用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)注記

陳引蘭

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)注記

陳引蘭

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

由一道關(guān)于函數(shù)單調(diào)性高考題的常見(jiàn)解答錯(cuò)誤，分析出錯(cuò)的根源，給出用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性時(shí)，需要注意的一個(gè)關(guān)鍵條件。

導(dǎo)數(shù)；單調(diào)性；充要條件

1 問(wèn)題提出

應(yīng)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值、凸性及拐點(diǎn)，是研究函數(shù)圖像及其性質(zhì)的常用方法。由于高中階段函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用既是教學(xué)重點(diǎn)也是必考考點(diǎn)，通?？己诉\(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等問(wèn)題。運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，尤其對(duì)于嚴(yán)格單調(diào)的情形，有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，下面用一實(shí)例說(shuō)明。

1) 當(dāng)m=e時(shí)，求f(x)的極小值；

由于此文只討論導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，故我們只討論3)的解答。常見(jiàn)解答(分析法)如下：

2 問(wèn)題分析

解決上述問(wèn)題的本質(zhì)是用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，為此，我們先給出可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系。

定理1[1]設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上單調(diào)遞增(減)的充要條件是

f′(x)≥0(f′(x)≤0)

對(duì)于嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)刻畫(huà)的條件有所變化。

定理2[1]設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，若f′(x)>0(f′(x)<0)，則f(x)在I上嚴(yán)格單調(diào)遞增(減)。

然而，定理2的逆命題卻不成立。事實(shí)上，單個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零是不影響嚴(yán)格單調(diào)性的。如f(x)=x3在f′(0)=0，f′(x)≥0，?x∈(-∞,+∞),但f(x)在(-∞,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞增。

用導(dǎo)數(shù)刻畫(huà)的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的充要條件如下。

定理3[1]設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)上嚴(yán)格單調(diào)遞增(減)的充要條件是：

1) 對(duì)?x∈(a,b),f′(x)≥0(f′(x)≤0)；

2) 在區(qū)間(a,b)的任何子區(qū)間上f′(x)≠0.

3 問(wèn)題解決

本節(jié)根據(jù)第2節(jié)的定理分析第1節(jié)的解答。找出問(wèn)題所在，給出正確解答。

例1解答中(c)是將函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)解決，條件給的是嚴(yán)格單調(diào)遞減，而導(dǎo)數(shù)用嚴(yán)格小于零，也就是用了定理2 的逆命題，故第三步出錯(cuò)了。這是用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性最容易忽視的一個(gè)問(wèn)題，而本題分析條件，很容易忽視導(dǎo)數(shù)中取等的部分，下面給出正確解法。

正確解法的關(guān)鍵是第三步，也是易出錯(cuò)的地方，考察的是用導(dǎo)數(shù)表示嚴(yán)格單調(diào)的充要條件。

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，每年全國(guó)各地高考中，必考一道大題(可見(jiàn)歷年高考真題)，涉及函數(shù)極值最值、單調(diào)性(或不等式證明)、零點(diǎn)(或方程的根)個(gè)數(shù)，曲線的切線等，可見(jiàn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是高考必考考點(diǎn)，而這些應(yīng)用中都要考察函數(shù)的單調(diào)性。從而也是教學(xué)研究中常見(jiàn)選題[2～6]。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系． 數(shù)學(xué)分析(第4 版)[M]．北京：高等教育出版社， 2010.

[2]暢佳茹. 有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的高考試題的教學(xué)研究[D].西安：西北大學(xué),2016.

[3]徐 真. 高中生“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”學(xué)習(xí)策略研究[D].濟(jì)南：山東師范大學(xué),2015.

[4]劉 璐. 函數(shù)單調(diào)性及其在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[D].西安：西北大學(xué),2015.

[5]閆 偉. 高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)研究[D].吉林：東北師范大學(xué),2015.

[6]丁明杰. 淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 學(xué)周刊,2012,(06):122～125.

Anoteonanalysingthemonotonicityoffunctionsbyderivatives

CHEN Yin-lan

(College of Mathematics and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi 435002，China)

In this paper, a common wrong answer to the question of function monotonicity in college entrance examination questions is put forward, and the source of error is analyzed. When we analyze the monotonicity of function by derivative, we should notice a key condition.

derivatives;monotonicity;sufficient and necessary conditions

O172.1

A

2096-3149(2017)04- 0083-03

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.04.017

2017—05—11

陳引蘭(1974— )，女，湖北羅田人，副教授，碩士，主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué).