概率統(tǒng)計(jì)中與分布列有關(guān)的問題的探討

廣西 包日勇

概率統(tǒng)計(jì)中與分布列有關(guān)的問題的探討

廣西 包日勇

新課標(biāo)高考中概率統(tǒng)計(jì)的大題往往都是概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合，既含有統(tǒng)計(jì)方面的知識(shí)，也有概率的計(jì)算，理科中更注重分布列的研究，而超幾何分布和二項(xiàng)分布是最為?？嫉膬煞N概率分布.如何根據(jù)已知條件，快速確定概率分布的類型，熟練掌握這兩種概率分布的解題要點(diǎn)，是決勝高考的關(guān)鍵.

一、抓住關(guān)鍵字眼，準(zhǔn)確把握分布類型

概率統(tǒng)計(jì)的大題往往文字較多，篇幅較長(zhǎng)，在解題過程中，要學(xué)會(huì)抓住關(guān)鍵字眼，快速準(zhǔn)確地判斷出概率和分布列的類型，切忌生搬硬套.

【例1】為了降低汽車尾氣的排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的節(jié)排器，分別從甲、乙兩種節(jié)排器中隨機(jī)抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評(píng)估檢測(cè)，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示：

節(jié)排器等級(jí)及利潤(rùn)如表格

綜合得分k的范圍節(jié)排器等級(jí)節(jié)排器利潤(rùn)率k≥85一級(jí)品a75≤klt;85二級(jí)品5a270≤klt;75三級(jí)品a2

(Ⅰ)將頻率分布圖中的頻率視為概率，則

(ⅰ)若從甲型號(hào)節(jié)排器中按節(jié)排器等級(jí)用分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求至少有2件一級(jí)品的概率；

(ⅱ)若從乙型號(hào)節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求二級(jí)品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)；

(ⅲ)從抽出的乙型號(hào)節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求二級(jí)品數(shù)η的分布列及數(shù)學(xué)期望E(η)；

(Ⅱ)從長(zhǎng)期來看，投資哪種型號(hào)的節(jié)排器平均利潤(rùn)較大？

分析：第(ⅱ)問中從乙型號(hào)節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，求二級(jí)品數(shù)ξ的分布列，因?yàn)轭}目中有“將頻率分布圖中的頻率視為概率”，說明可認(rèn)為乙型號(hào)節(jié)排器有無數(shù)多個(gè)，為對(duì)無限總體的研究，可以看作做了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，研究取得二級(jí)品這一事件發(fā)生的次數(shù)問題，符合二項(xiàng)分布.第(ⅲ)問中從抽出的100件乙型號(hào)節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，即“在(從)……(有限個(gè)中)選取……”，則為對(duì)樣本的研究，為有限總體不放回抽樣，研究二級(jí)品數(shù)這一事件發(fā)生的問題，則考的是古典概型，也就是相當(dāng)于100個(gè)產(chǎn)品中含有25個(gè)二級(jí)品，從中抽出3個(gè)，研究其中所含的二級(jí)品數(shù)問題，符合超幾何分布.

(ⅱ)若從乙型號(hào)節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，從生產(chǎn)線上下來的乙型號(hào)節(jié)排器有無數(shù)多個(gè)，可以看作一個(gè)獨(dú)立重復(fù)過程，把取得二級(jí)品這一事件看作A，相當(dāng)于做了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，研究事件A發(fā)生的次數(shù)問題，為二項(xiàng)分布.

所以ξ～B(3,0.25)，E(ξ)=3×0.25=0.75.

(ⅲ)從抽出的100件乙型號(hào)節(jié)排器中隨機(jī)抽取3件，屬于有限總體不放回抽樣，研究其中所含的二級(jí)品數(shù)問題，為超幾何分布.

(Ⅱ)設(shè)X為投資甲型號(hào)節(jié)排器獲得的平均利潤(rùn)，Y為投資乙型號(hào)節(jié)排器獲得的平均利潤(rùn)，由題意得出甲、乙的分布列如下：

Xa5a2P0．60．4

甲：E(X)=0.6a+2a2

Ya25a2aP0．050．250．7

乙：E(Y)=0.7a+1.3a2

評(píng)析：本題在解題過程中，認(rèn)真弄清題意，確定類型，區(qū)分這兩種概率計(jì)算，分析所研究的分布列滿足的條件，才能順利求解.

