突出概念建構(gòu)過程 促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升

摘 要：蘇科版初中數(shù)學(xué)教材將無理數(shù)置前學(xué)習(xí).對于教材的這一變化，教學(xué)中概念的建構(gòu)過程要“順勢而為”，概念的建構(gòu)途徑要“問題導(dǎo)引”， 概念的建構(gòu)方式要“主體自覺”，數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升一定“可為、能為、有為”.

關(guān)鍵詞：概念建構(gòu)；素養(yǎng)提升；教學(xué)感悟

蘇科版《數(shù)學(xué)》（2012年審定）七年級上冊第二章《有理數(shù)》第二節(jié)課安排了“有理數(shù)與無理數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容.新版教材將無理數(shù)置前教學(xué)，老師們普遍感到不太適應(yīng)，甚至無法理解：剛剛?cè)胄５某跻粚W(xué)生，“知識儲備不足、無理數(shù)的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)缺乏、數(shù)學(xué)思想方法欠缺、理解有一定的困難，加之有限逼近、合情推理本身也不夠嚴(yán)密”，無理數(shù)概念怎樣建構(gòu)？基于教材的這一變化，教者如何引領(lǐng)學(xué)生有效建構(gòu)無理數(shù)概念，并落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)？筆者曾就本節(jié)課開設(shè)一節(jié)研討課，懇請同行指教.

一、教材分析

前一節(jié)課，同學(xué)們學(xué)習(xí)了正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義，完善了整數(shù)、分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)，對數(shù)系進(jìn)行了擴(kuò)充.本節(jié)課一是學(xué)習(xí)有理數(shù)概念；二是知道無理數(shù)的含義，對數(shù)系繼續(xù)進(jìn)行擴(kuò)充.這樣的內(nèi)容安排是基于知識學(xué)習(xí)和思維發(fā)展的需要，是由“正→負(fù)”到“有理→無理”的合理聯(lián)想.這樣的安排也為后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)軸、理解數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)并不都是有理數(shù)、數(shù)系的完善以及今后進(jìn)一步探索和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)展數(shù)學(xué)思維等奠定基礎(chǔ).當(dāng)然，這樣的安排也為小學(xué)學(xué)習(xí)的圓周率π找到了“家”.

本節(jié)課無理數(shù)的學(xué)習(xí)是一個難點(diǎn).一方面，學(xué)生已有的生活現(xiàn)實(shí)、學(xué)習(xí)過程中與無理數(shù)相關(guān)的信息不多（僅在圓周長、圓面積學(xué)習(xí)時對圓周率有所感知）.另一方面，對無限的研究方法缺失.本節(jié)教材，編者選用了兩個邊長為1的正方形，將其剪拼成一個面積為2的大正方形的活動，讓學(xué)習(xí)者感受無理數(shù)的存在性；接著通過列舉、逼近等方式感受大正方形的邊長不能寫成分?jǐn)?shù)形式，其值為一個無限不循環(huán)小數(shù)，從而給出無理數(shù)的概念.最后，通過圓周率、構(gòu)造的無限不循環(huán)小數(shù)感受無理數(shù)的存在性和多樣性，深化無理數(shù)的認(rèn)識和理解.當(dāng)然，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)是一個艱辛的過程，更是古希臘數(shù)學(xué)家希伯斯用生命換來的.本節(jié)課還可利用相關(guān)故事，讓同學(xué)們感受科學(xué)家們探究真理、捍衛(wèi)真理的科學(xué)精神.

數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)一方面讓學(xué)習(xí)者知曉所學(xué)的知識，另一方面讓學(xué)習(xí)者參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程，在自主參與、思考、探究的過程中，逐步形成數(shù)學(xué)的思想方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)精神，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).為此，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）對已學(xué)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)進(jìn)行分析，猜想是否存在不能表示成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)；從小數(shù)的角度猜想是否存在有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)以外形式的小數(shù).

（2）經(jīng)歷面積為2的正方形邊長的分析，感受其值不能表示成分?jǐn)?shù)形式且具有無限不循環(huán)的特征.

（3）經(jīng)歷分析、比較、歸納、猜想等活動，理解有理數(shù)、無理數(shù)的概念，感受數(shù)系的擴(kuò)充過程，通過無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)以及π等無理數(shù)小數(shù)位置值有關(guān)的故事，感受數(shù)學(xué)家探索真理、堅持真理的科學(xué)精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和熱情.

二、教學(xué)過程

（一）情境創(chuàng)設(shè) 引入新課

活動一：寫幾個具體的整數(shù)和分?jǐn)?shù)（注意多樣性和代表性），并思考下列問題：

（1）你能把這些數(shù)寫成兩個整數(shù)比的形式嗎？試一試，用語言歸納你的發(fā)現(xiàn).

