熱聲載荷下薄壁開孔結構振動響應與壽命預估

王 建，沙云東，趙奉同，駱 麗

（沈陽航空航天大學遼寧省航空推進系統(tǒng)先進測試技術重點實驗室，沈陽110136）

熱聲載荷下薄壁開孔結構振動響應與壽命預估

王 建，沙云東，趙奉同，駱 麗

（沈陽航空航天大學遼寧省航空推進系統(tǒng)先進測試技術重點實驗室，沈陽110136）

金屬薄壁開孔結構在強熱聲載荷下，表現(xiàn)出大撓度強非線性響應特性，疲勞壽命縮短。基于時域的基礎上，利用有限元法（FEM）結合降階模態(tài)法（RO M）獲取4邊固支開孔薄板在不同熱、聲載荷組合下的位移和應力的動態(tài)響應，并進行響應時間歷程和功率譜（PSD）的統(tǒng)計分析。采用雨流計數(shù)法和M orrow平均應力模型，結合M iner線性累積損傷理論對結構進行疲勞壽命的預估和分析。結果表明：屈曲后的位移響應由熱聲載荷的相對強弱決定。此外，屈曲前結構隨熱、聲載荷的增加，壽命縮短。屈曲后，持續(xù)跳變使得結構的壽命縮至最短；進入間歇跳變區(qū)域，間歇時間短的跳變要比間歇時間長的跳變造成的結構損傷大，即快頻跳變引起的損傷更大。跳變結束后，隨著溫度的升高，壽命先延長后縮短。

開孔薄壁；跳變響應；熱聲疲勞；功率譜密度；雨流計數(shù)

0 引言

未來的飛行器在飛行過程中為獲得更大的推力，產生的強噪聲載荷可達150～170 dB[1-2]，在高溫環(huán)境下的聲疲勞成為航空發(fā)動機結構設計中的主要考慮因素。由熱載荷引發(fā)的結構熱屈曲和因強噪聲導致的跳變響應使薄壁結構表現(xiàn)出復雜的大撓度非線性響應[3-5]。試驗獲取高溫強噪聲環(huán)境下的可靠數(shù)據(jù)很困難且費用高昂[6]，因此數(shù)值仿真成為研究熱聲環(huán)境下的響應特性和疲勞壽命的主要方法。Ng[7]采用Von Karman方程和Galerkin法推導出單模態(tài)方程，結合試驗，研究了平板和曲板在熱聲激勵下的非線性響應,包括跳變運動以及板結構熱聲響應的基本特性；Vaicaitis[8]使用Galerkin法結合Monte Carlo法研究了大量航空航天結構在隨機激勵下的非線性響應問題；Mei和Chen[9]使用FEM計算了熱聲激勵下梁的動態(tài)響應，但其計算費時。針對這個問題，結合降階模態(tài)法（ROM）的FEM得到了廣泛關注。物理坐標系下的系統(tǒng)運動方程被轉換為縮減模態(tài)坐標系下耦合的非線性方程組，大大減少了自由度數(shù)，減少了FEM計算的工作量。Rizzi[10-11]研究了ROM法中不同模態(tài)的選擇和組合對結構熱聲響應的影響；Spottswood[12]將FEM/ROM法應用于淺彎梁熱聲響應計算，得到的結果與FEM的結果一致。此外，國外自20世紀70年代開始在高超聲速運載工具的強度設計中進行聲疲勞研究，其研究成果集中在3方面：載荷預報，應力計算，壽命估算。但對隨機疲勞壽命估算方法研究較少。徐緋等探討了結構聲疲勞壽命估算的功率譜密度法[13-14]；金奕山等對航空發(fā)動機結構聲疲勞壽命估算方法進行了探討；沈陽航空航天大學沙云東教授在燃燒室噪聲載荷預報、聲激勵響應分析、隨機疲勞壽命估算等方面開展了大量工作，完成了一系列研究項目，主要是對基本問題的探索。在熱聲載荷作用下，結構跳變響應時位移近似服從Fokker-Plank分布，無法確定應力峰值概率密度函數(shù)，故無法直接使用基于高斯分布或者瑞利分布假設的功率譜密度法、概率密度法等頻域方法。時域方法適用于任何概率分布的平穩(wěn)或非平穩(wěn)響應的壽命估算。

