一類具有記憶項的雙曲型方程解的能量衰減估計

熊 胤, 蒲志林

(1. 四川師范大學(xué) 法學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

一類具有記憶項的雙曲型方程解的能量衰減估計

熊 胤1, 蒲志林2

(1. 四川師范大學(xué) 法學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

討論了一類帶記憶項的雙曲型的阻尼波動方程解的能量衰減估計問題.此類方程的損耗十分微弱,且包含在記憶項中.利用乘子思想,構(gòu)造等價于能量函數(shù)E(t)的Lyapunov函數(shù)L并利用微分不等式來得到相應(yīng)的解的能量衰減估計.

波方程; 衰減估計; 記憶項; 能量等式

帶有記憶項的雙曲型方程由于在現(xiàn)代控制理論、空間技術(shù)以及材料分析等領(lǐng)域有許多應(yīng)用[1-2],近年來受到廣泛的關(guān)注.這類方程的耗散性主要是由非線性記憶項所確定,因此,耗散估計對于建立解的動力學(xué)和分析學(xué)性質(zhì)有著重要的作用[3-4],其中,具有雙曲型的一類偏微分方程描述了帶有衰退記憶的簡單粘彈性材質(zhì)[5-11].

設(shè)Ω?R3是一個有界區(qū)域.考慮出現(xiàn)在等溫的粘彈性理論中的如下方程

其中,g是一個非線性項,f是一個給定的與時間無關(guān)的外力,u=u(x,t)是實值函數(shù),代表位移矢量.這種形式的方程也出現(xiàn)在伴隨著有衰減記憶和耗散的粘彈性固體的描述中.如果k′≡0,則方程(1)轉(zhuǎn)化為一個阻尼波方程[12-13].

對于這類帶記憶項的雙曲線型的阻尼波方程,文獻[14]引入了新的變量

ηt(x,s)=u(x,t)-u(x,t-s),

對上式中的t求導(dǎo)得

同時,令μ(s)=-k′(s)且k(∞)=1,定義v=ut,則方程(1)可以轉(zhuǎn)化為如下形式

其初值邊界條件為

其中

由文獻[10]中的結(jié)果,將具有初值Z0=(u0,v0,η0)的系統(tǒng)(2)和(3)中具有唯一的解,記為S(t)Z0.對記憶項μ做如下的假設(shè)[11]:

(H1)μ∈C1(R+)∩L1(R+),?s∈R+;

(H2)μ(s)≥0且μ′(s)≤0,?s∈R+;

(H3)μ′(s)+δμ(s)≤0,?s∈R+且δgt;0.

同時,設(shè)g∈C1(R),定義

對非線性項進一步做如下假設(shè)[11]:存在某些C0,Ngt;0滿足:

(G3) |g′(u)|≤N(1+|y|r),0≤rlt;2.

顯然,有假設(shè)條件(G1)和(G2)可知[1,15]

(4)

和

(5)

對某些C1,C2gt;0,其中

1 記號與引理

令Ω?R3是一個有光滑邊界的有界區(qū)域,并且在Ω中引進空間

記V的對偶空間

V*=H-1(Ω).

和范數(shù)

最后介紹如下的乘積Hilbert空間

引理1.1[2,18]設(shè)Φ是定義在R+上的一個非負的絕對連續(xù)函數(shù),且若對某些εgt;0滿足微分不等式

其中Λ≥0,f∈F,則以下不等式成立

2 主要結(jié)果

方程(2)中的記憶項μ在滿足條件(H1)～(H3)下,進一步對其做如下假設(shè):

(H5) 存在s0≥0,當(dāng)s≥s0,Mgt;0時滿足

μ′∈L2(0,s0),μ′(s)+Mμ(s)≥0.

同時,對非線性項的假設(shè)條件也做了修改,在滿足(G1)、(G2)的情況下,(G3)變?yōu)槿缦滦问?

為了描述這個系統(tǒng)解的漸近行為,需要介紹定義在R+上的L2實值函數(shù)空間F,即

設(shè)

令f∈F,定義

容易得到

(6)

在t時刻與(2)式相關(guān)的能量可以表示為如下方程:

(7)

E(t)≤Ce-εtε(0)+K,

(8)

其中t≥0,f∈F.若g≡0,則K=0.

