一類三自由度碰振系統(tǒng)的Hopf分岔分析

吳鴻濤+官浩

摘要：建立了一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用變步長(zhǎng)龍格庫(kù)塔法對(duì)系統(tǒng)在某一組確定參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行了數(shù)值求解，通過(guò)分析系統(tǒng)在確定參數(shù)下的分岔圖、相圖及Poincaré映射圖，分析了系統(tǒng)在的動(dòng)力學(xué)特性，在此基礎(chǔ)上研究了參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在該參數(shù)下的周期運(yùn)動(dòng)和Hopf分岔現(xiàn)象，以及在Hopf分岔過(guò)程中出現(xiàn)的混沌激變。

關(guān)鍵詞：非線性動(dòng)力學(xué)；碰撞振動(dòng)； Hopf分岔；

0 引言

碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析在非線性系統(tǒng)分析中非常常見(jiàn)，今年來(lái)，學(xué)科內(nèi)很多學(xué)者都對(duì)碰撞-振動(dòng)系統(tǒng)和Hopf分岔現(xiàn)象進(jìn)行了深入的研究。羅冠煒[1]通過(guò)解析的方法分析了兩自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法，對(duì)該解析解進(jìn)行了驗(yàn)證；李朝峰[2]應(yīng)用有限元法建立了碰撞-摩擦系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并分析了碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩間隙和摩擦系數(shù)對(duì)周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響；何瑋[3]對(duì)高維多參數(shù)復(fù)雜約束系統(tǒng)的Hopf分岔做了研究。

在涉及到3自由度碰振系統(tǒng)的建模時(shí)，除了考慮碰撞的單邊情況，還應(yīng)對(duì)雙邊碰撞的情況有所涉及。本文以考慮雙邊碰撞的3自由度系統(tǒng)模型為對(duì)象，通過(guò)數(shù)值分析的方法對(duì)系統(tǒng)在兩組確定參數(shù)下的Hopf分岔現(xiàn)象的分析，揭示了3自由度系統(tǒng)在激振頻率變化過(guò)程中，系統(tǒng)的響應(yīng)變化，Hopf分岔通往混沌狀態(tài)過(guò)程中的激變，以及系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

1 三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

圖1為一類三自由度雙側(cè)剛性約束的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。 、 、 為質(zhì)量塊的質(zhì)量， 、 、 為線性彈簧的剛度， 、 、 為線性阻尼器連接的阻尼系數(shù)。假設(shè)水平面為絕對(duì)光滑，即水平面與質(zhì)量塊間無(wú)摩擦力，質(zhì)量塊只在水平面做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，并分別受到簡(jiǎn)諧激振力 （i=1，2，3）的作用。當(dāng)質(zhì)量塊 的位移 等于間隙值B時(shí)，質(zhì)量塊 將與剛性約束A發(fā)生碰撞，在碰撞瞬時(shí)改變速度后又以新的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)質(zhì)量塊 的位移 等于間隙值D時(shí)，質(zhì)量塊 又與剛性約束B(niǎo)發(fā)生碰撞，在碰撞瞬時(shí)改變速度后又以新的速度運(yùn)動(dòng)，循環(huán)往復(fù)。假定系統(tǒng)中的阻尼為Rayleigh型比例阻尼，碰撞過(guò)程由恢復(fù)系數(shù)R確定。

圖1：三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)牛頓第二定律，得到系統(tǒng)在任意兩次碰撞之間的運(yùn)動(dòng)方程的無(wú)量綱形式為：

方程1.1中，"·"表示時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，假設(shè) 、 均不為零，上述方程中的無(wú)量綱量為：

其中

質(zhì)量塊M1的碰撞方程為：

其中 分別為振子m1 與平面A和B碰撞前后的瞬時(shí)速度。

該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況為：質(zhì)量塊m1、m2 、m3 分別在簡(jiǎn)諧激振力的作用下，做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量塊m1 在于A面接觸后，發(fā)生彈性碰撞，速度瞬間改變，隨后以新的速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，回彈至B面時(shí)，依然發(fā)生彈性碰撞，碰撞后又以新的速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。

2 三自由度振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)分析

選取無(wú)量綱參數(shù)的值為：激振頻率的振幅 ；質(zhì)量塊 ；阻尼比 ， ， ；彈簧的勁度系數(shù) ， ， ；取激振頻率 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。得到在系統(tǒng)中，質(zhì)量塊的速度隨激振頻率變化的分岔圖如圖2所示。圖3為局部放大的分岔圖。圖中橫坐標(biāo)為激振頻率，縱坐標(biāo)為質(zhì)量塊 的位移。從圖中可以看出，隨著激振頻率的減小，系統(tǒng)分別出現(xiàn)周期1運(yùn)動(dòng)-Hopf分岔-周期1運(yùn)動(dòng)-倍化分岔-混沌-周期窗口等動(dòng)力學(xué)行為。

圖2 系統(tǒng)隨激振頻率變化的分岔圖

為更清晰的展示系統(tǒng)在Hopf分岔時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性，圖4給出了在不同激振頻率取值下統(tǒng)的Poincaré映射圖。圖橫坐標(biāo)為質(zhì)塊 的速度，縱坐標(biāo)為質(zhì)塊 的速度。

由圖4可以觀察出，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 減小3.22時(shí)，周期1運(yùn)動(dòng)變得不穩(wěn)定，形成吸引子，隨著 的繼續(xù)減小，明顯觀察出系統(tǒng)的周期1吸引子發(fā)生擴(kuò)散，至 時(shí)，周期1運(yùn)動(dòng)沿清晰的吸引軌道吸引至光滑的Hopf環(huán)，Hopf環(huán)隨著 的減小，形狀逐漸變大，最終表面產(chǎn)生不光滑的褶皺，Poincaré映射圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生改變進(jìn)而通向混沌。在 左右時(shí)，系統(tǒng)瞬間激變轉(zhuǎn)至周期1運(yùn)動(dòng)，并出現(xiàn)了周期倍化分岔。

圖3系統(tǒng)Poincare映射圖

在 系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)間內(nèi)，出現(xiàn)了一段短暫的周期為三的周期窗口，截面圖和相圖如圖4所示。圖橫坐標(biāo)為質(zhì)塊 的速度，縱坐標(biāo)為質(zhì)塊 的速度。

4 結(jié)論

本文建立了三自由度雙邊剛性約束系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了此類模型在兩組參數(shù)下系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。分析結(jié)果表明：

1.該系統(tǒng)在激振力變化時(shí)，出現(xiàn)Hopf分岔是比較常見(jiàn)的一種情況；

2.概周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的Hopf環(huán)是不穩(wěn)定的，可能會(huì)出現(xiàn)Hopf環(huán)的褶皺、畸變，并最終通往混沌；

3.經(jīng)由Hopf分岔所達(dá)到的混沌狀態(tài)可能會(huì)出現(xiàn)周期窗口，本文出現(xiàn)了周期窗口的周期為3。

Hopf分岔一直以來(lái)是一個(gè)比較經(jīng)典的研究方向，Hopf分岔通往混沌的道路多種多樣，Hopf分岔過(guò)程中除了上述兩種情況，還有不穩(wěn)定Hopf環(huán)等常見(jiàn)的動(dòng)力學(xué)特性，本文的后續(xù)研究工作，會(huì)圍繞不穩(wěn)定Hopf分岔繼續(xù)進(jìn)行。

參考文獻(xiàn)

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