本文采用時域方法，利用有限元法獲取4邊固支開孔薄板在不同熱載荷和聲載荷組合下的位移和應力的動態(tài)響應，并進行了響應的時間歷程和功率譜（PSD）的統(tǒng)計分析。最后采用雨流計數(shù)法和Morrow平均應力模型，結合Miner線性累積損傷理論對薄壁開孔殼結構進行疲勞壽命的估算和分析。

1 理論分析

1.1 熱聲載荷下板殼大撓度非線性方程

采用Von Karman薄板大撓度理論和Kirchhoff的相關假設，與中面距離為任意1點的應變?yōu)?/p>

式中：Nx、Ny、Nxy為薄膜力；h 為板厚。

將式（3）帶入式（2），得到應力函數(shù)表示的應變協(xié)調方程

式中：應力函數(shù)F=Fh+Fp，為待求解的未知函數(shù)，由特解Fp和齊次解Fh組成；w為板的撓度函數(shù)；E為彈性模量；α為熱膨脹系數(shù)；T為沿板厚的平均溫度。

假設沿板厚的溫度分布是線性的，則

式中：T（x,y,z）為板上的溫度函數(shù)分布；θ為板厚的溫度梯度。

將應力和對應剪力、薄膜力、彎矩，考慮阻尼力、聲載荷、慣性力，對板進行受力分析，可以得到包含溫度項的Von Karman大撓度運動方程

式中：ρ為密度；ξ為阻尼系數(shù)；μ為泊松比；p(x,y,t)為模擬聲載荷的隨機壓力；D為彎曲剛度；▽4為雙調和算子。

1.2 疲勞壽命計算模型

應力或應變與材料的極限循環(huán)次數(shù)的一般表達式為

式中：K、β為材料常數(shù)，均由實驗方法得到。

結構在受熱聲載荷作用時處于S-N曲線的高周疲勞區(qū) (HCF)，研究表明Basquin 公式擬合效果較好，因此本文選用Basquin進行擬合

式中：σar為零均值對稱循環(huán)的應力幅值；σ'f為疲勞強度系數(shù)；Nf為對應的疲勞壽命；σ'f和b為通過零均值應力試驗擬合的材料常數(shù)。

選用Morrow公式（10）將疲勞循環(huán)響應中的應力非零均值應力循環(huán)（σa,σm）轉換為與當前壽命相同的零均值應力幅值，并且用疲勞強度σb代替疲勞強度系數(shù)σ'f

式中：ni為在第i級等幅值應力載荷下的工作循環(huán)次數(shù)；Ni為第i級等幅值應力載荷下，構件發(fā)生疲勞破壞時的循環(huán)數(shù)。

隨機響應的損傷期望用數(shù)學期望和概率密度表示為

式中：p(s)為應力或應變的幅值或峰值的概率譜密度函數(shù)。

由上面的公式可以簡化出最簡單的疲勞壽命Tf估算公式

2 算例分析

2.1 計算模型

本文以4邊固支鈦合金開孔薄板為研究對象，幾何模型如圖1所示，其幾何尺寸和材料屬性見表1。利用有限元分析軟件對開孔薄板在不同熱載荷和聲載荷組合作用下進行仿真計算，施加的噪聲載荷是空間均勻截止頻率為1500 Hz的高斯白噪聲，結構的前8階模態(tài)頻率見表2。聲載荷的加載方式為垂直入射加載；熱載荷加載方式為空間均勻分布。提取不同熱聲載荷組合下薄板的非線性橫向位移和應力動態(tài)響應的時間歷程數(shù)據(jù)結果。為了敘述方便，以熱屈曲系數(shù)S=T/Tc表示溫度，T為實際溫度，Tc為屈曲溫度，并使用(1.0,150)表示S=1.0，LSPL=150 dB。結構的前8階臨界屈曲溫度見表3，第1階臨界屈曲溫度Tc=14.625℃。由于臨界屈曲溫度較低，數(shù)值仿真時的溫度也不高，故假設材料特性不隨溫度變化而變化。

表1 幾何尺寸和材料屬性

表2 4邊固支鈦合金開孔結構的模態(tài)頻率

表3 4邊固支鈦合金開孔結構的臨界屈曲溫度

采用Basquin公式擬合鈦合金GJB 493-88的S-N曲線表達式為S7.8740N=1023.0729；在Morrow TFS等效應力轉換模型中，材料常數(shù)σ'f=930 MPa，b=0.127。通過對多個熱聲載荷作用下應力云圖的結果分析，發(fā)現(xiàn)最大應力出現(xiàn)在孔邊的173號節(jié)點附近，故本文主要對173號節(jié)點進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析。

