“滑塊—滑板類”模型的解題策略

福建

邱基斌

“滑塊 — 滑板類”問(wèn)題微探。

“滑塊—滑板類”模型的解題策略

邱基斌

一、“滑塊—滑板類”模型的解題策略

1.考點(diǎn)分析

“滑塊—滑板類”模型即滑塊疊放在長(zhǎng)木板上，當(dāng)其中之一以某一初速度滑上另一物體(或在外力F的作用下)通過(guò)摩擦力帶動(dòng)另一物體運(yùn)動(dòng)的模型?！盎瑝K—滑板類”模型題是力學(xué)中比較常見(jiàn)的問(wèn)題，也是綜合性很大的難題。其運(yùn)動(dòng)過(guò)程變化多端，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隱蔽性較強(qiáng)，常常成為高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，在各地高考試題中頻頻出現(xiàn)。

2.解題思路

(1)審題建模：求解時(shí)應(yīng)先仔細(xì)審題，清楚題目的含義、分析清楚每一個(gè)物體的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況。

(2)求加速度：準(zhǔn)確求出各物體在各運(yùn)動(dòng)過(guò)程的加速度(注意兩過(guò)程的連接處加速度可能突變)。

(3)明確關(guān)系：找出物體之間的位移(路程)關(guān)系或速度關(guān)系是解題的突破口。求解中更應(yīng)注意聯(lián)系兩個(gè)過(guò)程的紐帶，每一個(gè)過(guò)程的末速度是下一個(gè)過(guò)程的初速度。

注意：

①“滑塊—滑板類”模型關(guān)鍵是根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況分析摩擦力的大小和方向，進(jìn)而分析物塊的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和過(guò)程。尤其注意兩者速度相同時(shí)刻，往往是摩擦力性質(zhì)、大小及方向變化的臨界點(diǎn)。

②兩種位移關(guān)系：滑塊由滑板的一端運(yùn)動(dòng)到另一端的過(guò)程中，若滑塊和滑板同向運(yùn)動(dòng)，位移之差等于板長(zhǎng)；反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移之和等于板長(zhǎng)。

3.臨界條件

(1)滑塊與滑板存在相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件

①運(yùn)動(dòng)學(xué)條件：若兩物體速度和加速度不等，則會(huì)相對(duì)滑動(dòng)。

②動(dòng)力學(xué)條件：假設(shè)兩物體間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，先用整體法算出一起運(yùn)動(dòng)的加速度，再用隔離法算出其中一個(gè)物體“所需要”的摩擦力Ff；比較Ff與最大靜摩擦力Ffm的關(guān)系，若Ff>Ffm，則發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

(2)滑塊滑離滑板的臨界條件

當(dāng)滑板的長(zhǎng)度一定時(shí)，滑塊可能從滑板滑下，恰好滑到滑板的邊緣達(dá)到共同速度是滑塊滑離滑板的臨界條件。

4.常見(jiàn)的解法

“滑塊—滑板類”模型問(wèn)題往往存在一題多解情況，常見(jiàn)的解法如下：

(1)動(dòng)力學(xué)分析法：分別對(duì)物塊和滑板受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求出各自加速度，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解。

圖1

二、典題精析

【例1】如圖2所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量為m1的足夠長(zhǎng)的木板，其上疊放一質(zhì)量為m2的木塊。假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等?，F(xiàn)給木塊施加一隨時(shí)間t增大的水平力F=kt(k是常數(shù))，木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2，圖3中反映a1和a2變化的圖線正確的是

( )

圖2

圖3

【答案】A

【說(shuō)明】解決此題的關(guān)鍵是分析出木塊和木板“發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)”這一臨界轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即當(dāng)m1和m2之間的靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，木塊和木板將發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

【例2】如圖4甲所示，靜止在光滑水平面上的長(zhǎng)木板B(長(zhǎng)木板足夠長(zhǎng))的左端放著小物塊A。某時(shí)刻，A受到水平向右的外力F作用，F(xiàn)隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖4乙所示，即F=kt，其中k為已知常數(shù)。若物體之間的滑動(dòng)摩擦力的大小等于最大靜摩擦力Ff，且A、B的質(zhì)量相等，則圖5中可以定性地描述長(zhǎng)木板B運(yùn)動(dòng)的v-t圖象的是

