大跨網(wǎng)殼地震反應(yīng)時Rayleigh阻尼構(gòu)建方法比較

潘旦光，程 業(yè)，李雪菊

(1.北京科技大學(xué) 土木系，北京 100083；2.土木工程防災(zāi)國家重點實驗室(同濟(jì)大學(xué))，上海 200092)

大跨網(wǎng)殼地震反應(yīng)時Rayleigh阻尼構(gòu)建方法比較

潘旦光1,2，程 業(yè)1，李雪菊1

(1.北京科技大學(xué) 土木系，北京 100083；2.土木工程防災(zāi)國家重點實驗室(同濟(jì)大學(xué))，上海 200092)

為研究Rayleigh阻尼系數(shù)參考頻率選取方法對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響，以一個長85.2 m，寬61.8 m的網(wǎng)殼為例，對比分析了基于地震波頻譜特性選取第二個參考頻率的方法、Idriss方法、傳統(tǒng)方法、優(yōu)化方法所得Rayleigh阻尼系數(shù)引起頂點位移和基底剪力計算誤差.對于地震波的頻譜特性，討論了擬加速度反應(yīng)譜、擬速度反應(yīng)譜、位移反應(yīng)譜的峰值頻率和形心點頻率的統(tǒng)計范圍.數(shù)值計算結(jié)果表明：基于擬速度反應(yīng)譜、位移反應(yīng)譜峰值頻率和形心頻率以及Fourier譜的峰值頻率所得Rayleigh阻尼將使計算結(jié)果偏??；用小于基本周期范圍內(nèi)的擬加速度反應(yīng)譜的峰值頻率或形心點頻率作為第二個參考頻率計算誤差較?。划?dāng)?shù)卣鸩ǖ淖吭筋l率大于基頻的結(jié)構(gòu)時，Idriss方法用平滑化Fourier譜的卓越頻率計算參考頻率效果更好；優(yōu)化方法可以直接得到Rayleigh阻尼系數(shù)，避免了人為選取參考頻率的任意性，且計算精度高.

地震反應(yīng)；Rayleigh阻尼；卓越頻率；參考頻率；優(yōu)化方法

在地震反應(yīng)過程中，阻尼是影響反應(yīng)結(jié)果的重要因素[1-2].為進(jìn)行強(qiáng)震下結(jié)構(gòu)的彈塑性時程反應(yīng)分析，需要構(gòu)建相應(yīng)的阻尼矩陣.在各種阻尼模型中，Rayleigh阻尼由于計算簡便而得到廣泛應(yīng)用.

采用矩陣表達(dá)，Rayleigh阻尼矩陣C可表達(dá)為質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合，即

C=αM+βK，

(1)

式中α和β分別為質(zhì)量和剛度比例阻尼系數(shù).α和β這兩個系數(shù)可以通過指定兩個參考頻率(ωi和ωj)及其阻尼比(ζi*和ζj*)進(jìn)行計算.顯然，Rayleigh阻尼除兩階參考頻率的阻尼比外，其他各階模態(tài)的阻尼比有一定的誤差存在.因此，所構(gòu)造的Rayleigh阻尼是否合理依賴于選取的兩個參考頻率是否合理.在結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析時，Rayleigh阻尼參考頻率的選取有三類常用方法.

第一類方法是直接從結(jié)構(gòu)的動力特性角度選擇參考頻率.Idriss等[3]直接利用體系基頻ω1建立阻尼矩陣，此時所構(gòu)造的Rayleigh阻尼高估了除基頻以外的所有阻尼，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)偏小[4].對于簡單的建筑結(jié)構(gòu)，常用兩個低階自振頻率作為參考頻率[5].但對復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，對結(jié)構(gòu)有顯著貢獻(xiàn)的模態(tài)數(shù)目多達(dá)幾百階[6].此時，如果用兩個低階模態(tài)建立Rayleigh阻尼矩陣將使結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的阻尼比偏大，從而導(dǎo)致低估結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng).Chopra[7]定性的指出，選擇的兩階參考頻率應(yīng)使對結(jié)構(gòu)反應(yīng)有顯著貢獻(xiàn)模態(tài)的阻尼比取值合理.Clough等[8]建議ωi=ω1，ωj從對結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)有顯著貢獻(xiàn)的高階振型中選取.Youssef等[9]的計算結(jié)果表明，最優(yōu)參考頻率的階數(shù)隨土層深度變化而變化.