解題要點(diǎn)一：與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的概率題目，通常以抽樣與頻率分布直方圖相結(jié)合為背景，若有“頻率視為概率”的字眼，則為對(duì)無限總體的研究，有 “實(shí)驗(yàn)具有重復(fù)性”，“有放回抽樣”等字眼，則整個(gè)過程為一重復(fù)過程；有“實(shí)驗(yàn)次數(shù)多”字眼，雖然對(duì)總體抽樣時(shí)不放回，但在大量的情況下可看作獨(dú)立重復(fù)，則考的是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若研究某一事件有多少次發(fā)生問題，一般為二項(xiàng)分布.

解題要點(diǎn)二：若有“在(從)……(有限個(gè)中)選取……”的字眼，則為對(duì)樣本的研究，為有限總體，若采用不放回抽樣，是古典概型，若研究恰好有某一事件發(fā)生的問題，則考的是古典概型，通常為超幾何分布.

二、審清題意，分析清楚概率事件

在解題過程中，除了要抓關(guān)鍵字眼外，還要注意分析要研究的概率事件，正確判斷隨機(jī)變量的取值.有些題目雖然表面上看滿足超幾何分布或二項(xiàng)分布的前提，但所研究的概率事件卻并不相同.

【例2】(2015·福建)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.

(Ⅰ)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；

(Ⅱ)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：(Ⅰ)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則

(Ⅱ)依題意得，X所有可能的取值是1，2，3，

所以X的分布列為

X123P161623

評(píng)析：題目中屬于有限總體，不放回的抽樣，但研究的是嘗試密碼次數(shù)，這與超幾何分布研究的概率事件不同.因此在解題中既要注意分析前提條件，也要看清概率事件才行.

解題要點(diǎn)三：在概率統(tǒng)計(jì)解題中，仔細(xì)審題，注意分析要研究的概率事件，正確判斷隨機(jī)變量的取值，超幾何分布和二項(xiàng)分布有著不同的前提，超幾何分布是針對(duì)有限總體不放回，二項(xiàng)分布是針對(duì)有放回或無限總體情形.但也不能只看到這一前提就判斷出分布列的類型，要清楚“從含有M件次品的N件產(chǎn)品中任取n件，其中所含次品數(shù)問題”，才服從超幾何分布；而“在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)問題”才服從二項(xiàng)分布.若“從含有M件次品的N件產(chǎn)品中任取n件”，但研究的不是次品數(shù)問題，則也不是超幾何分布.同樣若“在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中”，但不是研究某事件發(fā)生的次數(shù)，則也不是二項(xiàng)分布.因此解題中還應(yīng)注意題目中要研究的概率事件是什么.

【例3】廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品.

(Ⅰ)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8，從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn).求至少有1件是合格品的概率;

(Ⅱ)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收.求該商家可能檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)ξ的分布列及期望E(ξ)，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.

分析：(Ⅰ)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用對(duì)立事件概率容易得出；(Ⅱ)從含3件不合格品的20件產(chǎn)品中選2件，研究所含不合格品的問題，為超幾何分布.

解:(Ⅰ)記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)，其中至少有1件是合格品”為事件A,

(Ⅱ)ξ可能的取值為0,1,2,

ξ012P136190511903190

記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)，都合格”為事件B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率

評(píng)析：認(rèn)真分析清楚分布列類型就能正確求解，此題想法并不難，但運(yùn)算量相對(duì)大些，容易在時(shí)間緊張時(shí)算錯(cuò)，因此在運(yùn)算時(shí)必須講究技巧，可借助期望的計(jì)算公式減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確率.

三、巧妙借助公式，簡(jiǎn)化計(jì)算提高準(zhǔn)確率

概率統(tǒng)計(jì)的題目，基本上在分析清楚分布列后都要求計(jì)算期望和方差，這是運(yùn)算量相對(duì)較大的地方.熟練掌握二項(xiàng)分布和超幾何分布的期望方差公式及其聯(lián)系，對(duì)于提高速度和準(zhǔn)確率都是有效的.

解題要點(diǎn)四：在與分布列有關(guān)的問題，基本上都涉及期望和方差，因此熟記超幾何分布與二項(xiàng)分布的期望和方差公式，對(duì)快速正確作答很有幫助.

E(X)=np,DX=np(1-p).

廣西合浦廉州中學(xué))