基于離散演化映射的DC/DC變換器混合邏輯動態(tài)建模

段翔兮，佃松宜，鄭萬里

（四川大學電氣信息學院，成都610065）

0 引 言

DC/DC變換器因其體積小、重量輕以及高效率和可靠性等優(yōu)點，被廣泛應用于數據傳輸與信息通信、航空航天、工業(yè)儀器、醫(yī)療設備、高壓直流輸電以及智能電網等領域，是電力電子技術研究的一個熱點［1］。DC/DC變換器的建模是各項研究的基礎，建立兼顧精確度和復雜度的模型是其分析設計的關鍵環(huán)節(jié)［2-4］。

離散時間模型已經成為DC/DC變換器非線性動力學分析和數字控制器設計的首選模型［5］。通常建模方法主要有狀態(tài)空間平均法、精確離散映射和近似離散迭代映射，但分別有忽略了開關特性不能真實的反映其動態(tài)特性［6-7］；運算量非常大而難以適用于數字控制場合［8］；消去了矩陣指數和積分進行了大量近似，使得模型的動力學性質明顯偏離了實際電路動力學行為的缺點［5］。離散演化映射建模方法基于哈密頓理論［9］，既保留了DC/DC變換器的動力學行為又兼顧了模型的精確度和復雜度［10］，目前此方法大多應用于機電系統(tǒng)，應用于開關功率變換器領域的建模分析非常少［11］，僅文獻［9］采用拉格朗日力學變分積分建立了Boost電路的離散演化映射模型，模型計算量小、精確度高，但是未考慮DC/DC變換器的混雜特性。由于離散的開關動作，DC/DC變換器是一個典型的連續(xù)（或離散）時間狀態(tài)變量和離散事件相互作用的混雜系統(tǒng)［12］。文獻［13］采用ν步離散法建立了DC/DC變換器在CCM模式下的分段仿射模型；文獻［14］對CCM模式下的Boost變換器進行了混合邏輯動態(tài)建模，但文獻［13-14］都未建立系統(tǒng)在DCM模式下的模型，不能完整的描述系統(tǒng)的各個工作狀態(tài)。文獻［15］引入混雜動態(tài)系統(tǒng)和切換線性系統(tǒng)的概念，研究了PWM DC/DC變換器的能控性和能觀性；文獻［16］利用混雜系統(tǒng)理論對基本DC/DC電路在CCM和DCM工作模式下進行了建模，運用最小二乘法對模型進行參數辨識，但文獻［15-16］建立的連續(xù)時間模型并未離散化，不適用于數字控制［8］。

本文將哈密頓原理和混雜系統(tǒng)理論有效的結合起來。針對Buck變換器，先依據哈密頓原理，采用變分積分器對其各個工作狀態(tài)直接離散化，得到在CCM和DCM模式下的離散演化映射模型。然后基于混雜系統(tǒng)理論，將CCM和DCM模式統(tǒng)一起來，建立了Buck變換器的混合邏輯動態(tài)模型，以描述系統(tǒng)的動態(tài)特性、切換規(guī)律和約束關系。

1 離散變分原理和混合邏輯動態(tài)系統(tǒng)

1.1 離散變分原理

離散變分原理的主要思想來源于處理力學的變分性質，在離散化的情況下保持這種變結構，并以一階（或更高階）直接離散化歐拉-拉格朗日方程。變分原理可以很容易的從連續(xù)的拉格朗日函數得到離散化的歐拉-拉格朗日方程［17］。

1.2 混合邏輯動態(tài)系統(tǒng)

MLD理論是一種應用于混雜系統(tǒng)建模的重要理論，主要思想是通過計算邏輯變量和混雜系統(tǒng)的約束構成不等式，從而確定系統(tǒng)的工作狀態(tài)。它能描述諸如分段仿射系統(tǒng)、約束線性系統(tǒng)、有限狀態(tài)機等一大類系統(tǒng)［18］?；祀s系統(tǒng)的通用MLD模型如圖1所示，圖1中的MLD模型統(tǒng)一描述了連續(xù)時間動力學系統(tǒng)和離散事件動力學系統(tǒng)，并通過數字—模擬（D/A）和模擬—數字（A/D）兩類接口獲得不同動力學系統(tǒng)間的相互聯系。其中Xc、δo、δi等都是設定的輔助邏輯變量，在模型中采用布爾量進行表示，Zi為輔助變量。

2 Buck變換器的離散演化映射模型

2.1 Buck變換器的工作模態(tài)

圖1 通用MLD模型Fig.1 General MLD model

根據Buck變換器電感電流的連續(xù)和斷續(xù)情況，工作模式可分為連續(xù)模式（CCM）和斷續(xù)模式（DCM）。工作在DCM時分為三種模態(tài)（模態(tài)1～模態(tài)3），工作在CCM時只有兩種模態(tài)（模態(tài)1～模態(tài)2），各個工作模態(tài)的等效電路如圖2所示。