（2）你能把所寫的這些數(shù)化成小數(shù)形式嗎？試一試，把你的結(jié)論與同學(xué)交流.

（3）下列小數(shù)你能寫成分?jǐn)?shù)的形式嗎？把你的結(jié)論與同學(xué)交流一下.（如有困難請參考課本第17頁讀一讀） 0.3，-3.2，3.11，0.333……，0.2666…….

預(yù)設(shè)意圖：通過本組問題的自主思考和交流研討，復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的整數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義.經(jīng)歷和感受：整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以寫出分?jǐn)?shù)（m，n是整數(shù)，n≠0）的形式；有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)；整數(shù)、分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù).通過獨(dú)立思考、交流合作、歸納總結(jié)，培養(yǎng)思考力、合作意識和語言的表達(dá)力.

（二）新知探索 合理建構(gòu)

活動二：想一想，猜一猜

我們學(xué)過的小數(shù)有有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)，會不會存在其他形式的小數(shù)？如果有，你能寫幾個出來？與同學(xué)交流一下.

預(yù)設(shè)意圖：本組活動意在引領(lǐng)學(xué)生分析小數(shù)的特征，繼而猜想小數(shù)中可能包含無限不循環(huán)特征的一類小數(shù)，并通過交流合作構(gòu)造這樣的數(shù)，如0.1010010001……（兩個1之間依次增加一個0）等初步感受無限不循環(huán)小數(shù)的存在.培養(yǎng)分類意識、創(chuàng)新意識.

活動三：拼一拼，議一議

如圖1，將兩個邊長為1的小正方形，沿圖中的虛線剪開，拼成一個大正方形.

（1）將你拼出的圖形畫出來，并與同學(xué)交流.

（2）如果設(shè)大正方形的邊長為a，

探索：① a是整數(shù)嗎？說說你的看法和理由；

② a是分母為2的分?jǐn)?shù)嗎？說說你的想法；a是分母為3的分?jǐn)?shù)嗎？說說你的想法……

③ a是哪個范圍內(nèi)的數(shù)？說說你的看法和理由；你會估計a的整數(shù)部分？十分位？百分位？……

（3）依據(jù)（2）中探究，你能描述關(guān)于a的一些結(jié)論嗎？說給同學(xué)聽一聽.在小學(xué)里你遇到過具有這一特征（無限不循環(huán)）的數(shù)嗎？你能介紹與之相關(guān)的信息嗎？

預(yù)設(shè)意圖：本組活動意在引領(lǐng)學(xué)生動手進(jìn)行拼圖實(shí)踐，然后對面積為2的大正方形的邊長a進(jìn)行探索，從直角三角形斜邊最長、三角形兩邊之和大于第三邊、兩點(diǎn)之間線段最短或12=1、22=4等多種角度分析a不是整數(shù)，通過分母為2，3，4……的分?jǐn)?shù)平方的計算，感受a也不是分?jǐn)?shù)；通過測量及a的范圍確定來感受a是一個小數(shù)；然后利用平方計算逐步估計和探索其整數(shù)部分、十分位、百分位……的數(shù)值；借助對a的一些結(jié)論的描述，學(xué)會正確表達(dá)數(shù)學(xué)信息：a不是整數(shù)、a不是分?jǐn)?shù)、a是小數(shù)、a是無限不循環(huán)小數(shù)等；通過圓周率及其相關(guān)信息，感受無限不循環(huán)小數(shù)的存在和前人所做的一些貢獻(xiàn).滲透逼近、合情推理等數(shù)學(xué)思想方法，感受理性精神，培養(yǎng)數(shù)學(xué)之情.endprint

活動四：分一分，議一議

（1）小數(shù)可以分為哪幾類？

（2）整數(shù)、分?jǐn)?shù)可以化成何種小數(shù)？

預(yù)設(shè)意圖：本組活動意在引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)有理數(shù)、無理數(shù)的概念，形成數(shù)的分類結(jié)構(gòu)圖式.

（三）應(yīng)用反饋 深化理解

活動五：練一練，辨一辨

1.將下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號內(nèi)： -6，9.3，-，42，0，-0.33，0.333……，，1.41421356，-2π，3.3131131113……，

-3.1415926，0.1010010001.

正數(shù)集合：{ …}；負(fù)數(shù)集合：{ …}；有理數(shù)集合：{ …}；無理數(shù)集合：{ …}.

2.判斷下列說法是否正確：

（1）分?jǐn)?shù)是有理數(shù)（ ）； （2）正數(shù)是有理數(shù)（ ）；（3）無限小數(shù)是無理數(shù)（ ）；（4）無理數(shù)是無限小數(shù)（ ）.