第二類方法是令ωi=ω1，第二個參考頻率ωj由地震波的頻譜特性進(jìn)行確定.Hudson等[10]令ωj為地震波卓越頻率ωe和結(jié)構(gòu)基頻的奇數(shù)倍.即

ωj=nω1，

(2)

式中n為大于ωe/ω1的奇數(shù).樓夢麟等[11]建議以輸入地震波加速度反應(yīng)譜的峰值頻率作為ωj進(jìn)行深覆蓋土層的地震反應(yīng)計算.

第三類方法采用優(yōu)化算法直接得到Rayleigh阻尼系數(shù).楊大彬等[12]以振型的峰值應(yīng)變能系數(shù)作為權(quán)重函數(shù)，建立了加權(quán)最小二乘法.潘旦光等[13-14]分別以結(jié)構(gòu)峰值位移誤差和基底剪力誤差最小為目標(biāo)函數(shù)，提出了一種求解Rayleigh阻尼系數(shù)的優(yōu)化求解方法.

為比較上述三類Rayleigh阻尼系數(shù)計算方法的特點及對結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的影響.本文將以大跨網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)水平方向和豎向地震反應(yīng)為例，討論不同方法所得阻尼矩陣對網(wǎng)殼頂點位移及基底剪力的影響.除此以外，本文還從Rayleigh阻尼構(gòu)建角度討論了地震波主要頻率成分及其選取范圍的問題.

1 大跨網(wǎng)殼有限元模型及輸入地震波

1.1 有限元模型

結(jié)構(gòu)計算模型如圖1所示，上部為85.2 m長，61.8 m寬單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)，下部由8組支架支撐整個結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)平面關(guān)于x軸對稱，關(guān)于y軸不對稱，z為豎向坐標(biāo).結(jié)構(gòu)主要構(gòu)件如下：網(wǎng)殼內(nèi)部桿件和環(huán)梁分別為300 mm×50 mm×8 mm×12 mm和1 000 mm×600 mm×30 mm×30 mm的空心方管，下部斜撐和底柱分別為300 mm×20 mm和800 mm×35 mm的空心圓管.所有桿件材料為Q235，采用梁單元進(jìn)行建模.模型的模態(tài)特征如表1所示.表中ry和rz分別表示y和z方向的振型參與質(zhì)量比，sy和sz分別表示y和z方向的累積振型參與質(zhì)量比.部分典型模態(tài)圖如圖2所示.并設(shè)各階模態(tài)的阻尼比為0.02.

圖1 網(wǎng)殼有限元模型

圖2 部分模態(tài)圖

1.2 輸入地震波

為比較不同類型地震波對Rayleigh阻尼系數(shù)計算的影響，選用表2中的3條不同場地類型地震波分別作為柱根部的水平和豎向地震輸入.輸入地震波的加速度時程如圖3所示，加速度時程的幅值統(tǒng)一調(diào)整為0.35 m/s2.