圖2 Buck變換器及其等效電路圖Fig.2 Buck converter and its equivalent circuit diagram

2.2 在CCM模式下Buck變換器的離散演化映射模型

在開關功率變換器系統(tǒng)中，首先需要確定一個合適的初始開關位置參數u（即工作模態(tài)），u=0時，開關管閉合，u=1時，開關管關斷。然后分別定義Tu和Vu為電路系統(tǒng)的動能和勢能。用Fu表示電路的瑞利耗散函數，Vu，nc為非保守的勢函數［17］。對于Buck變換器，可得到以下表達式：

式中qL為電感中的循環(huán)電荷；qC為存儲在輸出電容中的電荷分別為電感電流和電容電流；常數參數L為電感；C為電容；R為負載電阻值；E為直流電源值，一個非保守的拉格朗日函數定義如下：

式中Ln，c是指保守的拉格朗日函數。運用參數法離散拉格朗日函數，可得離散的保守拉格朗日函數：

非保守力項表示為：

采用單點正交法則近似，最終耗散力可表示為：

選取自由參數α=1/2（即中點法則單步積分子），位置的迭代計算規(guī)則如下式所示：

其中 pk=（pL，k，pC，k）T和 qk=（qL，k，qC，k）T，此外

根據式（8）首先獲得qk+1的迭代表達式：

最終得到qk+1的標量形式：

式中vk=1-uk，表示開關位置參數。下一時刻的動量方程表達式進行更新：

那么，通過計算（12）式，動量方程的迭代規(guī)則可表示如下：

在Buck變換器的離散演化映射模型中，第一個狀態(tài)變量為電感中的循環(huán)電荷qL，則輸入電流表示為第二個狀態(tài)變量被定義為輸出電容的電壓，表示為x2=qC/C。最終，得到Buck變換器離散演化映射模型，其中 x1，k+1=pL，k+1，x2，k+1=qC，k+1，x1，k=pL，k為輸入電流，x2，k=qC，k為輸出電容電壓。模型如下：

2.3 在DCM模式下Buck變換器的離散演化映射模型

在DCM模式下，對于Buck變換器可得以下表達式：

按上述步驟計算得到Buck變換器在DCM模式下的離散演化映射模型：

3 基于離散演化映射的MLD模型

在MLD理論的框架下，模型包含動力學系統(tǒng)的所有運行模態(tài)，xk+1=Aaxk+BaE為三種不同模態(tài)下的系數模型表達式，a=1，2，3表示模態(tài)1，2，3。各狀態(tài)量沿用之前定義，系數矩陣為：

ul∈{0，1}，當ul為1時，開關管處于閉合狀態(tài)，當ul為0時，開關管處于斷開狀態(tài)。通過前面對Buck變換器的運行機制分析可知，當變換器工作于DCM狀態(tài)時，電感電流幅值不大于0，則可推導只有當ul＾iL≤0=1滿足時，變換器才工作于DCM狀態(tài)，則得到Buck變換器的混雜自動機模型（見圖3）。

圖3 Buck變換器的混雜自動機模型Fig.3 Hybrid automata model of a Buck converter

為了簡單起見，定義輔助邏輯變量xl∈{0，1}。當為0時，表示開關管處于關斷狀態(tài)且電感電流幅值不大于0，當為1時，表示開關管處于閉合狀態(tài)或電感電流幅值大于0?；谏鲜龆x，為便于構造MLD模型，可先將變換器的動力學系統(tǒng)模型在分段仿射理論的框架下進行描述：

將iL≤0狀態(tài)轉化為布爾量進行描述，定義δ1，k∈{0，1}，表示：

這一定義的功能，類似前面所述的模擬-數字（A/D）端口的運行機理。δ1，k同圖 1中的布爾量 δi相同。自動切換規(guī)則可以全部依靠邏輯變量進行定義：

將式（20）轉化成線性的表述形式，定義一個新的輔助邏輯變量 δ2∈{0，1}，δ2，k=1?xl，k=1∧δ1，k=1被改寫為 xl，k+1=δ2，k∨ul，k。延續(xù)同樣的方法，定義新的輔助邏輯變量 δ3∈{0，1}，δ3，k=δ2，k∨ul，k，最終得到 xl，k+1的線性表述形式：xl，k+1=δ3，k。但 δ2，k與 xl，k和δ1，k間的關系仍然是非線性，可用下述不等式組將其轉化為線性形式描述：

