基于半?yún)?shù)最小二乘核估計的衛(wèi)星精密鐘差預(yù)報方法

徐長海，許東升

(宿州學(xué)院，安徽 宿州 234000)

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基于半?yún)?shù)最小二乘核估計的衛(wèi)星精密鐘差預(yù)報方法

徐長海，許東升

(宿州學(xué)院，安徽 宿州 234000)

研究半?yún)?shù)最小二乘核估計模型在精密鐘差預(yù)報中的應(yīng)用問題，提出一種基于時間自變量差值累加的窗寬參數(shù)計算模型，并通過實驗驗證該模型的有效性，討論在不同預(yù)報時間長度和已知數(shù)據(jù)量的情況下模型預(yù)報精度。實驗表明，與常規(guī)模型相比，半?yún)?shù)最小二乘核估計模型在預(yù)報精度與穩(wěn)定性方面都取得較好的效果，可以滿足精密單點定位對于精密鐘差預(yù)報的精度要求。研究成果對于精密單點定位技術(shù)的推廣普及具有一定的促進作用。

精密鐘差；半?yún)?shù)；最小二乘核估計；鐘差預(yù)報

在精密單點定位過程中，需要用到精密鐘差產(chǎn)品，但是由于鐘差發(fā)布具有一定的延遲，且鐘差的密度一般只有5 min或30 s，因此在使用過程中必須根據(jù)已有的鐘差產(chǎn)品進行加密和預(yù)報。目前，對于鐘差的預(yù)報模型一般多為一些參數(shù)模型，如二次多項式模型，它將鐘差表示為時間二階多項式函數(shù)。這類參數(shù)模型結(jié)構(gòu)簡單，回歸結(jié)果可以外推，使用方便，但是由于回歸形式固定，往往回歸效果不太理想[4-9]。

半?yún)?shù)回歸模型是20世紀(jì)80年代發(fā)展起來的一種重要的統(tǒng)計模型，表達了與觀測值有關(guān)系參數(shù)，與觀測值關(guān)系目前尚不清楚的因素用非參數(shù)回歸加以處理，既保證了模型的解釋能力，又獲得了較好的回歸精度[1-3]。

本文首先用半?yún)?shù)回歸模型計算出二次多項式模型的三個參數(shù)和模型誤差，然后用半?yún)?shù)最小二乘核估計對預(yù)報鐘差的模型誤差進行回歸計算，再將本文建立模型誤差計算結(jié)果與常規(guī)模型計算出的參數(shù)回歸結(jié)果相加，得到精密鐘差的預(yù)報值。

1 半?yún)?shù)回歸模型[2-3]

根據(jù)參考文獻[3]和[4]，補償最小二乘模型的解為

式中：S=(P+αR)-1P，S被稱為光滑矩陣；I是n×n階單位矩陣；

H=B(BTPB)-1BTP.

半?yún)?shù)模型估計關(guān)鍵的因素在于如何確定正規(guī)化矩陣R與光滑參數(shù)α，在后面的計算過程中R取相鄰三觀測點模型誤差之差的平方和。

對于光滑參數(shù)α的計算采用Hansen and O’Leary(1993)提出的L曲線法，即當(dāng)L曲線上的點αD到原點的距離為最小時的α，滿足

sn2(αD)+vn2(αD)=min.

(6)

2 最小二乘核估計[3]

要利用式(1)進行鐘差的外延預(yù)測計算，必須解決任意時刻tk非參數(shù)s(tk)的估計問題，選定概率密度核函數(shù)K(·)以及相應(yīng)的窗寬參數(shù)h(h>0)，定義tk時刻的核權(quán)函數(shù)Wi(tk)為

(8)

對于概率密度核函數(shù)K(·)以及相應(yīng)的窗寬參數(shù)h(h>0)的選擇對核估計性能的好壞有很大影響，核函數(shù)的種類有很多種，文中計算所采用的核函數(shù)形式為

3 算例分析

由(1)式可得精密鐘差預(yù)報計算式為

(10)

采用IGS發(fā)布的2015-09-01T00-00～2015-09-07T23 h55 min分采樣密度為5 min的最終精密鐘差，選擇G02,G04,G14三顆衛(wèi)星9月4日10時0分(為敘述方便，后面將此時刻稱為邊界時刻)之前的數(shù)據(jù)為已知鐘差預(yù)報，9月4日10時0分之后的衛(wèi)星鐘差。

3.1 窗寬參數(shù)h的選擇

在給定樣本數(shù)據(jù)和概率密度核函數(shù)K(·)的情況下，核估計性能的好壞很大程度取決與窗寬參數(shù)的選擇適當(dāng)與否，窗寬參數(shù)過大或過小都會導(dǎo)致核估計出現(xiàn)問題，在此，提出了一種基于時間自變量差值累加的窗寬參數(shù)計算模型：

(11)