表1 固有頻率及振型參與質(zhì)量比

表2 地震波

圖3 地震波加速度時程

2 Rayleigh阻尼系數(shù)計算方法

由模態(tài)分析可知，單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)在y方向(水平)地震輸入時，前45階模態(tài)的振型參與質(zhì)量即超過90%，第一階模態(tài)的反應(yīng)貢獻(xiàn)具有絕對統(tǒng)治地位.對于z方向(豎向)地震輸入時，前205階模態(tài)的振型參與質(zhì)量超過90%，第三階模態(tài)的反應(yīng)貢獻(xiàn)最大，但不具有統(tǒng)治地位.對于水平地震反應(yīng)，結(jié)構(gòu)的顯著貢獻(xiàn)模態(tài)少；而豎向地震反應(yīng)，結(jié)構(gòu)的顯著貢獻(xiàn)模態(tài)多，且沒有具有絕對統(tǒng)治地位的模態(tài).同時，在水平地震反應(yīng)時，結(jié)構(gòu)的第一個顯著貢獻(xiàn)模態(tài)的頻率小于大部分地震波的卓越頻率，而豎向地震反應(yīng)時，結(jié)構(gòu)的第一個顯著貢獻(xiàn)模態(tài)的頻率高于部分地震波的卓越頻率，因此，討論y方向和z方向的地震反應(yīng)，相當(dāng)于討論了兩種結(jié)構(gòu)類型下Rayleigh阻尼系數(shù)的計算問題.不同方法計算阻尼系數(shù)的差別在于兩個參考頻率選取的不同，為此，下面討論單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)y方向和z方向地震反應(yīng)時三類方法所得的參考頻率及對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響.

2.1 第一類方法

對于y方向地震輸入，一種是根據(jù)經(jīng)驗選擇ωi=ω1和ωj=ω19(記為i=1 &j=19)，另一種是直接令ωi=ω1和ωj=ω2(i=1 &j=2).對于z方向地震輸入，分別考慮兩種組合ωi=ω3和ωj=ω45(i=3 &j=45)及ωi=ω1和ωj=ω2(i=1 &j=2).并在后面的討論中將這種方法稱為傳統(tǒng)方法.

2.2 第二類方法

在第二類方法中，y方向和z方向地震輸入的第一個參考頻率分別選為ω1和ω3.第二個參考頻率可基于反應(yīng)譜和Fourier譜進(jìn)行選擇.圖4為3條地震波的位移、擬速度和擬加速度反應(yīng)譜.

在利用反應(yīng)譜選擇Rayleigh阻尼第二個參考頻率時，常直接選取反應(yīng)譜峰值頻率[15].但這種方法存在的一個問題是：當(dāng)結(jié)構(gòu)的基頻高于反應(yīng)譜峰值頻率時，構(gòu)建的Rayleigh阻尼將使所有的高階模態(tài)阻尼比大于真實的阻尼比，從而使計算結(jié)果偏小，這一點在位移反應(yīng)譜中尤其明顯，因為位移反應(yīng)譜的峰值常出現(xiàn)在長周期.譬如，自振周期在0～6 s范圍內(nèi)，El Centro、Northridge和Tianjin波的位移反應(yīng)譜峰值頻率分別為0.352、0.410和0.568 Hz，這些峰值頻率都小于基頻，此時，都無法構(gòu)造出合理的Rayleigh阻尼.事實上，反應(yīng)譜反映的是在一個確定地震波作用下不同自振周期單自由度體系的最大反應(yīng)，然后，以一定組合規(guī)則得到結(jié)構(gòu)的反應(yīng).結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的周期Ti都是小于基頻周期T1的，即Ti

圖4 地震波反應(yīng)譜

考慮到多自由度體系是一系列單自由度體系反應(yīng)的疊加，因此，部分學(xué)者將地震波的主要頻率定義為反應(yīng)譜形心的頻率[15].反應(yīng)譜的形心頻率fRg-i定義如下

(3)

式中:Si(ζ,T)為反應(yīng)譜，i分別取位移、擬速度和擬加速度.顯然fRg-i是積分范圍TR的函數(shù).圖5為不同地震波反應(yīng)譜fRg-i隨積分區(qū)間變化的曲線.由圖可知，隨著積分區(qū)間的增加，形心點的頻率逐步降低.這是長周期部分反應(yīng)譜影響的必然結(jié)果.由于只有[0,T1]區(qū)間的反應(yīng)譜參與結(jié)構(gòu)反應(yīng)的計算，因此，計算形心頻率的反應(yīng)譜范圍定義為[0,T1]更合理.表4和表5中列出擬加速度反應(yīng)譜形心頻率fRg-a、擬速度反應(yīng)譜形心頻率fRg-v和位移反應(yīng)譜形心頻率fRg-d都是指[0,T1]基本區(qū)間不同地震波反應(yīng)譜的形心頻率.