同樣的思路，得到 δ3，k同 δ1，k和 vl，k的線性關系：

將新定義的輔助邏輯變量代入式（18），得到：

但式（23）又產生了 ul，kxl，k這組非線性形式，因此定義輔助邏輯變量 δ4∈{0，1}，δ4，k=ul，kxl，k，則可得到線性的不等式組：

為了表示圖1中的數字-模擬（D/A）模塊，定義新的輔助變量z1和z2：

綜合式（23）和式（25），可得到如下表達式：

式（26）中描述了圖1中的連續(xù)動力學系統(tǒng)模塊?？紤]到變換器實際運行中對輸入狀態(tài)量和輸出狀態(tài)量的限制，可將（25）中非線性的表達式轉化為線性的混合整數不等式組：

式中 Mzi和 mzi，其中 i∈{1，2}，表示 zi的最大和最小值。通過上述步驟，將式（21）的分段仿射系統(tǒng)形式轉化為式（27）的帶有約束的線性系統(tǒng)形式。根據MLD理論，將系統(tǒng)的動力學模型表示為：

通過給定狀態(tài)變量xk和邏輯變量Uk的初始狀態(tài)，計算不等式組求得輔助邏輯變量δk和輔助變量Zk，確定工作模態(tài)，更新xk+1和yk輸出，到此，完成一個采樣周期的迭代運算。

4 仿真結果及分析

基于Matlab軟件搭建模擬電路，仿真參數的設置為輸入 DC 50 V，電感 L=0.05 H，電容 C=680μF，負載R=23Ω，采樣時間h為10μs，開關周期Ts為10μs，采集電感電流和輸出電壓作為狀態(tài)量。將Buck變換器的MLD模型同模擬電路進行對比，采用開環(huán)仿真驗證模型的正確性。MLD模型和近似離散迭代模型采用m程序基于C語言進行編寫，并進行對比，分析模型的精確度。

在0.2 s的時間內，實際電路、近似離散模型和基于演化映射的MLD模型的電感電流的波形如圖4所示。

圖4 電感電流對比Fig.4 Inductor current in contrast

通過對電感電流不穩(wěn)定狀態(tài)下的輸出波形放大得到如圖5所示的波形。

圖5 電感電流局部放大對比Fig.5 Inductor current zoom in contrast

當電感電流等于0時，變換器進入DCM模式，對進入DCM模式的區(qū)域放大，如圖6所示。

圖6 進入DCM模式時電感電流放大對比Fig.6 Inductor current zoom in contrast in DCM

當系統(tǒng)進入穩(wěn)定狀態(tài)時，電感電流的輸出波形如圖7所示。

圖7 穩(wěn)態(tài)下電感電流放大對比Fig.7 Inductor current of steady-state zoom in contrast

在0.2 s的時間內，實際電路、近似離散模型和基于演化映射的MLD模型的輸出電壓波形如圖8所示。

通過對輸出電壓不穩(wěn)定狀態(tài)下的波形放大得到如圖9所示的波形，對穩(wěn)定狀態(tài)下的輸出電壓波形放大見圖10。

仿真結果分析：

（1）通過與實際電路的電感電流和輸出電壓進行對比，可得所建立的基于離散演化映射的MLD模型是正確的；

圖8 輸出電壓對比Fig.8 Output voltage in contrast

圖9 輸出電壓局部放大對比Fig.9 Output voltage partial zoom in contrast

圖10 穩(wěn)態(tài)下輸出電壓局部放大對比Fig.10 Output voltage of the steady-state partial zoom in contrast

（2）模型復雜度明顯小于精確離散映射模型，計算量小；

（3）相比于近似離散迭代模型，MLD模型與實際電路電流和電壓更加接近，精確度更高；

（4）從圖6可以看出，當電感電流等于0時，變換器進入DCM模式，此時近似離散模型明顯偏離實際電路，而MLD模型能夠很好的跟蹤實際電路的電感電流，完整的描述了系統(tǒng)的各個工作模態(tài)；

（5）實際電路中電感充放電導致電流波動等原因形成高頻紋波，這一現象為DC/DC變換器固有的高頻動態(tài)特性。從圖7可以看出，MLD模型保留了DC/DC變換器固有的高頻動態(tài)特性，完整的反映了穩(wěn)態(tài)下電流高頻紋波的幅值與頻率；

（6）通過局部放大圖10可以看出，MLD模型與實際電路的輸出電壓信號的跟蹤精度達到了小數點后4位。

5 結束語

針對Buck變換器，先依據哈密頓原理，采用變分積分器對其直接離散化，得到在CCM和DCM模式下的離散演化映射模型。然后基于混雜系統(tǒng)理論，將CCM和DCM模式統(tǒng)一起來，建立了Buck變換器的MLD模型。通過仿真驗證和分析，證明了該方法的有效性，模型完整的描述了系統(tǒng)的各個工作狀態(tài)。與精確離散模型和近似離散模型相比，基于離散演化映射的MLD模型計算量小且精確度高，還反映了穩(wěn)態(tài)下電感電流紋波這一動態(tài)特性?；陔x散演化映射的MLD模型的建立為下一步變換器的非線性動力學行為分析和數字控制器的設計做好了鋪墊。