2.2 開孔薄板振動響應

在時域上利用Matlab語言對結構橫向位移時間歷程進行統(tǒng)計并分析出結構在熱載荷和聲載荷組合作用下的位移響應特性。在頻域上，由傅里葉正變換將時域信號變換為頻域信號，進行位移功率譜(PSD)的統(tǒng)計分析。

2.2.1 位移響應時域分析

在室溫下，結構圍繞初始平衡位置做線性隨機振動，并且振動響應幅值隨聲壓級的增大而線性增大，即當聲壓級由140 dB增大到160 dB，位移響應的幅值由1.1增大到4.2，如圖2、3所示；當溫度升高到臨界屈曲溫度S=1時，結構的位移響應幅值明顯增大，位移響應幅值由1.1增大到1.6和由4.2增大到5.1，并可以看出結構的位移響應時間歷程隨著溫度升高而變得稀疏，如圖4、5所示。

屈曲后，結構響應的運動趨勢由熱載荷和聲載荷的相對強弱決定。當熱載荷較聲載荷強時，聲載荷克服不了當前熱載荷下剛度區(qū)域的驅離力，使得結構圍繞屈曲后的1個平衡位置做非線性隨機振動，如圖6所示；當熱載荷和聲載荷相當時，聲載荷能夠克服當前熱載荷下剛度區(qū)域的驅離力，此時結構將會越過屈曲后的1個平衡位置跳躍到另1個平衡位置，使得結構圍繞2個屈曲后平衡位置做間歇的跳變運動，如圖7所示；當聲載荷較熱載荷強時，聲載荷能夠完全克服當前熱載荷下剛度區(qū)域的驅離力，使得結構在2個屈曲后平衡位置間做連續(xù)的跳變運動，如圖8所示。此外，屈曲后與屈曲前相比，位移響應的振動響應幅值明顯增大，結構響應的均值隨著溫度的升高而增加，幅值卻有所降低（圖 6～8）。

2.2.2 位移響應功率譜分析

常溫下，結構在不同聲壓級LSPL=130、140、150 dB的基頻保持不變，為156.84 Hz。因為結構圍繞初始平衡位置做線性隨機振動，當聲壓級增加到LSPL=160 dB，結構基頻會發(fā)生小幅度偏移，如圖9所示。隨著溫度升高到S=0.8時，結構與常溫時對應聲壓級下的基頻相比，基頻開始降低，即屈曲前隨著溫度的升高結構存在軟化現(xiàn)象，同時基頻隨著聲壓級的增大而增大，如圖10所示。

當溫度升高到臨界屈曲溫度S=1.0時，結構的基頻幾乎降到了最低，因為隨著溫度的升高，熱應力增加，結構處于軟化區(qū)域，剛度降低，如圖11所示。由上述分析可知，屈曲前結構的響應特性對聲壓級并不敏感，而溫度的改變使得結構頻移明顯。當溫度升高到屈曲后S=1.2時，隨著聲壓級的增大，結構存在先軟化后硬化的現(xiàn)象，即結構的基頻先降低后增加。聲壓級由LSPL=130 dB增加到LSPL=140 dB的過程中，結構被軟化且基頻降低，因為此時熱載荷和聲載荷相當，結構處于間歇跳變階段；聲壓級由LSPL=150 dB增大到LSPL=160 dB時，結構被硬化且基頻增加，因為此時熱載荷較聲載荷弱，聲載荷作用明顯，使得結構處于連續(xù)跳變階段，如圖12所示。由以上分析可知，當結構的振動響應特性處于間歇跳變時，結構處于軟化區(qū)域，剛度降低且基頻減?。划斀Y構的振動響應特性處于連續(xù)跳變時，結構處于硬化區(qū)域，剛度增加且基頻增大。

屈曲后位移PSD的峰值都出現(xiàn)在低頻處，隨著溫度的升高該峰值存在先增加后減小現(xiàn)象，這與基頻的變化規(guī)律剛好相反，即在固定聲壓級LSPL=150 dB時，溫度由S=1.2到1.4，結構響應基頻降低，峰值增大；溫度由S=1.4到1.6再到2.0的過程中，結構響應基頻增大，幅值卻降低，如圖13所示。其中，在S=1.2時，聲載荷較熱載荷強，結構處于跳變響應明顯階段；在S=1.4時，熱載荷和聲載荷相當，結構處于間歇跳變階段，使得結構處于軟化區(qū)域，故基頻降低，幅值增大；在S=1.6和2.0的熱后屈曲階段結構的基頻隨著溫度的升高而增大，幅值減小。

