解析函數的Schwarz不等式

盧 飛, 周 吉

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

解析函數的Schwarz不等式

盧 飛, 周 吉*

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

主要討論從單位圓到帶形區(qū)域0lt;Imf(z)lt;π上的解析函數的Schwarz引理及邊界Schwarz引理.

Schwarz引理; 邊界Schwarz引理; 解析函數

1 預備知識

在復變函數論中,Schwarz引理是一個非常重要的結果,具有廣泛的應用價值.下面所表述的引理被稱為經典的內部Schwarz引理.

引理1.1[1]如果函數f(z)在單位圓|z|lt;1內解析,并且滿足條件

f(0)=0, |f(z)|lt;1, |z|lt;1,

則在單位圓內恒有

|f(z)|≤|z|,

(1)

且

|f′(0)|≤1.

(2)

f(z)=zeiθ, |z|lt;1,

其中θ為一實常數.

引理1.2[1]若函數f(z)=cpzp+cp+1zp+1+…,cp≠0,p≥1,滿足:

1)f(z)在單位圓上解析,

2) 當|z|lt;1時,|f(z)|lt;1;

則

|f(z)|≤|z|p,z∈,

(3)

且

|f(p)(0)|≤p!.

(4)

f(z)=zpeiθ,

其中θ是實常數.

20世紀20年代,一些著名的數學家,如G. Julia[2]、J. Wolff[3]和C. Carethéodory[4]等研究了從單位圓到單位圓內的解析映射在邊界的行為,得到了邊界Schwarz引理[5].近年來,D. M. Burns和S. G. Krantz[6]、B. N. ?rneak[7-8]、R. Osserman[9]等學者也得到了許多好的結果,如:

引理1.3[9]若函數f(z)滿足:

1)f(z)在單位圓上解析;

2) 當|z|lt;1時,|f(z)|lt;1;

3)f(0)=0;

4) 存在點b,|b|=1,使得f(z)可連續(xù)的延拓到b,且|f(b)|=1,函數f(z)在點b處導數存在;

則

(5)

進一步,當且僅當

其中0≤a≤1,(5)式中等號成立.

引理1.4[9]若函數f(z)=cpzp+cp+1zp+1+…,cp≠0,p≥1,滿足:

1)f(z)在單位圓上解析;

2) 當|z|lt;1時,|f(z)|lt;1;

3) 存在點b,|b|=1,使得f(z)可連續(xù)的延拓到b,且|f(b)|=1,函數f(z)在點b處導數存在,

則

(6)

進一步,當且僅當

f(z)=zpeiθ,

其中θ是實常數,上述不等式等號成立.

本文將研究從單位圓到帶形區(qū)域0lt;Imf(z)lt;π上的解析函數f(z),得到了相應的Schwarz引理及邊界Schwarz引理.

2 主要結果及證明

在下面的討論中,不妨令

f(z)=u+iv,

其中,|z|lt;1.

定理2.1若函數f(z)在單位圓上解析,滿足f(0)=i,且0lt;Im (f(z))lt;π,則

(7)

且

|f′(0)|≤2.

(8)

且

其中θ是實常數.

證明令f(z)=u+iv,其中-∞lt;ult;+∞,0lt;vlt;π.構造函數

則函數φ(z)在上解析,且

注意到

|ef(z)-i|2-|ef(z)+i|2=-4eu·sinv.

由-∞lt;ult;+∞,0lt;vlt;π,得

-4eu·sinvlt;0,

即

|ef(z)-i|2lt;|ef(z)+i|2,

從而

因此,φ(z)在單位圓上解析有

φ(0)=0, |φ(z)|lt;1, |z|lt;1.

由Schwarz引理(引理1.1)得

|φ(z)|≤|z|, |z|lt;1.

由φ(z)的定義得

則

注意到

由

得

|f′(0)|≤2.

容易驗證:當且僅當

且

其中θ是實常數,(7)和(8)式中等號成立.

(9)

且

|f(p)(0)|≤2p!.

(10)

且

其中θ是實常數.

證明構造函數

則φ(z)在單位圓上解析,φ(0)=0,且當|z|lt;1時,|φ(z)|lt;1成立.

容易得到:φ(z)有展開式

φ(z)=(cp/2)zp+….

由定理2.1即可得到該命題成立.

定理2.3若函數f(z)在單位圓上解析,滿足f(0)=i,且0lt;Im (f(z))lt;π.進一步地,若存在點z0∈?,函數f(z)在點z0處導數存在,且Im (f(z0))=π(或Im (f(z0))=0),則

(11)

進一步,當且僅當

且

證明構造函數

由定理2.1證明過程知:φ(z)在單位圓上解析,φ(0)=0,|φ(z)|≤|z|,|z|lt;1.注意到

由引理1.3有

當且僅當

其中0≤a≤1,上述不等式中等號成立.

而

從而

因此

則有

進一步,當且僅當

且

(12)

當且僅當

且

其中θ是實常數,(12)式中等號成立.

證明考慮函數

由定理2.1的證明過程知:φ(z)在單位圓上解析,φ(0)=0,|φ(z)|≤|z|,|z|lt;1,且當z0∈?時,|φ(z0)|=1.從而

進一步,當且僅當

φ(z)=zpeiθ,

其中θ是實常數,上述不等式中等號成立.

而由

則可得

即有

當且僅當

且

其中θ是實常數,上述不等式中的等號成立.

[1] 鐘玉泉. 復變函數論[M]. 北京:高等教育出版社,2004.

[2] JULIA G. Extension nouvelle d'un lemma de Schwarz [J]. Acta Math,1920,42(1):349-355.

[3] WOLFF J. Sur une généralisation dun théoréme de Schwarz [J]. C R Acad Sci Paris,1926,182(6):918-920.

[4] CARATHéODORY C. Theory of Functions of a Complex Variable[M]. New York:Chelsea Publishing Company,1960.

[5] POMMERENKE C. Boundazry Behaviour of Conformal Maps[M]. Berlin:Springer-Verlag,1992.

[6] BURNS D M, KRANTZ S G. Rigidity of holomorphic mappings and a new Schwarz lemma at the boundary[J]. J Am Math Soc,1994,7(3):661-676.

[7] ?RNEAK B N. Sharpened forms of Schwarz lemma on the boundary[J]. Bull Korean Math Soc,2013,50(6):2053-2059.

[8] ?RNEAK B N. Carathéodory's inequality on the boundary[J]. Commun Korean Math Soc,2015,20(2):169-178.

[9] OSSERMAN R. A sharp Schwarz inequality on the boundary[J]. Proc Am Math Soc,2000,128(12):3513-3517.

2010MSC:37F50

(編輯 余 毅)

Some Schwarz Inequalities on Analytic Functions

LU Fei, ZHOU Ji

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

In this paper, we discuss about the analytic functions ofinto the strip 0lt;Im (f(z))lt;π and obtain the corresponding Schwarz Lemma and the Schwarz Lemma on the boundary.

Schwarz Lemma; Schwarz Lemma on the boundary; analytic function

O174.51

A

1001-8395(2017)06-0743-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.006

2017-01-24

國家自然科學基金(11371266)、教育部博士點專項基金(20095134110001)和四川省應用基礎研究項目(07JY029-013)

*通信作者簡介:周 吉(1963—),男,教授,主要從事復分析的研究,E-mail:zhouji@sicnu.edu.cn