)涞葍r(jià)性［6］。根據(jù) Celikovsky和 Vanecek［7］的定義，Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)都是對偶的混沌系統(tǒng)。對于系統(tǒng)x·=Ax+f（x），其中 A=［aij］3×3。Lorenz系統(tǒng)滿足 a12a21＞0，然而Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)滿足a12a21=0。因此在2002年，呂金虎和陳關(guān)榮等人提出了 Lorenz系統(tǒng)族［8］，其包含了Lorenz系統(tǒng)，Chen系統(tǒng)和 Lü系統(tǒng)。

2004年，Liu et al.［9］提出了三維 Liu混沌系統(tǒng)。之后，四維超混沌系統(tǒng)［10］被相繼發(fā)現(xiàn)。近年來，研究人員已經(jīng)將混沌系統(tǒng)的研究擴(kuò)展到了時滯混沌系統(tǒng)［11］。隨著非線性科學(xué)的發(fā)展，混沌理論在信號處理領(lǐng)域的應(yīng)用變得越來越廣泛，混沌和密碼學(xué)之間所具有的天然聯(lián)系和結(jié)構(gòu)上的某種相似性，為密碼系統(tǒng)的設(shè)計(jì)開拓了新思路，使得混沌密碼技術(shù)被列為現(xiàn)代密碼研究的重要前沿之一。文章提出了一種三維連續(xù)二次自治混沌系統(tǒng)。其顯示為雙螺旋吸引子。相對于Lorenz系統(tǒng)族，其具有更復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，展現(xiàn)出更加有趣的動力學(xué)特性。最后通過三種方式實(shí)現(xiàn)了混沌圖像的顯示，為混沌系統(tǒng)在圖像加密與解密方面的應(yīng)用提供了新的思路。

1 混沌系統(tǒng)的基本分析

1.1 混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性

1.1.1 混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

文章提出了一個簡單的三維連續(xù)自治常微分方程，含有三項(xiàng)二次非線性項(xiàng)，其數(shù)學(xué)模型為：

式中 a，b，c是實(shí)參數(shù)，x，y，z為狀態(tài)變量。

式（1）產(chǎn)生系統(tǒng)（1），將系統(tǒng)（1）與 Lü系統(tǒng)進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)兩者具有類似的簡單代數(shù)方程形式。但是第一個和第二個方程與對應(yīng)的Lü系統(tǒng)互為鏡像。不同于其它Lorenz族，系統(tǒng)（1）中第三方程具有兩個二次項(xiàng)，因此，將產(chǎn)生更加復(fù)雜的吸引子。

1.1.2 對稱性和不變性

分析式（1），當(dāng)（x，y，z）→（-x，-y，z）轉(zhuǎn)換時，系統(tǒng)存在不變性，所以系統(tǒng)關(guān)于z軸對稱，且對于所有的a，b，c的取值都存在這種特性。

1.1.3 耗散性及其吸引子的存在

因?yàn)椋?/p>

將式（1）代入式（2），得到 ΔV=a-c-b，即若a＜b+c時，ΔV＜0時，系統(tǒng)（1）是耗散的。當(dāng) t→∞時，V（t）=V0ea-b-c將指數(shù)收斂到零。因此，系統(tǒng)（1）會產(chǎn)生相應(yīng)的混沌吸引子。

1.1.4 平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性分析

得到混沌系統(tǒng)的三個平衡點(diǎn) l0=（0，0，0），l1=

在平衡點(diǎn)l0=（0，0，0）處，混沌系統(tǒng)的雅克比矩陣為：

其三個特征根為 λ0=a＞0，λ1=-c＜0，λ2=-b＜0，所以，平衡點(diǎn)l0為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)。

式（5）的三個特征根為 λ0=3.67+j14.35＞0；λ1=3.67-j14.35＜0；λ2=-23.34＜0，所以，平衡點(diǎn)l1和l2為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。

選擇系統(tǒng)（1）的初始值為（10，10，10），得到如圖1～圖4的混沌吸引子。其中，常微分方程的數(shù)值解采用龍格-庫塔算法，通過Matlab編程進(jìn)行求解。很明顯，下圖的混沌吸引子不同于Lorenz混沌系統(tǒng)族。

圖1 混沌吸引子（3D）Fig.1 Chaos attractor（3D）

圖2 x-y平面Fig.2 x-y phase plane

圖3 x-z平面Fig.3 x-z phase plane

圖4 y-z平面Fig.4 y-z phase plane

此外，如圖5所示，x（t）的時域波形顯示出混沌系統(tǒng)的非周期、貌似隨機(jī)的運(yùn)動軌跡。雖然系統(tǒng)的相軌圖能夠直觀的反映狀態(tài)的變化情況，判斷初步的動力學(xué)行為，但是對于復(fù)雜的動力學(xué)行為，文章采用龐加萊映射來進(jìn)一步分析和判斷，如圖6所示為系統(tǒng)的龐加萊截面，可見，在龐加萊截面的降維作用下，系統(tǒng)顯示出似隨機(jī)的分散點(diǎn)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出屬于混沌行為的分形的幾何特性。

