含參數(shù)的線性規(guī)劃處理方法

福建 黃清波

含參數(shù)的線性規(guī)劃處理方法

福建 黃清波

線性規(guī)劃問(wèn)題是高考的一個(gè)命題熱點(diǎn)，其題型靈活多樣，試題內(nèi)容活潑、新穎.其中探究約束條件或線性目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值(或范圍)，既是一個(gè)難點(diǎn)，又是一個(gè)?？键c(diǎn).高考對(duì)這類問(wèn)題的考查可謂?？汲Ｐ?學(xué)生解決這類問(wèn)題之所以感覺(jué)困難，主要是因?yàn)檫@類問(wèn)題含有參數(shù)從而使得要解決的問(wèn)題處于動(dòng)態(tài)變化之中，學(xué)生要么不知如何動(dòng)筆，要么針對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論時(shí)對(duì)變化因素考慮不周全而出錯(cuò).對(duì)此，筆者通過(guò)對(duì)這一類題進(jìn)一步分類及剖析，以期突破這一難點(diǎn).

【類型一】目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)

【分析】先畫出可行域，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再對(duì)k進(jìn)行分類討論，通過(guò)平移直線z=kx+y得到最大值點(diǎn)，即可求解.

解：約束條件所表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，其中點(diǎn)A(4,4)，B(0,2)，C(2,0).

綜上所述，k=2.

( )

A.0 B.-2

C.1 D.-1

【分析】先畫出可行域，利用z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有兩個(gè)，結(jié)合圖形，確定a的取值即可得到結(jié)論.

解：約束條件所表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，因?yàn)閦=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有兩個(gè)，所以-a=1.所以當(dāng)x=1,y=0或x=0,y=-1時(shí)，z=ax+y=-x+y有最小值-1，所以ax+y+1的最小值是0，故選A.

( )

A.5 B.4

【小結(jié)】目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線的斜率有關(guān)，這類問(wèn)題還有另一個(gè)特征，就是其最優(yōu)解是可知的(一個(gè)、兩個(gè)或無(wú)窮多個(gè))，因此解題時(shí)可充分利用斜率的特征加以轉(zhuǎn)化.并且要特別注意目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的位置，如目標(biāo)函數(shù)是z=kx+y還是z=x+ky，這決定目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線平移的方向是向上還是向下.

【類型二】約束條件中含有參數(shù)

( )

A.2 B.1

C.-1 D.-2

【分析】逆向思維，從結(jié)論入手，將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7，最小值為1當(dāng)成已知條件，對(duì)應(yīng)于直線2x+y=7和2x+y=1，結(jié)合已知條件對(duì)應(yīng)的直線x=1和x+y=4，通過(guò)作圖與求解即可確定使得目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最大值與最小值的點(diǎn)M和N，然后將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線ax+by+c=0，即可確定a,b,c之間的關(guān)系，進(jìn)而使得問(wèn)題得以順利求解.

【點(diǎn)評(píng)】本題的求解方式是把結(jié)論看成已知，從已知求未知，打破了從正面入手根據(jù)圖形找到使得目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)來(lái)確定函數(shù)最值的常規(guī)求解思路，逆向思考問(wèn)題，收到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的解題效果.適時(shí)利用逆向思維解題，可以拓寬解題思路，加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握，提高靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.

【分析】先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論.

( )

A.10 B.12

C.14 D.15

【分析】先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最小值為5，建立條件關(guān)系即可求出c的值，然后求最大值即可.

解：當(dāng)z=3x+y取最小值為5時(shí)，有3x+y=5，

【小結(jié)】約束條件中的參數(shù)影響平面區(qū)域的形狀，這時(shí)含有參數(shù)的不等式表示的區(qū)域的分界線是一條變動(dòng)的直線，此時(shí)就要根據(jù)參數(shù)的取值確定這條直線的變化趨勢(shì)，確定區(qū)域的可能形狀，因此，增加了解題時(shí)畫圖分析的難度.求解這類問(wèn)題時(shí)要有全局觀念，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)逆向分析題意，整體把握解題的方向.

【類型三】目標(biāo)函數(shù)、約束條件中都含有參數(shù)

( )

A.-5 B.3

C.-5或3 D.5或-3

【分析】由約束條件作出可行域，然后對(duì)a進(jìn)行分類，利用數(shù)形結(jié)合分類討論建立方程關(guān)系即可求出a的值.

解：當(dāng)a=0時(shí)，顯然不滿足題意.

綜上，a的值為3，故選B.

( )

C.(1,3)

D.(3,+∞)

福建省南安市國(guó)光第二中學(xué))