3 主要結(jié)果的證明

先引入2個泛函:

(9)

(10)

(11)

證明對Φ1(t)在t時刻求導(dǎo)有

(12)

由(H2)和(H5)知

0≥μ′(s)≥-Mμ(s),

|μ′(s)|=-μ′(s)≤Mμ(s),

且對?s∈(0,s0),由μ(s)≥0,μ′(s)≤0可知

此外，對X1=(x1(t),y1(t),u1(t),v1(t))T，Y1=(p1(t),q1(t),w1(t),z1(t))T有

所以有

(13)

又可知

(14)

由上面得到的結(jié)果,再對等式(12)右邊的第一項進行估計得

(15)

這里的C3包含k0、μ(s0)、M.

接下來,將(2)式代入等式(12)右邊第二項得

(16)

再對(16)式等號右邊的4項分別進行估計

(17)

(18)

|g(u)|≤|g(0)|+T|u|,

(19)

(20)

(21)

其中,C4、C5、C6都是非負常數(shù),且如果g≡0,則C6=0.

(22)

證明對Φ2(t)在t時刻求導(dǎo)并將(2)式代入得

(23)

再對(23)式右邊各項進行必要的估計:

(24)

(25)

(26)

(27)

綜合上面的估計,可以從(23)式得到

(28)

對于方程

用ut作乘子,在Ω上積分,得到如下等式

對(7)在t時刻求導(dǎo),可得

又因為

所以有

即

(29)

對(29)式等號右邊兩項分別進行估計,得到

(30)

所以,可以得到如下估計:

(32)

為了得到想要的結(jié)果,對于N,vgt;0,構(gòu)造如下形式的Lyapunov泛函:

L(t)=NE(t)+NG(u(t))+NC1+Φ1+vΦ2,

對L(t)在t時刻求導(dǎo),并根據(jù)(21)、(28)和(32)式得到的結(jié)果有

(33)

(34)

首先,由(4)和(5)式可得

(35)

(36)

其中,某些C1,C2gt;0,則

(37)

(38)

(39)

由上面三項估計得到的結(jié)果可知

(40)

綜合以上估計的結(jié)果,可得

(41)

再取足夠小的v和足夠大的N,滿足

(42)

易知存在C7gt;0,使得

(43)

從而得到想要的結(jié)果

(44)

再利用引理1.1可得

(45)

再次根據(jù)(44)式得到關(guān)于E(t)的不等式

即

令

最終可得

E(t)≤Ce-εtE(0)+K.

(46)

當(dāng)Φ=0(F=0),g≡0時,Φ2=0,則定理2.1得證.

[1] GHIDAGLIA J M, TEMAM R. Attractors for damped nonlinear hyperbolic equations[J]. J Math Pures Appl,1987,66(3):273-319.

[2] HARAUX A. Systèmes Dynamiques Dissipatifs et Applications[M]. Paris:Masson,1991.

[3] PATA V, PROUSE G, VISHIK M I. Traveling wave of dissipative non-autonomous hyperbolic equations in a strip[J]. Adv Diff Eqns,1998,3(2):249-270.

[4] CONTI M, PATA V. Weakly dissipative semilinear equations of viscoelasticity[J]. Commun Pure Appl Anal,2005,4(4):705-720.

[5] GATTI S, PATA V, ZELIK S. A Gronwall-type lemma with parameter and disspative estimates for PDEs[J]. Nonlinear Anal,2009,70:2337-2343.

[6] FABRIZIO M, MORRO A. Mathematical problems in linear viscoelasticity[C]//SIAM Studies in Applied Mathematics. Philadelphia:SIAM,1992.

[7] RENARDY M, HRUSA W J, NOHEL J A. Mathematical problems in viscoelasticity[C]//Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 35. New York:Wiley,1987.

[8] COLEMAN B D, NOLL W. Foundations of linear viscoelasticity[J]. Rev Mod Phys,1961,33(2):239-249.