( )

圖4

圖5

【解析】當(dāng)F較小時(shí)，A、B整體具有共同的加速度，二者相對(duì)靜止，當(dāng)F較大時(shí)，二者加速度不同，將會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，此后A做變加速直線運(yùn)動(dòng)，B做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，為了求出兩物體開始分離的時(shí)刻，必須知道分離時(shí)F的大小，此時(shí)采用整體法和隔離法分別列牛頓第二定律的方程即可。

選AB整體為研究對(duì)象，AB整體具有共同的最大加速度

【答案】B

【說(shuō)明】當(dāng)兩者相對(duì)運(yùn)動(dòng)后，B將受恒力作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，可排除C、D選項(xiàng)，A、B選項(xiàng)的差別在于恰好相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻，就需采用隔離法和整體法分別列方程了，也可以采用反證法，確定當(dāng)F=Ff時(shí)是否相對(duì)滑動(dòng)。所以，要注意總結(jié)解題方法。

【例3】質(zhì)量M=9 kg、長(zhǎng)L=1 m的木板在動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.1的水平地面上向右滑行，當(dāng)速度v0=2 m/s時(shí)，在木板的右端輕放一質(zhì)量m=1 kg的小物塊如圖6所示。當(dāng)小物塊剛好滑到木板左端時(shí)，物塊和木板達(dá)到共同速度。取g=10 m/s2。求：

圖6

(1)從木塊放到木板上到它們達(dá)到相同速度所用的時(shí)間t；

(2)小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2。

解法一:動(dòng)力學(xué)分析法

(1)設(shè)木板在時(shí)間t內(nèi)的位移為x1；木塊的加速度大小為a1，木板的加速度大小為a2，時(shí)間t內(nèi)的位移為x2，則有

x1=L+x2③

v0-a1t=a2t④

聯(lián)立①②③④代入數(shù)據(jù)得t=1 s。 ⑤

(2)根據(jù)牛頓第二定律，有

μ1(M+m)g+μ2mg=Ma1⑥

μ2mg=ma2⑦

聯(lián)立④⑥⑦代入數(shù)據(jù)解得μ2=0.08。 ⑧

解法二:圖象描述法

圖7

(2)根據(jù)牛頓第二定律和圖象意義有：

聯(lián)立①②③代入數(shù)據(jù)解得v共=0.8 m/s，μ2=0.08。

【答案】(1)從木塊放到木板上到它們達(dá)到相同速度所用的時(shí)間t為1秒 (2)小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.08

【說(shuō)明】本題關(guān)鍵是先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式后聯(lián)立求解出時(shí)間，然后再受力分析后根據(jù)牛頓第二定律列式求解；對(duì)于第(1)問(wèn)，可以以長(zhǎng)木板為參考系列式求解，會(huì)使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。

【例4】如圖8所示，質(zhì)量M=0.4 kg、長(zhǎng)為L(zhǎng)=10 m的木板靜止在光滑水平面上，一個(gè)質(zhì)量m=0.1 kg的子彈以某一速度從右端射入木板。已知子彈可看做質(zhì)點(diǎn)，子彈在木板中受到恒定的阻力f=0.8 N。若要使木板獲得的速度不大于2 m/s，則子彈的初速度v0應(yīng)滿足的條件是

( )

圖8

A.v0≤8 m/s

B.v0≤10 m/s

C.v0≥15 m/s

D.v0≥20 m/s

解法一:動(dòng)力學(xué)分析法

(1)子彈未射出木板時(shí)兩者已共速，由v0-a1t=a2t得v0=10 m/s，所以子彈的初速度v0≤10 m/s，選項(xiàng)B正確；

解法二:圖象描述法

(1)子彈未射出木板，作出子彈、木板的v-t圖象如圖9甲所示。

圖9

由題意知v0-8×1=2，解得v0=10 m/s，所以子彈的初速度v0≤10 m/s，選項(xiàng)B正確。

【答案】BC

福建省沙縣第一中學(xué))