預(yù)設(shè)意圖：本組練習(xí)主要是對有理數(shù)、無理數(shù)的概念等進(jìn)行應(yīng)用，并通過交流，深化概念的認(rèn)識和理解.

（四）反思回顧 整體建構(gòu)

1.說說你對有理數(shù)、無理數(shù)的認(rèn)識，本節(jié)課我們是如何研究它們的？

2.無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的故事（希伯斯）.

（五）分層作業(yè) 學(xué)力延伸

1.必做：《同步練習(xí)》.

2.選做：若a2=3，a也是一個無理數(shù)，探一探其整數(shù)部分、十分位、百分位的數(shù)值.

三、教學(xué)感悟

（一）概念建構(gòu)——“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”

數(shù)學(xué)概念的形成過程本身就蘊(yùn)藏了極其豐富的數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)文化背景.“重概念內(nèi)容，輕概念形成過程的教學(xué)活動”，難以觸及深度思維，難以構(gòu)建不易遺忘的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).弗賴登塔爾（荷蘭）十分重視學(xué)習(xí)者“數(shù)學(xué)化”的方式和過程，倡導(dǎo)學(xué)習(xí)過程的“再創(chuàng)造”，以此促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

1.概念的建構(gòu)過程要“順勢而為”——“取勢”

“順勢而為.”一是要關(guān)注“學(xué)生已有的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的生活和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)” [1]，找準(zhǔn)知識生長的起點(diǎn)，順“認(rèn)知基點(diǎn)”之勢而行；二是要關(guān)注學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，找準(zhǔn)思維能及之處，順“思維可及”之勢而行；三是要關(guān)注教材編寫意圖，找準(zhǔn)教材的“明線”（知識線）、暗線（素養(yǎng)線），順“教材脈絡(luò)”之勢而行.本節(jié)課教學(xué)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù).“將整數(shù)、分?jǐn)?shù)化成兩個整數(shù)之比”“整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化”等正是學(xué)生“認(rèn)知的基點(diǎn)”所在.本節(jié)課的學(xué)習(xí)從這里起步，順乎自然，走得踏實(shí)；引入負(fù)數(shù)后，整數(shù)、分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，從“正”到“負(fù)”的數(shù)系的擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)，自然會從“有理”向“無理”聯(lián)想；基于小數(shù)的類別：有限小數(shù)、無限小數(shù)完善的角度，由無限小數(shù)中的“循環(huán)”特征聯(lián)想、猜測“不循環(huán)”一類的存在.圓周率便為學(xué)生們提供了猜想之源，順“思維可及”之勢，依“最近發(fā)展區(qū)”而行，學(xué)得扎實(shí)；教材編寫從“有理”到“無理”，從拼圖操作到數(shù)值估算，從直接感知到理性構(gòu)造以及蘊(yùn)含的“數(shù)感”“直觀”“運(yùn)算”“估值”“猜想”“聯(lián)想”“分類”“類比”等素養(yǎng)的養(yǎng)成也是編者的意圖.這也為本節(jié)課提供了“脈絡(luò)”之勢，順其而行，走得堅實(shí).

2.概念的建構(gòu)途徑要“問題導(dǎo)引”——“明道”

“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”學(xué)習(xí)自疑問開始，概念的建構(gòu)也不例外.以疑引思、釋疑求道、反思升華，達(dá)到“知其然，知其所以然”的境界.“問題導(dǎo)引”是概念建構(gòu)的有效途徑：問題引發(fā)學(xué)生的自主思考和主動探究的欲望；問題串引領(lǐng)學(xué)生的思考和認(rèn)識步步深入；多角度、多層次、多方位的探索，讓解決問題的路徑和策略不斷優(yōu)化，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展；反思?xì)w納總結(jié)促進(jìn)數(shù)學(xué)新概念有效生成.本節(jié)課教者首先通過三個問題引領(lǐng)學(xué)生探索建構(gòu)整數(shù)與分?jǐn)?shù)、整數(shù)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系；然后通過問題“學(xué)過的小數(shù)有有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)，會不會存在其他形式的小數(shù)？”引發(fā)學(xué)生思考和猜想；接著利用面積為2的正方形邊長的一組具有探索性的問題串，將學(xué)生的思考引向深入，直指無理數(shù)的本質(zhì)特征——“無限不循環(huán)”；最后用小數(shù)分類的問題，引導(dǎo)學(xué)生完成有理數(shù)和無理數(shù)的建構(gòu)；練一練、辨一辨的問題研討讓概念理解得到升華.問題雖多，但逐層推進(jìn)；問題雖細(xì)，但思考深刻.“問題導(dǎo)引”讓概念理解更加透徹.