[9] DAFERMOS C M. Asymptotic stability in viscoelasticity[J]. Arch Rational Mech Anal,1970,37(4):297-308.

[10] PATA V, ZUCCHI A. Attractors for a damped hyperbolic equation with linear memory[J]. Adv Math Sci Appl,2001,2:505-529.

[11] PATA V. Exponential stability in linear viscoelasticity[J]. Quart Appl Math,2006,64:499-513.

[12] HARAUX A. Two remarks on dissipative hyperbolic problems[C]//Lions J L. Seminaire du College de France. Boston:Pitman,1985.

[13] HALE J K. Asymptotic Behaviour of Dissipative Systems[M]. Providence RI:Am Math Soc,1988.

[14] PATA V. Uniform estimates of Gronwall type[J]. J Math Anal Appl,2011,373(1):264-270.

[15] GIORGI C, MARZOCCHI A, PATA V. Asymptotic behavior of a semilinear problem in heat conduction with memory[J]. Nonlinear Differential Equations Appl,1998,5(3):333-354.

[16] TEMAM R. Infinite-dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics[M]. New York:Springer-Verlag,1988.

[17] GIORGI C, MUNOZ RIVERA J E, PATA V. Global attractors for a semilinear hyperbolic equation in viscoelasticity[J]. J Math Anal Appl,2001,260(1):83-99.

[18] BREZIS H. Operateurs Maximaux Monotones[M]. Amsterdam:North-Holland,1973.

[19] DAFERMOS C M. Contraction semigroups and trend to equilibrium in continuum mechanics[C]//Applications of Methods of Functional Analysis to Problems in Mechanics. Lecture Notes in Mathematics,503. Berlin, New York:Springer-Verlag,1976:295-306.

[20] LIU Z, PENG C. Exponential stability of a viscoelastic Timoshenko beam[J]. Adv Math Sci Appl,1998,8(1):343-351.

[21] LIU Z, ZHENG S. Exponential stability of the Kirchhoff plate with thermal or viscoelastic damping[J]. Quart Appl Math,1997,55:551-564.

[22] LIU Z, ZHENG S. On the exponential stability of linear viscoelasticity and thermoviscoelasticity[J]. Quart Appl Math,1996,54:21-31.

[23] FABRIZIO M, LAZZARI B. On the existence and asymototic stability of solutions for linear viscoelastic solids[J]. Arch Rational Mech Anal,1991,116:139-152.

[24] CHEPYZHOV V V, PATA V. Some remarks on stability of semigroups arising from linear viscoelasticity[J]. Asymptot Anal,2006,46:251-273.

[25] BABIN A V, VISHIK M I. Attractors of Evolution Equations[M]. Amsterdam:North-Holland,1992.

[26] CHEPYZHOV V V, VISHIK M I. Attractors of non-autonomous dynamical systems and their dimension[J]. J Math Pure Appl,1994,73:165-190.

[27] GIORGI C, NASO M G, PATA V. Exponential stability in linear heat conduction with memory:a semigroup approach[J]. Commun Appl Anal,2001,5(1):121-134.

[28] DAFERMOS C M. On abstract Volterra equations with applications to linear viscoelasticity[J]. J Diff Eqns,1970,7(3):554-569.

2010MSC:35B40

(編輯 周 俊)

Decay Estimate of Energy for the Solution of Hyperbolic Equation with Memory

XIONG Yin1, PU Zhilin2

(1.CollegeofLaw,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan;2.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

In this paper, we discuss the energy attenuation estimation problem for a class of hyperbolic damped wave equations with memory terms.The loss of such equations is very weak and is included in the memory terms. We use the idea of multipliers to construct a function that is equivalent to the energy of systemE(t) of a Lyapunov functionL(t) and obtain the energy attenuation estimation of the corresponding solution by using the differential inequality.

wave equation; decay estimate; memory kernel; energy equation

O175

A

1001-8395(2017)06-0760-08

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.009

2017-02-27

四川省科技計劃項目(2015JY0125)

熊 胤(1989—)，男，助教，主要從事偏微分方程理論的研究，E-mail:xy697xy@sina.com