圖5 反應(yīng)譜形心頻率

圖6為不同地震波Fourier譜.Fourier譜表明地震波中含有哪些頻率分量，及哪些頻率分量振幅大.因此，將分量振幅最大的頻率稱為卓越頻率，并記為Fourier譜峰值頻率fF.實際地震波的Fourier譜呈劇烈起伏的鋸齒狀，為避免Fourier譜中個別尖刺的影響，常將平滑化方法所得的峰值頻率作為地震波卓越頻率.本文將平滑化后Fourier譜的峰值頻率記為fP.圖6中的平滑化曲線是采用矩形脈沖窗的結(jié)果，窗的帶寬取為1.2 Hz.

在得到地震波的卓越頻率后，可采用式(2)計算Rayleigh阻尼系數(shù).當(dāng)ωe取為Fourier譜的峰值頻率fF時，稱為I-1方法；當(dāng)ωe取為平滑化Fourier譜的峰值頻率fP時，稱為I-2方法.且當(dāng)ωe<ω1時，令n=1.

圖6 地震波Fourier譜

2.3 第三類方法

對于第三類方法，以文獻(xiàn)[14]提出的約束優(yōu)化解法作為對比.該方法首先建立代數(shù)方程組：

(4)

根據(jù)以上討論，共形成12種Rayleigh阻尼系數(shù)的計算方法，其中傳統(tǒng)方法在算例比較時，采用兩種頻率組合.表3列出了各種計算方法的簡化名稱和所對應(yīng)的類型.下面討論各種方法所得Rayleigh阻尼對單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響.

表3 Rayleigh阻尼系數(shù)計算方法

3 數(shù)值計算結(jié)果

3.1 計算誤差公式

為比較不同方法的計算誤差，進(jìn)行結(jié)構(gòu)的線彈性地震反應(yīng)分析.同時，以前300階模態(tài)振型分解時程分析方法的計算結(jié)果為精確解，記為r*，采用Rayleigh阻尼模型所得的近似解記為r，則Rayleigh阻尼模型計算結(jié)果的相對誤差為

(5)

在m條地震波作用下，各反應(yīng)量的平均誤差可采用以下兩式進(jìn)行統(tǒng)計：

(6)

3.2 不同Rayleigh阻尼模型計算誤差

El Centro、Northridge和Tianjin三條地震波分別沿y方向(水平)和z方向(豎向)輸入下，前述12種方法的參考頻率如表4和表5所示.在y方向地震輸入時，僅統(tǒng)計y方向的地震反應(yīng)，z方向地震輸入時，僅統(tǒng)計z方向的地震反應(yīng).圖1中A點的位移計算誤差和基底剪力誤差如表6～9所示.El Centro波作用下A點位移反應(yīng)的精確解及其Fourier譜如圖7所示，基底剪力的精確解及其Fourier譜如圖8所示.表和圖中的uAy和uAz分別表示A點的y方向和z方向的位移.Fy和Fz分別表示y方向和z方向的基底剪力.