圖5 x-t時域波形Fig.5 x-t time domain waveform

圖6 z=32龐加萊截面Fig.6 z=32poincaremapping

1.2 李亞普諾夫指數(shù)譜

系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜可有效地表征變量隨時間演化時系統(tǒng)對初值的敏感性。指數(shù)小于零說明體系的相體積在該方向上是收縮的，此方向的運(yùn)動是穩(wěn)定的。而正的指數(shù)值則表明了體系的相體積在該方向上不斷膨脹和折疊，以致吸引子中本來鄰近的軌線變得越來越不相關(guān)，從而使初態(tài)對任何不確定性的系統(tǒng)的長期行為成為不可預(yù)測，即所謂的初值敏感性。設(shè)某一系統(tǒng)的指數(shù)譜為 λ1，λ2，….λn，若系統(tǒng)具有混沌吸引子，則必須同時滿足以下條件：

（1）至少存在一個正的sLyapunov指數(shù)；

（2）至少存在一指數(shù)為0；

（3）指數(shù)譜之和為負(fù)。

李亞普諾夫指數(shù)為：

圖7所示為系統(tǒng)的李亞普諾夫指數(shù)譜，其中LE0＞0，LE1=0，LE2＜0，且滿足 LE0＜-LE2。這些特性都表明系統(tǒng)（1）滿足混沌系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)的基本要求。

圖7 李亞普諾夫指數(shù)譜Fig.7 Lyapunov index spectrum

1.3 分岔圖

選取初始狀態(tài) sx（0）=（10，10，10），系統(tǒng)的分岔圖如圖8所示，橫坐標(biāo)代表參數(shù)b，縱軸代表狀態(tài)x。

圖8 狀態(tài)x的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram of state x

當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)b發(fā)生變化時，龐加萊截面在某一個坐標(biāo)軸上的投影，即為分岔圖。如圖所示，當(dāng)b從0到1時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期性，可預(yù)測性且與初始值無關(guān)。每個周軌道都經(jīng)倍周期或Hopf分岔后產(chǎn)生激變形成各自的混沌帶；因此，當(dāng)b從1到12時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出反向倍周期分岔通向混沌的軌跡，其分岔結(jié)構(gòu)具有自相似性，這時系統(tǒng)是不可預(yù)測，且對初始值敏感，從而引發(fā)混沌現(xiàn)象。

2 圖像顯示

2.1 Matlab編程

按照上文提到的，采用龍格-庫塔算法，基于Matlab進(jìn)行編程。相對應(yīng)的程序如下，在一個目錄下存在一個主程序和一個次程序。

次程序：

主程序：

2.2 Simulik模型

Simulink是MATLAB最重要的組件之一，它提供一個動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。根據(jù)式（1）建模，如圖9所示。

圖9 Simulink模型Fig.9 Simulink model

其中，Gain為增益模塊，Sum為求和模塊，Integrator為積分模塊，Product為求積模塊，XY Graph為示波器，顯示系統(tǒng)圖像。

2.3 電路實(shí)現(xiàn)

根據(jù)式（7），采用純模擬電路，通過Multisim軟件，得到系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)仿真電路，如圖10所示。其中，放大器選擇LF347N，乘法器選擇AD633。由于實(shí)際電路系統(tǒng)中，考慮到模擬乘法器和運(yùn)算放大器的容許電壓值，確保硬件在適當(dāng)工作范圍下運(yùn)行，信號幅度不宜超過有源器件的飽和電壓，也不宜過低導(dǎo)致輸出信號失真。因此，將系統(tǒng)（1）進(jìn)行如下變換：

得到：

利用Multisim軟件對電路進(jìn)行瞬態(tài)分析，得到的混沌圖像，其仿真結(jié)果與對應(yīng)的系統(tǒng)方程的數(shù)值仿真結(jié)果一致。

3 結(jié)束語

文章提出了一個不屬于Lorenz混沌系統(tǒng)族的新三維混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)，卻能產(chǎn)生拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜的雙螺旋吸引子。最后分別進(jìn)行Matlab編程，Simulink建模，以及基于Multisim軟件的電路仿真得到相應(yīng)的混沌圖像。對進(jìn)一步深入研究一般混沌系統(tǒng)圖像顯示具有重要意義，同時也為基于混沌系統(tǒng)的圖像加密與解密的應(yīng)用提供了理論支撐。

圖10 電路設(shè)計(jì)圖Fig.10 Circuit design diagram