2.3 疲勞壽命

利用Matlab語言的WAFO工具箱繪制雨流循環(huán)矩陣和雨流循環(huán)損傷矩陣，并分析結構疲勞循環(huán)分布及其損傷程度。利用Morrow平均應力模型將非零均值循環(huán)轉化為零均值循環(huán)，結合線性累計損傷理論，Basquin疲勞壽命模型擬合并且估算疲勞壽命。

2.3.1 基于雨流循環(huán)和雨流損傷矩陣的應力疲勞分析

屈曲前S=0時，應力響應圍繞初始平衡位置做線性隨機振動，應力均值對結構造成的損傷很小，應力幅值成為影響結構疲勞壽命的主要因素，循環(huán)塊主要分布在R=1和-1的附近，如圖14～16所示。

臨界屈曲時，由溫度引起的熱應力對結構損傷程度相對于常溫時增大，循環(huán)塊在R=1和-1的附近擴散，如圖17～19所示；屈曲后時，應力響應出現(xiàn)跳變現(xiàn)象，如圖20所示，雨流循環(huán)矩陣大致分為3個區(qū)域。左上區(qū)域對應純跳變運動，結構處于失穩(wěn)狀態(tài)，應力幅值很大，應力均值絕對值較小，應力幅值是影響疲勞壽命的主要因素，如圖21所示。左下區(qū)域對應圍繞下凹平衡位置的隨機振動，壓縮熱應力疊加壓縮彎曲應力，使得應力循環(huán)均值絕對值增大。此外，從圖21中可見，盡管該區(qū)域的循環(huán)次數(shù)比較集中，但是此時的應力循環(huán)均值對結構的疲勞損傷與幅值相比較小，如圖22所示。右上區(qū)域對應圍繞上凸平衡位置的隨機振動，由于壓縮熱應力疊加了拉伸彎曲應力，使得應力循環(huán)均值絕對值降低（圖21）。溫度持續(xù)升高到S=2.0時，應力響應圍繞屈曲后一個平衡位置做非線性隨機振動，此時應力幅值減小，均值增大，如圖23所示。循環(huán)塊只剩下左下區(qū)域，如圖24所示；屈曲后結構趨于穩(wěn)定，結構的疲勞損傷迅速降低，疲勞壽命開始上升，如圖25所示。

2.3.2 疲勞壽命計算結果及分析

屈曲前，熱應力隨時間的增加而增加，并且應力循環(huán)幅值成為影響結構疲勞壽命的主要因素，結構的疲勞壽命隨溫度的升高而下降。屈曲后，結構的應力響應隨熱載荷和聲載荷組合變化較為復雜，本文著重分析屈曲后結構疲勞壽命隨熱載荷和聲載荷變化時的規(guī)律。在聲壓級為140、150、160 dB下，屈曲后隨溫度升高結構的疲勞壽命的變化分別見表4～6。在表4～6 中，I，C，B分別代表間歇跳變，持續(xù)跳變，圍繞屈曲后一個平衡位置的隨機振動。

分析表4可知臨界屈曲與間歇跳變現(xiàn)象，在S=1.0增加到1.4的過程中，應力循環(huán)幅值增大，疲勞壽命降低；持續(xù)跳變現(xiàn)象，在S=1.6時的應力響應顯著的影響結構的疲勞壽命并使得疲勞壽命降至最低；跳變結束后，在S=1.8時，應力響應圍繞屈曲后的1個平衡位置做非線性的隨機振動，應力循環(huán)幅值降低，應力循環(huán)均值增大，但是應力循環(huán)幅值降低的影響較大，故壽命較之前會有大幅度提高；隨著溫度的持續(xù)升高，在S=2.0時應力循環(huán)的均值對結構的壽命影響較大，壽命開始降低，并且溫度越高，壽命越短。