式中:n為已知數(shù)據(jù)個數(shù)，m為未知數(shù)據(jù)個數(shù)，用邊界時刻前2 h的鐘差數(shù)據(jù)作為樣本，預(yù)報邊界時刻之后4 h鐘差，此時根據(jù)提出模型計算的窗寬參數(shù)hs=21 900，為驗證該窗寬參數(shù)計算模型的有效性，分別采用不同的窗寬參數(shù)對三顆衛(wèi)星鐘差預(yù)報的中誤差進行計算，計算結(jié)果如表1所示。

表1 不同窗寬參數(shù)鐘差預(yù)報中誤差 ns

從表1中可以看出，當(dāng)窗寬參數(shù)選擇過小時，核估計就會失效；當(dāng)窗寬參數(shù)足夠大時，不同窗寬參數(shù)的計算結(jié)果相差不大；模型計算出的窗寬參數(shù)有效。

3.2 預(yù)報精度與預(yù)報時長的關(guān)系

使用G14號衛(wèi)星邊界時刻前2 h的已知精密鐘差作為樣本，預(yù)報未來1 h，2 h，4 h，8 h內(nèi)的鐘差，計算結(jié)果如圖1所示。

(a)1 h預(yù)報誤差

(b)2 h預(yù)報誤差

(c)4 h預(yù)報誤差

(d)8 h預(yù)報誤差

從圖1可以看出，二階多項式鐘差預(yù)報模型存在明顯的系統(tǒng)誤差，與之相比，半?yún)?shù)最小二乘核估計對于系統(tǒng)誤差的消除效果較好，預(yù)報精度提高顯著。不同預(yù)報時長計算結(jié)果如表2所示。

表2 不同預(yù)報時長計算結(jié)果 ns

從表2中的數(shù)據(jù)對比可以看出，半?yún)?shù)最小二乘核估計的預(yù)報精度大大高于二階多項式，2 h內(nèi)的預(yù)報精度可以達到亞納秒級，可以滿足精密單點定位對于鐘差精度的要求。

3.3 預(yù)報精度與樣本數(shù)據(jù)量的關(guān)系

分別采用G14號衛(wèi)星邊界時刻前2 h，4 h，6 h，8 h的已知精密鐘差作為樣本，預(yù)報未來2 h衛(wèi)星鐘差，計算結(jié)果如表3所示。

表3 不同已知鐘差時長計算結(jié)果 ns

由表3中的計算結(jié)果可以看出，隨著樣本數(shù)據(jù)量的增加，兩種模型的預(yù)報精度都會提高，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)量增大到一定的時候，再增加樣本數(shù)據(jù)量預(yù)報精度反而會下降；與二階多項式預(yù)報模型相比，半?yún)?shù)核估計預(yù)報精度受樣本數(shù)據(jù)量影響較小，預(yù)報精度穩(wěn)定。

4 結(jié) 論

1)通過實驗，文中提出的基于自變量差值累加的窗寬參數(shù)計算模型的可靠性與有效性得到了證明；

2)在小樣本數(shù)據(jù)的情況下，基于半?yún)?shù)最小二乘核估計的鐘差預(yù)報精度要高于二階多項式預(yù)報模型；

3)基于半?yún)?shù)最小二乘核估計的鐘差預(yù)報精度受樣本數(shù)據(jù)量影響較小，預(yù)報精度穩(wěn)定性好。

文中提出的窗寬參數(shù)計算模型性能只是通過實驗的手段加以驗證，并未從理論上證明，這是下一步需要繼續(xù)研究的方向。

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[責(zé)任編輯：李銘娜]

Forecasting method of satellite precision clock difference based onsemi-parametric least square kernel estimating

XU Changhai,XU Dongsheng

(Suzhou University,Suzhou 234000,China)

This paper studies the application of semi-parametric least square kernel estimating model to the precision clock difference prediction,puts forward a calculation model of the window width parameter based on independent variable differential accumulation,of which the effectiveness of the proposed model is verified by experiment,and discusses the prediction accuracy cases of the different forecast time length and the amount of data given.The experimental results show that compared with the conventional model,the least square kernel estimating model is good in accuracy prediction and stability,which can meet the accuracy requirement of precise point positioning for the precision clock difference prediction.The research for the precise point positioning technologies has a certain reference.

precision clock offsets;semi-parameter;least square kernel estimating;clock difference prediction

引用著錄：徐長海，許東升.基于半?yún)?shù)最小二乘核估計的衛(wèi)星精密鐘差預(yù)報方法[J].測繪工程，2017，26(1)：61-63，68.

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.01.013

2016-01-05

安徽省教育廳自然科學(xué)資助項目(KJ2012Z392)；宿州學(xué)院碩士科研啟動基金資助項目(2010YSS07)

徐長海(1983-)，男，碩士.

P228

A

1006-7949(2017)01-0061-03