3.概念的建構(gòu)方式要“主體自覺”——“優(yōu)術(shù)”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者積極參與、主動建構(gòu)的過程.優(yōu)化教學(xué)策略、變革教學(xué)行為，以“學(xué)”為中心、以學(xué)生為主體、基于生成的課堂是喚起學(xué)習(xí)者“主體自覺”意識以及概念建構(gòu)的重要方式.數(shù)學(xué)情境和活動設(shè)置要基于學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知水平、認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、興趣特點(diǎn)以及其與本課內(nèi)容的聯(lián)系等諸多方面.教學(xué)過程的推進(jìn)以問題導(dǎo)引，營造自主探究、交流討論氛圍；問題的設(shè)置具有層次性、思考性、引導(dǎo)性；交流活動要關(guān)注及時性、參與度、疑惑點(diǎn)，把生成落到實(shí)處；評價方式注重激勵性、多樣性、適切性.學(xué)生積極參與概念建構(gòu)的過程，親身經(jīng)歷探索的活動，感受數(shù)學(xué)探究的酸甜苦辣；主動參與簡約、嚴(yán)密、精致的數(shù)學(xué)概念、符號、公式、法則的“創(chuàng)造”過程，收獲數(shù)學(xué)家般創(chuàng)造的喜悅，享受“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)之美的精彩，領(lǐng)略博大精妙的數(shù)學(xué)文化.本節(jié)課以活動為依托，引發(fā)學(xué)生自主觀察、獨(dú)立思考、共同討論.從數(shù)的不同表述形式之間聯(lián)系的探索到小數(shù)類別的不完美感覺，從合情猜想到“面積為2的正方形邊長是怎樣的一個數(shù)”的逼近探索，從問題探究到結(jié)論歸納完善等諸方面激發(fā)學(xué)生主動參與的熱情，盡情發(fā)揮主體的想象力和創(chuàng)造力.建構(gòu)“主體自覺”課堂，讓概念的生成過程主動而積極、靈動而深刻.

（二）素養(yǎng)提升——“可為、能為、有為”

數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)是育人，載體是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容.數(shù)學(xué)文化的傳承、數(shù)學(xué)精神的培育、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成是數(shù)學(xué)育人的核心任務(wù).數(shù)學(xué)教與學(xué)的生態(tài)決定了育人達(dá)到的高度.章建躍教授一直倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教師要在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”上下足功夫.“理解數(shù)學(xué)”就是需要教師挖掘數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的價值觀資源，并以與學(xué)生智力發(fā)展水平相適應(yīng)的方式表達(dá)出來.以恰當(dāng)?shù)姆绞絺鬟_(dá)給學(xué)生，就能有效地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人目標(biāo).“理解學(xué)生”的核心就是需要教師理解學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律和情感發(fā)展規(guī)律，把握“以學(xué)定教”策略.“理解教學(xué)”就是需要教師準(zhǔn)確認(rèn)識和運(yùn)用數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律，具有敏銳的教學(xué)機(jī)智[2].

教材編者將無理數(shù)概念的學(xué)習(xí)任務(wù)從《數(shù)的開方》前移至有理數(shù)一章，并把無理數(shù)概念與有理數(shù)概念安排在同一課時學(xué)習(xí).這一編排與老師們以前學(xué)習(xí)或執(zhí)教這部分內(nèi)容的順序不同，“不適應(yīng)，甚至不能理解”都屬正常.當(dāng)然，在不同學(xué)段學(xué)習(xí)者已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和水平不同，教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式也自然會發(fā)生變化.因此，教學(xué)達(dá)成的目標(biāo)也要調(diào)整.深入理解教材編寫意圖，準(zhǔn)確把握這部分教學(xué)內(nèi)容的“度”，合理安排好無理數(shù)概念的有效建構(gòu)活動顯得尤為關(guān)鍵.本節(jié)課教學(xué)觀摩后，聽課的老師們感到耳目一新，收獲多多.概念課也好，習(xí)題課復(fù)習(xí)課也好，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動也罷，設(shè)置合理的教學(xué)過程，組織合適的學(xué)習(xí)路徑[3]，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅可以為，而且能夠?yàn)?，最終大有作為.讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成和理性精神的培養(yǎng)在每一節(jié)課落地生根是數(shù)學(xué)課堂的永恒追求.

參考文獻(xiàn)：

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[3]錢德春，呂同林.初中數(shù)學(xué)情理交融課堂教學(xué)的實(shí)踐研究開題報告[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2014（8）：55-58.endprint