表4 聲壓級140 dB，屈曲后隨溫度升高結構的疲勞壽命的變化

表5 聲壓級150 dB，屈曲后隨溫度升高結構的疲勞壽命的變化

表6 聲壓級160 dB，屈曲后隨溫度升高結構的疲勞壽命的變化

分析表5可知：在間歇跳變過程中，間歇時間短的跳變要比間歇時間長的跳變造成的損傷大，即快頻跳變要比慢頻跳變引起的損傷大，因為快頻跳變時應力循環(huán)幅值對結構疲勞壽命的影響要比慢頻跳變時更為顯著，故S=1.4～1.6的跳變過程，溫度升高，疲勞壽命也隨之提高。

分析表6可知：聲壓級增大到LSPL=160 dB時，噪聲載荷的頻率特性與結構自身的動態(tài)特性互相耦合，結構會發(fā)生明顯的動態(tài)響應，結構的疲勞壽命整體多數(shù)量級的降低。隨著溫度從S=1.0增加到1.6，應力響應的時間歷程變稀疏，損傷程度減小，壽命小幅度提高。到間歇跳變階段，壽命都降低；另外，相比S=2.0時的慢頻跳變，S=1.8時的快頻跳變對壽命的影響比較大，故間歇跳變過程結構的疲勞壽命隨溫度的升高而提高。

3 結論

（1）金屬薄壁開孔結構在熱、聲載荷組合下的動態(tài)響應表現(xiàn)出強非線性。屈曲前，結構的響應特性對聲壓級不敏感。臨界屈曲時，結構表現(xiàn)出強非線性，結構的剛度和基頻降至最低。屈曲后，熱載荷和聲載荷的相對強弱影響了結構響應的運動形式。

（2）從雨流循環(huán)矩陣和雨流損傷矩陣中清晰可見各應力響應階段的疲勞循環(huán)塊分布情況和相應的損傷程度。屈曲前，幅值是影響結構壽命的主要因素。屈曲后，循環(huán)塊分為3部分：左上區(qū)域對應純跳變響應，左下和右上區(qū)域分別對應圍繞下凹和上凸平衡位置的隨機振動。隨著溫度的繼續(xù)升高，循環(huán)塊只剩下左下或右上區(qū)域。

（3）熱聲載荷作用下的非線性應力響應嚴重影響薄壁開孔結構的疲勞壽命。對于間歇跳變而言，間歇時間短的的跳變要比間歇時間長的跳變造成的損傷大，即快頻跳變要比慢頻跳變引起的損傷大。

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Vibration Response Analysis and Fatigue Life Prediction of Thin-walled Structures with Opening under Thermo-acoustic Loads

WANG Jian，SHA Yun-dong，ZHAO Feng-tong，LUO Li
（Liaoning Province Key Laboratory of Advanced Measurement and Test Technology of Aviation Propulsion Systems,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China）

The metallic opening thin-walled structures under the severe thermal-acoustic loadings exhibited large deflection and strongly nonlinear response and fatigue life was decreased.Based on time domain,by using finite element method (FEM)and reduced order modal method (ROM),displacement and dynamic response of stress for clamped plate under different thermal-acoustic load combinations were obtained,the response time history and power spectral density (PSD)were analyzed.Miner accumulative damage law was employed in conjunction with the rain-flow counting(RFC)method;fatigue life of structure was estimated and analyzed.Results show that response of post-buckled displacement is determined by relative strength of thermal-acoustic loadings.Besides,the fatigue life of pre-buckled plate decreases with the increase of thermal-acoustic loadings,and goas down to the lowest undergoing persistent snap-through at the postbuckled region.After enter intermittent snap-through region,compared with snap-through with longer intermittent time,the shorter one takes worse damage on the structure.Namely the damage caused by fast frequency snap-through is bigger.After snap-through,fatigue life goes up first,and then go down with the increase of temperature.

opening thin-walled structures;snap-through response;thermo-acoustic fatigue;power spectrum density;rain-flow counting

V 241.3

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2017.03.006

2016-10-31 基金項目：航空基礎科學基金（20151554002）資助

王建（1990），男，在讀碩士研究生，主要研究方向為航空發(fā)動機強度振動及噪聲；E-mail：j_wang2001@sina.com。

王建，沙云東，趙奉同，等.熱聲載荷下薄壁開孔結構振動響應與壽命預估[J].航空發(fā)動機，2017，43（3）：24-31.WANG Jian,SHA Yundong,ZHAO Fengtong,et al.Vibration response analysis and fatigue Life prediction of thin-walled structures with opening to thermo-acoustic loads[J].Aeroengine，2017，43（3）：24-31.

（編輯：趙明菁）