表4y方向地震輸入下的參考頻率

Tab.4 Reference frequencies under the y direction seismic input Hz

表5z方向地震輸入下的參考頻率

Tab.5 Reference frequencies under the z direction seismic input Hz

表6 y方向地震輸入下uAy的相對誤差

表7 z方向地震輸入下uAz的相對誤差

表8 y方向地震輸入下基底剪力Fy的相對誤差

表9 z方向地震輸入下基底剪力Fz的相對誤差

圖7 El Centro波作用下A點的位移反應(yīng)時程及Fourier譜

Fig.7 Time histories and Fourier spectra of pointAdisplacement under the El Centro wave

圖8 El Centro波作用下基底剪力反應(yīng)時程及Fourier譜

Fig.8 Time histories and Fourier spectra of base reactions under the El Centro wave

由計算結(jié)果可看出：

2) 對于基底剪力Fy和Fz，以fRv、fRd、fRg-v、fRg-d為第二參考頻率的計算結(jié)果都偏小.對比反應(yīng)譜的峰值頻率和形心頻率可以發(fā)現(xiàn)fRa>fRv>fRd，以及fRg-a>fRg-v>fRg-d.這是由于反應(yīng)譜在大于2 Hz區(qū)域為加速度敏感區(qū)，小于0.3 Hz為位移敏感區(qū)，中間區(qū)段為速度敏感區(qū)[7].而由圖8基底剪力的Fourier譜可知，高階模態(tài)對基底剪力的反應(yīng)也有顯著貢獻(xiàn).譬如f19=2.905 Hz和f45=4.443 Hz模態(tài)的反應(yīng)分別對Fy和Fz有顯著影響，而基于速度反應(yīng)譜的fRv、fRg-v和位移反應(yīng)譜的fRd、fRg-d的第二個參考頻都遠(yuǎn)小于f19和f45，導(dǎo)致這兩階模態(tài)的阻尼比偏大而低估了高階模態(tài)的反應(yīng).基于加速度反應(yīng)譜峰值頻率和形心頻率的計算誤差相對較小.

3)fF作為第二個參考頻的計算結(jié)果偏小.這是由于Fourier譜和擬速度反應(yīng)譜類似，因此，fF和fRv的計算結(jié)果也類似.以平滑化的峰值頻率fP作為第二個參考頻的計算結(jié)果要略優(yōu)于fF的計算結(jié)果，但無法改變計算結(jié)果偏小的特點.同時，當(dāng)fF或fP小于結(jié)構(gòu)的基頻時，直接用卓越頻率作為第二個參考頻率的計算誤差更大.這是由于這種方法除基頻的阻尼比外，其余模態(tài)的阻尼比都大于精確解而導(dǎo)致計算結(jié)果偏小.因此，對于地震波卓越頻率小于結(jié)構(gòu)基頻的地震波，采用地震波卓越頻率作為參考頻率不合理.

4)I-2方法的平均誤差小于I-1方法，這表明采用平滑化Fourier譜所得卓越頻率進(jìn)行Idriss方法[10]第二個頻率的計算更合理.而且，由于fF易受Fourier譜中個別低頻尖刺的影響，而使計算結(jié)果離散性大.同時，當(dāng)?shù)卣鸩ǖ淖吭筋l率小于結(jié)構(gòu)的基頻時，此時，Idriss方法實際上就是基于基頻建立阻尼矩陣，Rayleigh阻尼高估了高階模態(tài)的阻尼比，由此使結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)偏小，因此，當(dāng)?shù)卣鸩ǖ淖吭筋l率小于結(jié)構(gòu)的基頻時，I-1和I-2方法都是不合理的.當(dāng)?shù)卣鸩ǖ淖吭筋l率大于結(jié)構(gòu)的基頻時，可采用I-2方法建立Rayleigh阻尼.

5)對于優(yōu)化方法，無論是y方向地震輸入還是z方向地震輸入，由于優(yōu)化算法中考慮了結(jié)構(gòu)動力特性、地震波頻率特性的影響，因此，對于兩個方向的地震輸入和所有地震波的計算結(jié)果誤差都小且穩(wěn)定.而且，優(yōu)化方法是直接得到Rayleigh阻尼系數(shù)，避免了人為選擇兩階參考頻率的任意性，適用于不同工程結(jié)構(gòu)的Rayleigh阻尼構(gòu)建.

6)對于傳統(tǒng)方法，本文所選的y方向和z方向的頻率組合i=1 &j=19和i=3 &j=45實際上和優(yōu)化分析方法的頻率基本相同，因此，對于富有經(jīng)驗的計算人員，直接選取兩階合理的參考頻率用于Rayleigh阻尼計算也是可行的.但是，任意選擇前兩階模態(tài)進(jìn)行Rayleigh阻尼計算所得計算結(jié)果偏小，且絕對誤差最大，是不合理的計算方法.

4 結(jié) 論

在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的非線性地震反應(yīng)分析時，常需建立Rayleigh阻尼矩陣進(jìn)行直接積分法計算.由于參與結(jié)構(gòu)振動的模態(tài)多且復(fù)雜，因此，如何選取合理的參考頻率是一個需要仔細(xì)斟酌的事情.本文以一個長85.2 m，寬61.8 m的大跨屋蓋為例，對比分析了12種國內(nèi)外Rayleigh阻尼系數(shù)計算方法對計算結(jié)果的影響，由理論分析和數(shù)值計算可得出以下結(jié)論：

1)對于第一類方法，工程技術(shù)人員如果對結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)有充分認(rèn)識，可直接指定兩階參考頻率.但是，任意選擇前兩階模態(tài)進(jìn)行Rayleigh阻尼計算，易造成計算結(jié)果偏小，是不合理的計算方法.

2)對于第二類方法，建議采用[0,T1]區(qū)間的擬加速度反應(yīng)譜峰值頻率或形心頻率、I-2方法作為Rayleigh阻尼系數(shù)計算的第二個參考頻率.

3)優(yōu)化方法所得Rayleigh阻尼系數(shù)是綜合考慮結(jié)構(gòu)的動力特性、輸入地震波頻譜特性的綜合結(jié)果，直接得到Rayleigh阻尼系數(shù)，避免了基于經(jīng)驗指定兩階頻率的任意性，且計算誤差較小，適合于工程結(jié)構(gòu)的計算與分析.

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(編輯趙麗瑩)

ComparisonstudyonRayleighdampingconstructionmethodsforlong-spanreticulatedshellseismicresponse

PAN Danguang1,2, CHENG Ye1, LI Xueju1

(1.Department of Civil Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China;2.State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering (Tongji University), Shanghai 200092, China)

To analyze the effects of Rayleigh damping coefficients reference frequency selection method on structural seismic response, some methods to estimate Rayleigh damping coefficients including the frequency contents-based second reference frequency, IDRISS method, traditional method and the optimization method were compared by the errors of top displacement and base shear with a 85.2 m length, 61.8 m width reticulated shell. As for the frequency contents of earthquake waves, the statistics ranges of the peak and centroid frequencies of pseudo-acceleration-, pseudo-velocity- and displacement response spectrum were discussed. The numerical results show that: the second reference frequency specified by the peak and centroid frequencies of the pseudo-velocity- and displacement response spectrum as well as peak frequency of the Fourier spectrum make the response results smaller than the exact ones. The estimation error is reasonable, which the second reference frequency is equal to the peak and centroid frequencies of the pseudo-acceleration response spectrum in the range below the fundamental frequency. It is suitable that the reference frequency is estimated by the smoothing peak frequency of the Fourier spectrum in the IDRISS method when the predominant frequency of earthquake wave is greater than the fundamental frequency of structure. Optimization method can get the Rayleigh damping coefficient directly, eliminate the arbitrariness of reference frequency and have high calculation accuracy.

seismic response; Rayleigh damping; predominant frequency; reference frequency; optimization method

10.11918/j.issn.0367-6234.201611130

TU311.3; TU352.1+1

A

0367-6234(2017)12-0045-08

2016-11-28

土木工程防災(zāi)國家重點實驗室開放基金(SLDRCE15-01)

潘旦光(1974—)，男，研究員，博士生導(dǎo)師

潘旦光，pdg@ustb.edu.cn